Уравнение 5-ой степени..

[Руст]

Если коэффициент при старшим коэффициенте 1 (или фиксированное число), то существует непрерывное отображение из коэффициентов в n-ки. Метрику в n-ках можно ввести, например как

$$|x-y|=min_{\sigma \in S_n} \sqrt{\sum_i |x_i-y_{\sigma(i)}|^2}.$$

[Trueman]

Sasha2 писал(а):

Интересно, а вообще можно ли на множестве всех неупорядоченных n-к (имеется в виду n штук) вещественных чисел задать метрику или порядок?

Похоже что, очевидно возможно , метрику, например, модулем разности максимумов, упорядочить можно любое множество, например пустой порядок, можно задать и линейный порядок, например в каждой энке расположить числа по возрастанию, и одна энка меньше другой наименьшее число в ней меньше наименьшего во второй если они равны то сравниваем следующие.

[Руст]

Trueman писал(а):

Sasha2 писал(а):

Интересно, а вообще можно ли на множестве всех неупорядоченных n-к (имеется в виду n штук) вещественных чисел задать метрику или порядок?

Похоже что, очевидно возможно , метрику, например, модулем разности максимумов, упорядочить можно любое множество, например пустой порядок, можно задать и линейный порядок, например в каждой энке расположить числа по возрастанию, и одна энка меньше другой наименьшее число в ней меньше наименьшего во второй если они равны то сравниваем следующие.

Нельзя задать метрику модулем разности максимумов. Если они равны, то расстояние получается равным нулю, независимо от остальных. Поэтому, в определении должны участвовать все числа по упорядочиванию. Это так или иначе приводит к некоторой модификации того, что я написал, например:

$$|x-y|=min_{\sigma \in S_n }max_i |x_i-y_{\sigma (i)}|.$$

[Trueman]

Руст писал(а):

Trueman писал(а):

Sasha2 писал(а):

Интересно, а вообще можно ли на множестве всех неупорядоченных n-к (имеется в виду n штук) вещественных чисел задать метрику или порядок?

Похоже что, очевидно возможно , метрику, например, модулем разности максимумов, упорядочить можно любое множество, например пустой порядок, можно задать и линейный порядок, например в каждой энке расположить числа по возрастанию, и одна энка меньше другой наименьшее число в ней меньше наименьшего во второй если они равны то сравниваем следующие.

Нельзя задать метрику модулем разности максимумов. Если они равны, то расстояние получается равным нулю, независимо от остальных. Поэтому, в определении должны участвовать все числа по упорядочиванию. Это так или иначе приводит к некоторой модификации того, что я написал, например:

$$|x-y|=min_{\sigma \in S_n }max_i |x_i-y_{\sigma (i)}|.$$

да действительно поторопился, имел ввиду метрику такую же как на множестве непрерывных на [а,b] функций. то есть максимум модуля разности в соответсвии с некоторым линейным порядком.

[PSP]

Sasha2 писал(а):

Интересно, а вообще можно ли на множестве всех неупорядоченных n-к (имеется в виду n штук) вещественных чисел задать метрику или порядок?

А вот это уже потребует создавать математику с обобщённой аксиомой выбора! УУУ..КАКИЕ ДЕБРИ БУДУТ!!!

[Руст]

PSP писал(а):

Sasha2 писал(а):

Интересно, а вообще можно ли на множестве всех неупорядоченных n-к (имеется в виду n штук) вещественных чисел задать метрику или порядок?

А вот это уже потребует создавать математику с обобщённой аксиомой выбора! УУУ..КАКИЕ ДЕБРИ БУДУТ!!!

А вот это уже полная глупость.

[PSP]

Руст писал(а):

PSP писал(а):

Sasha2 писал(а):

Интересно, а вообще можно ли на множестве всех неупорядоченных n-к (имеется в виду n штук) вещественных чисел задать метрику или порядок?

А вот это уже потребует создавать математику с обобщённой аксиомой выбора! УУУ..КАКИЕ ДЕБРИ БУДУТ!!!

А вот это уже полная глупость.

А Вы хоть знаете, что такое "аксиома выбора" ?

[незваный гость]

незваный гость:

PSP, не переходите на личности! Недостойно.

[Sasha2]

Ну так непонятно можно или нет? Или не это сложный вопрос, на который так с ходу не ответишь?

[PSP]

Sasha2 писал(а):

Ну так непонятно можно или нет? Или не это сложный вопрос, на который так с ходу не ответишь?

МОЖНО, НО ПРИ УСЛОВИИ ОБОБЩЕНИЯ АКСИОМЫ ВЫБОРА

[незваный гость]

Вам не трудно пояснить:

1) Почему обычной аксиомы выбора недостаточно? Какие именно сложности возникают?

2) Какое именно обобщение аксиомы выбора и как именно помогает ответить на заданный вопрос?

[Руст]

2 PSP.
1. Причём тут аксиома выбора вообще?
2. Что такое обобщённая аксиома выбора?

[Sasha2]

Ну а сам процесс построения порядка и метрики на таком множестве (состоящем из всех неупорядоченных n-к вещественных или комплексных чисел) сложен или нет?

[Руст]

Ответ. Нет не сложен. Ранее привели некоторые естественные виды метрик. Для построения порядка так же не требуется аксиома выбора (она необходима для построения вполне упорядоченного множества). Однако, я не понимаю зачем вам нужен порядок? Дело в том, что здесь в некотором смысле "естественного" порядка нет. А любой порядок, вряд ли полезен для ващих целей.

[lofar]

Что такое неупорядоченная $n$-ка? Насколько я понял, речь идет о подмножествах в $\mathbb C$, состоящих из $n$ чисел. Если так, то можно использовать классическую метрику Хаусдорфа. Дам ее определение.

Пусть $M$ --- метрическое пространство с метрикой $d$. Для любых точки $a\in M$ и непустого множества $B\subseteq M$ определено расстояние $\overline d(a,B)=\inf\{\,d(a,b)\,|\,b\in B\,\}$. Пусть $A$ и $B$ --- непустые подмножества в $M$ расстоянием Хаусдорфа от $A$ до $B$ называется величина

$$D(A,B)=\max\{\,\sup_{a\in A}\overline d(a,B)\,,\;\sup_{b\in B}\overline d(b,A)\,\}$$

.
Теорема. Функция $D$ задает метрику на семействе всех компактных подмножест в $M$.

$n$-ки --- компактные подмножества в $\mathbb C$. Значит расстояние Хаусдорфа определяет метрику на $n$-ках.