Особая обратная матрица

[ShMaxG]

Да. Т.е. в общем вообще ничего не понятно.

[Mathusic]

Можно получить систему, совместность которой будет эквивалентна искомой проблеме. (используя явную формулу для обратной). Но как её крутить не совсем понятно...

[ShMaxG]

Тут вот еще что можно обнаружить.

Если $n=3$, то необходимо (это следует из перемножения слева и справа особой на исходную):

$\[\left\{ \begin{gathered} \frac{{{a_{21}}}} {{{a_{11}}}} + \frac{{{a_{22}}}} {{{a_{21}}}} + \frac{{{a_{23}}}} {{{a_{31}}}} = 0 \hfill \\ \frac{{{a_{11}}}} {{{a_{21}}}} + \frac{{{a_{21}}}} {{{a_{22}}}} + \frac{{{a_{31}}}} {{{a_{23}}}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y + z = 0 \hfill \\ \frac{1} {x} + \frac{1} {y} + \frac{1} {z} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

(Замена -- понятно какая.)

Но тогда $x,y,z$ необходимо удовлетворяют некоторому кубическому уравнению $\[{t^3} = xyz\]$, что мгновенно дает $x=y=z=0$ и противоречие.

Пусть $n=4$. Тогда можно построить аналогичную систему:

$\[\left\{ \begin{gathered} 1 + \frac{{{a_{12}}}} {{{a_{21}}}} + \frac{{{a_{13}}}} {{{a_{31}}}} + \frac{{{a_{14}}}} {{{a_{41}}}} = 1 \hfill \\ 1 + \frac{{{a_{21}}}} {{{a_{12}}}} + \frac{{{a_{31}}}} {{{a_{13}}}} + \frac{{{a_{41}}}} {{{a_{14}}}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

Рассуждая аналогично, приходим к тому, что и она не имеет решений.

Так что для случая $n=4$ особых матриц нет

Может как-то на этих алгебраических уравнениях все и завязывается...