2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Особая обратная матрица
Сообщение23.06.2010, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Вот есть квадратная матрица $A$ размерности $\[n > 1\]
$, у которой существует обратная.

Вопрос: существует ли такая $A$, элементы обратной матрицы которой были бы обратными к элементам матрицы $A$?

Т.е. $\[A = \left\| {{a_{ij}}} \right\|_{i,j = 1}^n;{A^{ - 1}} = \left\| {a_{ij}^{ - 1}} \right\|_{i,j = 1}^n\]$.

Что касается матриц 2 на 2 - тут все понятно. Перемножив такие матрицы мы получим, что необходимо недиагональные элементы нулевые, а это не возможно.

Для общего случая даже попытался индукцию прикинуть. Но не получилось. А какие у вас идеи? Естественно, чтобы было красиво :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Особая обратная матрица
Сообщение23.06.2010, 19:27 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Пусть $B=\det A=b_1+b_2+\dots+b_s, \ s=n!$,
тогда $B^{-1}=\det {A}^{-1}=\frac{1}b_1+\frac{1}b_2+\dots+\frac{1}b_s$.
Значит $(b_1+b_2+\dots+b_s)\cdot(\frac{1}b_1+\frac{1}b_2+\dots+\frac{1}b_s)=1(*)$,
откуда $$s^2\frac{b_1+b_2+\dots+b_s}{s}=\frac{s}{\frac{1}b_1+\frac{1}b_2+\dots+\frac{1}b_s}.$$
Последнее по неравенству о средних невозможно.
Однако, такой подход справедлив лишь для вещественных матриц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Особая обратная матрица
Сообщение23.06.2010, 19:47 
Заслуженный участник


03/01/09
1711
москва
В неравенстве для средних все $b_i$ должны быть положительны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Особая обратная матрица
Сообщение23.06.2010, 19:52 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Fail/
Тогда только для положительных :oops:
А мусолить $n^2$ равенств как-то неохота.

 Профиль  
                  
 
 Re: Особая обратная матрица
Сообщение23.06.2010, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Mathusic
А вообще довольно интересно, так и думал, что что-то здесь с неравенствами должно быть...

-- Ср июн 23, 2010 21:07:06 --

Хотя, неравенство о средних можно было и не применять. Ибо раскрыв тупо скобки получим: $\[n! + ... = 1\]
$, что естественно не выполнено. Это означает существование отрицательных миноров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Особая обратная матрица
Сообщение23.06.2010, 20:07 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
ShMaxG
Вы матрицы какие подразумевали вообще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Особая обратная матрица
Сообщение23.06.2010, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Какие хотите :-) Но для начала с вещественными разобраться хочется.

P.S. Своего решения у меня нет, если что. Но результат как и док-во очень интересны...

 Профиль  
                  
 
 Re: Особая обратная матрица
Сообщение23.06.2010, 20:12 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
ShMaxG писал(а):
Хотя, неравенство о средних можно было и не применять. Ибо раскрыв тупо скобки получим: $\[n! + ... = 1\]
$, что естественно не выполнено.

Ну да, для положительных очевидно, перемудрил я.

Вы, кстати, задачу сами придумали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Особая обратная матрица
Сообщение23.06.2010, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Mathusic в сообщении #334283 писал(а):
Вы, кстати, задачу сами придумали?


Да. Может быть стоило в другой раздел поместить. Но задача не учебная, да и вдруг интересные идеи появятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Особая обратная матрица
Сообщение06.07.2010, 11:57 
Заслуженный участник


03/01/09
1711
москва
Для $n=3$ получается,что величина $\frac {a_{11}a_{22}}{a_{12}^2}$ является корнем уравнения $t^2+t+1=0$ и одновременно корнем уравнения $t^2-t+1=0$,а т.к. эти уравнения не имеют общих корней,то такой матрицы не существует.
В общем случае соотношения $A^{-1}A=AA^{-1}=I$ задают систему из $2n^2$ уравнений для определения $n^2$ матричных элементов $a_{ij}$,эта система скорее всего несовместна (как и в случае $n=3$ ),но показать это наверно непросто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Особая обратная матрица
Сообщение06.07.2010, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Для определенности, будем рассматривать вещественные матрицы.

В общем у меня задача свелась к определению на несовместность системы:

$\[\left\{ \begin{gathered}
  {x_{11}} + {x_{12}} + ... + {x_{1,n - 1}} = 0 \hfill \\
  \frac{1}
{{{x_{11}}}} + {x_{21}} + ... + {x_{2,n - 2}} = 0 \hfill \\
  \frac{1}
{{{x_{12}}}} + \frac{1}
{{{x_{21}}}} + {x_{31}} + ... + {x_{3,n - 3}} = 0 \hfill \\
  ... \hfill \\
  \frac{1}
{{{x_{1,n - 1}}}} + \frac{1}
{{{x_{2,n - 2}}}} + ... + \frac{1}
{{{x_{n - 1,1}}}} = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\]$

Все переменные ненулевые.

Случаи $n=2$ и $n=3$ - тривиальны. А общий случай видать - нет....

-- Вт июл 06, 2010 14:45:46 --

Эта система вытекает из того, что после перемножения матриц на диагонали должны стоять единицы. Собственно, на этом я и строил первоначально противоречие для случаев $n=2$ и $n=3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Особая обратная матрица
Сообщение06.07.2010, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Отбой с этой системой. При $n=4$ она разрешима, например при:

$\[{x_{11}} = 1,{x_{12}} = \frac{1}
{2},{x_{13}} =  - \frac{3}
{2};{x_{21}} = \frac{{ - 15 + \sqrt {85} }}
{{14}};{x_{22}} =  - 1 - {x_{21}};{x_{31}} =  - 2 - \frac{1}
{{{x_{21}}}}\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Особая обратная матрица
Сообщение08.07.2010, 17:00 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Матрицу можете явно выписать? (в строку элементы можно) Хочется перемножить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Особая обратная матрица
Сообщение08.07.2010, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Mathusic
$\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   {{d_1}} & a & {\frac{b}
{2}} & { - \frac{{3c}}
{2}}  \\
   a & {{d_2}} & {\frac{{ - 15 + \sqrt {85} }}
{{14}}e} & {\left( { - 1 - \frac{{ - 15 + \sqrt {85} }}
{{14}}} \right)f}  \\
   b & e & {{d_3}} & {\left( { - 2 - \frac{{14}}
{{ - 15 + \sqrt {85} }}} \right)g}  \\
   c & f & g & {{d_4}}  \\
 \end{array} } \right)\]$

Эта матрица удовлетворяет лишь некому необходимому условию, когда перемножение ее и особой обратной матрицы дает на диагонали единицы (правда, при наличии последней справа :oops: ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Особая обратная матрица
Сообщение08.07.2010, 21:18 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Я думал, когда вы писали "задача свелась", то подразумевали эквивалентность.

-- Чт июл 08, 2010 22:20:43 --

Статус кво ещё сохраняется то есть?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group