Уравнение 5-ой степени..

[PSP]

А что касается алгебраического уравнения 5-ой степени , то интересно, существует ли функция, связывающая значения его коэффициентов и его корни?Пусть неэлементарная..но хоть какая- то такая функция должна быть?! Что скажете, господа математики?!

[Trueman]

PSP писал(а):

А что касается алгебраического уравнения 5-ой степени , то интересно, существует ли функция, связывающая значения его коэффициентов и его корни?Пусть неэлементарная..но хоть какая- то такая функция должна быть?! Что скажете, господа математики?!

Мне кажется из топологических соображений существует такая причём непрерывная фунуция.

[незваный гость]

Как Вы себе это представляете? В общем случае уравнение пятой степени имеет пять корней, соотвественно, функции, отображающей коэффициенты в корень быть не может. Можно рассмотреть, разумеется, функцию $f:{\mathbb C}^5 \to {\mathbb C}^5$, но такое отображение не будет однозначным, поскольку порядок корней не определен. В ТФКП рассматривают многолистные поверхности, но это некоторое обобщение понятия функции.

[Trueman]

незваный гость писал(а):

:evil:
Как Вы себе это представляете? В общем случае уравнение пятой степени имеет пять корней, соотвественно, функции, отображающей коэффициенты в корень быть не может. Можно рассмотреть, разумеется, функцию $f:{\mathbb C}^5 \to {\mathbb C}^5$, но такое отображение не будет однозначным, поскольку порядок корней не определен. В ТФКП рассматривают многолистные поверхности, но это некоторое обобщение понятия функции.

То есть вы утверждаете, что среди множества отображений $f:{\mathbb C}^5 \to {\mathbb C}^5$, ставящего упорядоченному набору коэффициентов многочлена набор его корней, не существует ни одного непрерывного?

[Руст]

Именно как многолистная функция понимается отображение из коэффициентов в корни, даже для квадратного уравнения. Такая функция есть для уравнений любой степени. Конкретный вид функции для уравнений пятой степени (в тета функциях) имеется во многих учебниках: Прасолов "Эллиптические функции", более элементарное изложение в классической книге Клейна "Лекции об икосаедре и решения уравнений пятой степени".

[Trueman]

Руст писал(а):

Именно как многолистная функция понимается отображение из коэффициентов в корни, даже для квадратного уравнения. Такая функция есть для уравнений любой степени. Конкретный вид функции для уравнений пятой степени (в тета функциях) имеется во многих учебниках: Прасолов "Эллиптические функции", более элементарное изложение в классической книге Клейна "Лекции об икосаедре и решения уравнений пятой степени".

Это ясно, но я спрашивал немного о другом

[Руст]

Гладкого не может существовать. Гладкость можно обеспечить только в дополнении к дискриминантному многообразию (на множестве, где дискриминант не обращается в 0). Это видно и на примере квадратного уравнения. Непрерывность можно обеспечить в некотором смысле (в смысле многозначных функций). В обычном смысле обеспечить непрерывность потребовало бы единой нумерации корней так, чтобы это не нарушалось при пересечении дискриминантного многообразия. Вряд ли это возможно.

[maxal]

Корни алгебраического уравнения 5-й степени выражаются через тета-функции Якоби от его корней.
См.
http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html

[PSP]

maxal писал(а):

Корни алгебраического уравнения 5-й степени выражаются через тета-функции Якоби от его корней.
См.
http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html

О!! Большое спасибо!! Сколько тут интересного для физика!! Кстати, а ведь тете функции Якоби удовлетворяют одномерному стационарному уравнению Шредингера..И вот ещё,оказывается , что многочлены 5-той и выше степеней не униформизируются, что очень тоже любопытно..

[lofar]

Trueman задал, на мой взгляд, интересный вопрос. Попробую сформулировать его более конкретно (как я его понял).

$n$ --- натуральное число. Существует ли $n$ непрерывных функций $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ из $\mathbb C^n$ в $\mathbb C$ таких, что для любых $a_0,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb C$

$$ x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0 = \Bigl(x-\alpha_1(a_0,\ldots,a_{n-1})\Bigr)\Bigl(x-\alpha_2(a_0,\ldots,a_{n-1})\Bigr)\ldots\Bigl(x-\alpha_n(a_0,\ldots,a_{n-1})\Bigr). $$

[PSP]

lofar писал(а):

Trueman задал, на мой взгляд, интересный вопрос. Попробую сформулировать его более конкретно (как я его понял).

$n$ --- натуральное число. Существует ли $n$ непрерывных функций $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ из $\mathbb C^n$ в $\mathbb C$ таких, что для любых $a_0,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb C$

$$ x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0 = \Bigl(x-\alpha_1(a_0,\ldots,a_{n-1})\Bigr)\Bigl(x-\alpha_2(a_0,\ldots,a_{n-1})\Bigr)\ldots\Bigl(x-\alpha_n(a_0,\ldots,a_{n-1})\Bigr). $$

Да,это очень интересно..Но вот доказать существование..? Может, тут надо исходить из того, что существование корней уже доказано?

[Руст]

Ничего интересного здесь нет. Нумеровать корни по отдельности невозможно. Пример уравнения: $x^2=a$, показывает, что при обходе вокруг нуля на один оборот корни меняются местами. Поэтому, речь может идти только как о многозначной функции.

[lofar]

Да, написал не подумав. При $n>1$ таких функций не существует.

[Trueman]

Уважаемый Руст, вы считаете что не существует такой непрерывной функции ставящеей упорядоченному набору коэффициентов многочлена набор его корней? Если да, интересно узнать почему?

[Sasha2]

Интересно, а вообще можно ли на множестве всех неупорядоченных n-к (имеется в виду n штук) вещественных чисел задать метрику или порядок?