Функция, непрерывная в рац. точках и разрывная в иррациональ

[Snegovik]

Народ подскажите пожалуйста как доказать, что если функция f(x) определена на интервале
(a,b) , и каждая точка этого интервала является точкой возрастания, то функция f(x) строго возрастает на этом интервале.

(PAV) Гость, входящий под именем Snegovik. Замечание за оффтоп. Для указанной задачи заведена отдельная тема, а писать одно и то же сообщение в разные темы запрещено. В дальнейшем подобные посты будут удаляться.

[Гость]

Someone писал(а):

Пересечение всех множеств $U_n$, разумеется, совпадает с множеством точек непрерывности функции $f(x)$...

А откуда это следует?

[Someone]

Anonymous писал(а):

Someone писал(а):

Пересечение всех множеств $U_n$, разумеется, совпадает с множеством точек непрерывности функции $f(x)$...

А откуда это следует?

Из определения непрерывности функции и определения множеств $U_n$, $n\in\mathbb N$.
Прежде всего, как уже объяснялось, каждое из множеств $U_n$, $n\in\mathbb N$, содержит все точки непрерывности функции $f(x)$, поэтому и $\bigcap_{n\in\mathbb N}U_n$ содержит все точки непрерывности функции $f(x)$. Остаётся только доказать, что функция $f(x)$ непрерывна в каждой точке $x_0\in\bigcap_{n\in\mathbb N}U_n$.
Но это уже совсем просто. Зададимся произвольным $\varepsilon>0$. Найдётся натуральное число $n>\frac{1}{\varepsilon}$. Так как $x_0\in U_n$, по определению множества $U_n$ найдётся такой интервал $(a,b)\subseteq U_n$, что $x_0\in(a,b)$ и $|f(x)-f(y)|<\frac{1}{n}<\varepsilon$ для всех $x,y\in(a,b)$. Положим $\delta=\min\{x_0-a,b-x_0\}$. Тогда $(x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq(a,b)$ и, следовательно, для всех $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ (и $y=x_0$) выполняется неравенство $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$.
Таким образом, мы для произвольного $\varepsilon>0$ нашли такое $\delta>0$, что для всех $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ выполняется неравенство $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$, а это (по определению) означает непрерывность $f(x)$ в точке $x_0$.

[Гость]

Someone писал(а):

множество иррациональных чисел не является множеством первой категории, оно не может быть множеством точек разрыва никакой функции, определённой на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Как мы доказали что множество иррациональных чисел не является множеством первой категории это понятно!!! А вот то что оно не может быть множеством точек разрыва никакой функции, определённой на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ это мне не понятно! Пожалуйста скажите откуда это следует.


---
Цветовое выделение убираю. Красный цвет обычно используют модераторы для текста замечаний. (dm)

[Someone]

Anonymous писал(а):

Someone писал(а):

множество иррациональных чисел не является множеством первой категории, оно не может быть множеством точек разрыва никакой функции, определённой на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Как мы доказали что множество иррациональных чисел не является множеством первой категории это понятно!!! А вот то что оно не может быть множеством точек разрыва никакой функции, определённой на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ это мне не понятно! Пожалуйста скажите откуда это следует.

В моём первом сообщении это объясняется.

P.S. Ну что, до 10 страниц эту тему дотянем? Или Вы всё-таки перечитаете внимательно всё от начала до конца, потом возьмёте книжку и будете её изучать?

[Гость]

Someone писал(а):

Пересечение всех множеств $U_n$, разумеется, совпадает с множеством точек непрерывности функции $f(x)$...

Обьясните пожалуйста некоторые моменты:

1) Как доказать, что пересечение всех множеств $U_n$ не содержит точки разрыва функции $f(x)$?

2) Когда вы доказывали, что если множество Un открыто то его дополнение Fn=R\Un замкнуто, вы писали: "Теперь для доказательства того, что множество Fn замкнуто тогда и толоько тогда, когда его дополнение Un=R\Fn открыто, достаточно заметить, что точка X0 является точкой прикосновения множества Fn тогда и только тогда, когда она не является внутренней точкой множества Un" Поясните пожалуйста этот момент! Какое отношение оно имеет к доказательству данного "утверждения" ведь мы доказываем, что если множество Un открыто то его дополнение Fn=R\Un замкнуто, а не, что если множество Fn замкнуто то его дополнение Un=R\Un открыто!

---
Прочтите моё добавление к вашему предыдущему сообщению! (dm)

[Someone]

Anonymous писал(а):

Обьясните пожалуйста некоторые моменты:

1) Как доказать, что пересечение всех множеств $U_n$ не содержит точки разрыва функции $f(x)$?

Я это уже объяснял.

Anonymous писал(а):

2) Когда вы доказывали, что если множество Un открыто то его дополнение Fn=R\Un замкнуто, вы писали: "Теперь для доказательства того, что множество Fn замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение Un=R\Fn открыто, достаточно заметить, что точка X0 является точкой прикосновения множества Fn тогда и только тогда, когда она не является внутренней точкой множества Un" Поясните пожалуйста этот момент! Какое отношение оно имеет к доказательству данного "утверждения" ведь мы доказываем, что если множество Un открыто то его дополнение Fn=R\Un замкнуто, а не, что если множество Fn замкнуто то его дополнение Un=R\Un открыто!

