Особая обратная матрица

[ShMaxG]

Вот есть квадратная матрица $A$ размерности $\[n > 1\] $, у которой существует обратная.

Вопрос: существует ли такая $A$, элементы обратной матрицы которой были бы обратными к элементам матрицы $A$?

Т.е. $\[A = \left\| {{a_{ij}}} \right\|_{i,j = 1}^n;{A^{ - 1}} = \left\| {a_{ij}^{ - 1}} \right\|_{i,j = 1}^n\]$.

Что касается матриц 2 на 2 - тут все понятно. Перемножив такие матрицы мы получим, что необходимо недиагональные элементы нулевые, а это не возможно.

Для общего случая даже попытался индукцию прикинуть. Но не получилось. А какие у вас идеи? Естественно, чтобы было красиво

[Mathusic]

Пусть $B=\det A=b_1+b_2+\dots+b_s, \ s=n!$,
тогда $B^{-1}=\det {A}^{-1}=\frac{1}b_1+\frac{1}b_2+\dots+\frac{1}b_s$.
Значит $(b_1+b_2+\dots+b_s)\cdot(\frac{1}b_1+\frac{1}b_2+\dots+\frac{1}b_s)=1(*)$,
откуда

$$s^2\frac{b_1+b_2+\dots+b_s}{s}=\frac{s}{\frac{1}b_1+\frac{1}b_2+\dots+\frac{1}b_s}.$$

Последнее по неравенству о средних невозможно.
Однако, такой подход справедлив лишь для вещественных матриц.

[mihiv]

В неравенстве для средних все $b_i$ должны быть положительны.

[Mathusic]

Fail/
Тогда только для положительных
А мусолить $n^2$ равенств как-то неохота.

[ShMaxG]

Mathusic
А вообще довольно интересно, так и думал, что что-то здесь с неравенствами должно быть...

-- Ср июн 23, 2010 21:07:06 --

Хотя, неравенство о средних можно было и не применять. Ибо раскрыв тупо скобки получим: $\[n! + ... = 1\] $, что естественно не выполнено. Это означает существование отрицательных миноров.

[Mathusic]

ShMaxG
Вы матрицы какие подразумевали вообще?

[ShMaxG]

Какие хотите Но для начала с вещественными разобраться хочется.

P.S. Своего решения у меня нет, если что. Но результат как и док-во очень интересны...

[Mathusic]

ShMaxG писал(а):

Хотя, неравенство о средних можно было и не применять. Ибо раскрыв тупо скобки получим: $\[n! + ... = 1\] $, что естественно не выполнено.

Ну да, для положительных очевидно, перемудрил я.

Вы, кстати, задачу сами придумали?

[ShMaxG]

Mathusic в сообщении #334283 писал(а):

Вы, кстати, задачу сами придумали?

Да. Может быть стоило в другой раздел поместить. Но задача не учебная, да и вдруг интересные идеи появятся.

[mihiv]

Для $n=3$ получается,что величина $\frac {a_{11}a_{22}}{a_{12}^2}$ является корнем уравнения $t^2+t+1=0$ и одновременно корнем уравнения $t^2-t+1=0$,а т.к. эти уравнения не имеют общих корней,то такой матрицы не существует.
В общем случае соотношения $A^{-1}A=AA^{-1}=I$ задают систему из $2n^2$ уравнений для определения $n^2$ матричных элементов $a_{ij}$,эта система скорее всего несовместна (как и в случае $n=3$ ),но показать это наверно непросто.

[ShMaxG]

Для определенности, будем рассматривать вещественные матрицы.

В общем у меня задача свелась к определению на несовместность системы:

$\[\left\{ \begin{gathered} {x_{11}} + {x_{12}} + ... + {x_{1,n - 1}} = 0 \hfill \\ \frac{1} {{{x_{11}}}} + {x_{21}} + ... + {x_{2,n - 2}} = 0 \hfill \\ \frac{1} {{{x_{12}}}} + \frac{1} {{{x_{21}}}} + {x_{31}} + ... + {x_{3,n - 3}} = 0 \hfill \\ ... \hfill \\ \frac{1} {{{x_{1,n - 1}}}} + \frac{1} {{{x_{2,n - 2}}}} + ... + \frac{1} {{{x_{n - 1,1}}}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

Все переменные ненулевые.

Случаи $n=2$ и $n=3$ - тривиальны. А общий случай видать - нет....

-- Вт июл 06, 2010 14:45:46 --

Эта система вытекает из того, что после перемножения матриц на диагонали должны стоять единицы. Собственно, на этом я и строил первоначально противоречие для случаев $n=2$ и $n=3$.

[ShMaxG]

Отбой с этой системой. При $n=4$ она разрешима, например при:

$\[{x_{11}} = 1,{x_{12}} = \frac{1} {2},{x_{13}} = - \frac{3} {2};{x_{21}} = \frac{{ - 15 + \sqrt {85} }} {{14}};{x_{22}} = - 1 - {x_{21}};{x_{31}} = - 2 - \frac{1} {{{x_{21}}}}\]$

[Mathusic]

Матрицу можете явно выписать? (в строку элементы можно) Хочется перемножить.

[ShMaxG]

Mathusic
$\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_1}} & a & {\frac{b} {2}} & { - \frac{{3c}} {2}} \\ a & {{d_2}} & {\frac{{ - 15 + \sqrt {85} }} {{14}}e} & {\left( { - 1 - \frac{{ - 15 + \sqrt {85} }} {{14}}} \right)f} \\ b & e & {{d_3}} & {\left( { - 2 - \frac{{14}} {{ - 15 + \sqrt {85} }}} \right)g} \\ c & f & g & {{d_4}} \\ \end{array} } \right)\]$

Эта матрица удовлетворяет лишь некому необходимому условию, когда перемножение ее и особой обратной матрицы дает на диагонали единицы (правда, при наличии последней справа ).

[Mathusic]

Я думал, когда вы писали "задача свелась", то подразумевали эквивалентность.

-- Чт июл 08, 2010 22:20:43 --

Статус кво ещё сохраняется то есть?