2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение06.10.2010, 10:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015

(Про плотность)

Хорхе в сообщении #359566 писал(а):
Насчет плотного и всюду плотного сложно сказать, что там имеется в виду, ибо оно из контекста вырвано.

Цитирую полностью:
Верещагин и Шень писал(а):
Теорема 14. Всякое счётное ЛУМ изоморфно некоторому подмножеству множества $\mathbb Q$.
$\lhd$ Заметим сразу же, что вместо множества $\mathbb Q$ можно было взять любое плотное счётное всюду плотное множество без первого и последнего элементов, так как они все изоморфны. ... (тут само доказательство) ... $\rhd$

Хорхе в сообщении #359566 писал(а):
Это если мощность конечная. А ежели бесконечная, и не такое бывает.

Кажись немного понял. Если мы из $\mathbb N$ выкинем конечное количество точек, то совокупность таких множеств могут образовывать лум (с порядком включения), хотя мощности одинаковые.

А как можно доказать, что существует лум мощности континуум?

Padawan
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение06.10.2010, 11:33 


13/12/05
3475
caxap в сообщении #359606 писал(а):
Padawan
Спасибо.

Не стоит, я понял, что мое решение неправильное :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение06.10.2010, 11:42 
Заслуженный участник


12/08/10
980
Для получения ЛУМ мощности континуум надо взять бесконечное двоичное дерево в вершинах которого расположенны различные натуральные числа и каждой последовательности из нулей и единиц сопоставить множество по правилу:
0 - идем налево текущую вершину и все вершины правого поддерева не включаем
1 - идем направо текущую вершину и все вершины левого поддерева включаем.
получим что надо

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение06.10.2010, 12:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Null в сообщении #359616 писал(а):
идем налево текущую вершину и все вершины правого поддерева не включаем

Ничего не понял

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение06.10.2010, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Null в сообщении #359616 писал(а):
Для получения ЛУМ мощности континуум надо взять бесконечное двоичное дерево в вершинах которого расположенны различные натуральные числа и каждой последовательности из нулей и единиц сопоставить множество по правилу:
0 - идем налево текущую вершину и все вершины правого поддерева не включаем
1 - идем направо текущую вершину и все вершины левого поддерева включаем.
получим что надо

Лучше назвать вершины этого дерева конечными двоичными дробями, а числа из (0,1) -- бесконечными, тогда будет практически тот пример, на который я намекал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение06.10.2010, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648

(Оффтоп)

И да, слова "всюду плотное" лишние. Такое бывает и со мной: напишу что-то неправильно, впишу затем правильное, а неправильное забываю удалить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
А можно ещё подсказку? Про дерево я не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 16:15 
Заслуженный участник


12/08/10
980
Возьмите в качестве максимального множества рациональные точки отрезка (0;1). Их счетно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Да, вот задача попроще.

Найдите в $\mathcal P(\mathbb R)$ несчетную цепь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Хорхе в сообщении #360201 писал(а):
Найдите в $\mathcal P(\mathbb R)$ несчетную цепь.

$\{[0,x] \mid x \in \mathbb R \land x > 0\}$ (порядок $\subset$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Для $\mathcal P(\mathbb N)$ аналогичная цепь будет счётная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
caxap в сообщении #360240 писал(а):
Для $\mathcal P(\mathbb N)$ аналогичная цепь будет счётная.

Эт если Вы $x$ возьмете рациональное. Только же никто не заставляет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Всё равно не понял... :-(

Может так:
Каждой числу из отрезка $[0,x]\subset \mathbb R$ ($0< x< 1$, $x\in \mathbb R$) соответствует бесконечная двоичная дробь $0{,}a_1 a_2\ldots$ ($a_i \in\{0,1\}$). Каждой такой двоичной дроби сопоставим подмножество $A\subset\mathbb N$ таким образом, чтобы каждая единица на месте $k$ в той двоичной дроби (считая слева от запятой) означала включение числа $k$ в $A$ (например, дроби $0{,}(01)=0{,}010101\ldots$ соответствует множество всех чётных чисел). Тогда множеству $\{[0,x] \mid x \in \mathbb R \land 0 < x < 1\}$ с порядком $\subset$ будет соответствовать подмножество $\mathcal P(\mathbb N)$ с тем же порядком. Это биекция и раз первая цепь мощности континуум, то и вторая тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 20:13 
Заслуженный участник


12/08/10
980
$x=0.5$ и $x=0.25$ подставьте. По-моему получаться $\{1\}$ и $\{2\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение08.10.2010, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Да, извиняюсь, бред написал. Вспоминается афоризм о том, что нет ничего лучше времени между враньём и его разоблачением получением доказательства и обнаружением ошибки в нём.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 81 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group