2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение06.10.2010, 10:53 
Аватара пользователя

(Про плотность)

Хорхе в сообщении #359566 писал(а):
Насчет плотного и всюду плотного сложно сказать, что там имеется в виду, ибо оно из контекста вырвано.

Цитирую полностью:
Верещагин и Шень писал(а):
Теорема 14. Всякое счётное ЛУМ изоморфно некоторому подмножеству множества $\mathbb Q$.
$\lhd$ Заметим сразу же, что вместо множества $\mathbb Q$ можно было взять любое плотное счётное всюду плотное множество без первого и последнего элементов, так как они все изоморфны. ... (тут само доказательство) ... $\rhd$

Хорхе в сообщении #359566 писал(а):
Это если мощность конечная. А ежели бесконечная, и не такое бывает.

Кажись немного понял. Если мы из $\mathbb N$ выкинем конечное количество точек, то совокупность таких множеств могут образовывать лум (с порядком включения), хотя мощности одинаковые.

А как можно доказать, что существует лум мощности континуум?

Padawan
Спасибо.

 
 
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение06.10.2010, 11:33 
caxap в сообщении #359606 писал(а):
Padawan
Спасибо.

Не стоит, я понял, что мое решение неправильное :-(

 
 
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение06.10.2010, 11:42 
Для получения ЛУМ мощности континуум надо взять бесконечное двоичное дерево в вершинах которого расположенны различные натуральные числа и каждой последовательности из нулей и единиц сопоставить множество по правилу:
0 - идем налево текущую вершину и все вершины правого поддерева не включаем
1 - идем направо текущую вершину и все вершины левого поддерева включаем.
получим что надо

 
 
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение06.10.2010, 12:37 
Аватара пользователя
Null в сообщении #359616 писал(а):
идем налево текущую вершину и все вершины правого поддерева не включаем

Ничего не понял

 
 
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение06.10.2010, 16:38 
Аватара пользователя
Null в сообщении #359616 писал(а):
Для получения ЛУМ мощности континуум надо взять бесконечное двоичное дерево в вершинах которого расположенны различные натуральные числа и каждой последовательности из нулей и единиц сопоставить множество по правилу:
0 - идем налево текущую вершину и все вершины правого поддерева не включаем
1 - идем направо текущую вершину и все вершины левого поддерева включаем.
получим что надо

Лучше назвать вершины этого дерева конечными двоичными дробями, а числа из (0,1) -- бесконечными, тогда будет практически тот пример, на который я намекал.

 
 
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение06.10.2010, 20:16 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

И да, слова "всюду плотное" лишние. Такое бывает и со мной: напишу что-то неправильно, впишу затем правильное, а неправильное забываю удалить.

 
 
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 15:43 
Аватара пользователя
А можно ещё подсказку? Про дерево я не понял.

 
 
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 16:15 
Возьмите в качестве максимального множества рациональные точки отрезка (0;1). Их счетно.

 
 
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 16:59 
Аватара пользователя
Да, вот задача попроще.

Найдите в $\mathcal P(\mathbb R)$ несчетную цепь.

 
 
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 18:18 
Аватара пользователя
Хорхе в сообщении #360201 писал(а):
Найдите в $\mathcal P(\mathbb R)$ несчетную цепь.

$\{[0,x] \mid x \in \mathbb R \land x > 0\}$ (порядок $\subset$)

 
 
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 19:29 
Аватара пользователя
Для $\mathcal P(\mathbb N)$ аналогичная цепь будет счётная.

 
 
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 19:41 
Аватара пользователя
caxap в сообщении #360240 писал(а):
Для $\mathcal P(\mathbb N)$ аналогичная цепь будет счётная.

Эт если Вы $x$ возьмете рациональное. Только же никто не заставляет...

 
 
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 20:02 
Аватара пользователя
Всё равно не понял... :-(

Может так:
Каждой числу из отрезка $[0,x]\subset \mathbb R$ ($0< x< 1$, $x\in \mathbb R$) соответствует бесконечная двоичная дробь $0{,}a_1 a_2\ldots$ ($a_i \in\{0,1\}$). Каждой такой двоичной дроби сопоставим подмножество $A\subset\mathbb N$ таким образом, чтобы каждая единица на месте $k$ в той двоичной дроби (считая слева от запятой) означала включение числа $k$ в $A$ (например, дроби $0{,}(01)=0{,}010101\ldots$ соответствует множество всех чётных чисел). Тогда множеству $\{[0,x] \mid x \in \mathbb R \land 0 < x < 1\}$ с порядком $\subset$ будет соответствовать подмножество $\mathcal P(\mathbb N)$ с тем же порядком. Это биекция и раз первая цепь мощности континуум, то и вторая тоже.

 
 
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 20:13 
$x=0.5$ и $x=0.25$ подставьте. По-моему получаться $\{1\}$ и $\{2\}$.

 
 
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 20:30 
Аватара пользователя
Да, извиняюсь, бред написал. Вспоминается афоризм о том, что нет ничего лучше времени между враньём и его разоблачением получением доказательства и обнаружением ошибки в нём.

 
 
 [ Сообщений: 81 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group