Не понял, что Вам не нравится. В моём утверждении написано: "...тогда и только тогда, когда...". То есть, утверждение верно "в обе стороны": если множество открыто, то его дополнение замкнуто, а если множество замкнуто, то его дополнение открыто.

Вообще, вопросы уже стали повторяться. Придумайте что-нибудь новое.

[Руст]

1. Приведите пример непрерывной во всех иррациональных и разрывной во всех рациональных точках.
2. Существует ли функция непрерывная во всех рациональных точках и разрывная во всех иррациональных точках?

[Someone]

Руст писал(а):

1. Приведите пример непрерывной во всех иррациональных и разрывной во всех рациональных точках.
2. Существует ли функция непрерывная во всех рациональных точках и разрывная во всех иррациональных точках?

Этот вопрос обсуждался.

[er]

Руст писал(а):

1. Приведите пример непрерывной во всех иррациональных и разрывной во всех рациональных точках.

Как нибуть занумеруем $\mathbb{Q}$ (рациональные числа), $\mathbb{Q}=(q_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Положим $f(x)=\sum_{q_n<x}\frac{1}{2^n}.

Руст писал(а):

2. Существует ли функция непрерывная во всех рациональных точках и разрывная во всех иррациональных точках?

Если в двух словах, что здесь написано - множество точек непрерывности у любой функции - множество типа $G_{\delta}$ (=пересечение счетного числа открытых), а множество $\mathbb{Q}$ не типа $G_{\delta}$. Поэтому, ответ: не существует.

[Someone]

Обычно в качестве стандартного примера функции, непрерывной во всех иррациональных точках и разрывной во всех рациональных, рассматривают функцию

$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{n}\text{, если $x=\frac{m}{n}$ - несократимая дробь, $n\geqslant 1$,}\\0\text{, если $x$ иррационально.}\end{cases}$$

[inf76]

Someone писал(а):

Под "обратными свойствами" подразумевается, что функция должна быть непрерывной во всех рациональных точках и разрывной во всех иррациональных?

Предположим, что на числовой прямой $\mathbb{R}$ задана функция $f(x)$, которая имеет всюду плотное множество точек непрерывности.

Извините Someone, но вторая фраза шире первой. Вы ведь говорили о множестве рациональных чисел. Что же Вы предполагаете? Что задана функция непрерывная на множестве рациональных чисел или на любом всюду плотном (например, множестве иррациональных чисел)?

Дальше начинаются тонкости. Ваше $U_n$ с одной стороны, содержит все точки, в которых наша функция непрерывна, но с другой стороны $U_n$ это вся числовая прямая!

Тогда, с одной стороны Вы правы и пересечение всех $U_n$ совпадает с множеством точек непрерывности, но с другой стороны это опять вся числовая прямая! Спасите!

[Someone]

inf76 в сообщении #204471 писал(а):

Извините Someone, но вторая фраза шире первой. Вы ведь говорили о множестве рациональных чисел. Что же Вы предполагаете? Что задана функция непрерывная на множестве рациональных чисел или на любом всюду плотном (например, множестве иррациональных чисел)?

Утверждение, которое доказывается, выглядит так:
если функция, определённая на множестве действительных чисел $\mathbb R$, непрерывна на всюду плотном подмножестве множества $\mathbb R$, то множество точек разрыва этой функции не может содержать множество всех иррациональных чисел.

Если функция непрерывна на множестве иррациональных чисел, то сформулированное утверждение, очевидно, верно.

inf76 в сообщении #204471 писал(а):

Дальше начинаются тонкости. Ваше $U_n$ с одной стороны, содержит все точки, в которых наша функция непрерывна, но с другой стороны $U_n$ это вся числовая прямая!

По-моему, я это объяснял. Для каждой точки разрыва данной функции найдётся множество $U_n$, не содержащее эту точку, так как пересечение всех этих множеств совпадает с множеством точек непрерывности. Возможно, некоторые множества и совпадают со всем $\mathbb R$, но заведомо не все, если у функции вообще есть точки разрыва.

[inf76]

По первому вопросу всё ясно. Я Вас неправильно понял. Я подумал (необоснованно), что Вы доказываете от противного.

По второму вопросу я понимаю, что неправ. Но где?

Someone писал(а):

Прежде всего, как уже объяснялось, каждое из множеств $U_n$, $n\in\mathbb N$, содержит все точки непрерывности функции $f(x)$, поэтому и $\bigcap_{n\in\mathbb N}U_n$ содержит все точки непрерывности функции $f(x)$. Остаётся только доказать, что функция $f(x)$ непрерывна в каждой точке $x_0\in\bigcap_{n\in\mathbb N}U_n$.

Вот тут-то у меня и блок: «каждое из множеств $U_n$, $n\in\mathbb N$, содержит все точки непрерывности функции $f(x)$,». Но множество всех точек непрерывности всюду плотно и каждую точку непрерывности накрывает интервал, входящий в $U_n$. Получается, что при каждом $n\in\mathbb N$ $U_n$ вся числовая прямая.

[Someone]

inf76 в сообщении #204555 писал(а):

Получается, что при каждом $n\in\mathbb N$ $U_n$ вся числовая прямая.

Не получается.Предположим, что задана функция

$$f(x)=\begin{cases}0\text{ при }x<\sqrt{2}\text{,}\\ 1\text{ при }x\geqslant\sqrt{2}\text{.}\end{cases}$$

Тогда $\sqrt{2}\notin U_1$.