Равномощность отрезков

[Marina]

2/3

[ИСН]

Теперь роковой вопрос: какая тогда точка отрезка переходит в 2/3 полуинтервала?

-- Пн, 2010-03-29, 23:11 --

(Напоминаю, что такая точка обязана быть, ибо у нас биекция.)

[Maslov]

Marina,
вот тут я попытался более подробно изобразить биекцию (взаимно однозначное соответствие) между отрезком [0, 1] и полуинтервалом (0, 1], которое мы тут все вместе пытаемся построить:



Обратите внимание: внутри каждой цветной полосы все точки отрезка, кроме самой левой, переходят в равные точки интервала, и только самая левая точка отображается "по диагонали".

Другими словами, при прямом отображение (отрезок на полуинтервал):
- все точки отрезка, кроме точек вида $\dfrac n {n+1},~~ (n = 0, 1, ...)$, переходят в равные им точки полуинтервала;
- каждая точка вида $\dfrac n {n+1}$ переходит в точку полуинтервала $\dfrac {n+1} {n+2} \left(0 \to \dfrac 1 2, \dfrac 1 2 \to \dfrac 2 3, ... \right)$

При обратном отображение полуинтервала на отрезок все происходит ровно наоборот:
- все точки полуинтервала, кроме точек вида $\dfrac {n+1} {n+2},~~ (n = 0, 1, ...)$, переходят в равные им точки отрезка;
- каждая точка вида $\dfrac {n+1} {n+2}$ переходит в точку отрезка $\dfrac {n} {n+1} \left(\dfrac 1 2 \to 0, \dfrac 2 3 \to \dfrac 1 2, ...\right) $.

[Marina]

Спасибо, за столь подробное объяснение. Моего серого вещества не хватило, чтобы выразить такую закономерность. Теперь у меня вопрос: Почему точка 8 отрезка (из предыдущего примера) переходит, в точку 5 полуинтервала. Она же (точка 5 полуинтервала) занята соответствующей точкой 5 отрезка? Или я опять...

[Maslov]

Marina в сообщении #304319 писал(а):

Или я опять..

Ну да, немного "опять", но это не страшно...

В предыдущем примере мы строили немного другую последовательность "специальных" точек, а именно: "специальными" у нас являлись точки вида $2 + \dfrac 6 {n+1} (n = 0, 1, 2, ...): \dfrac 8 1, \dfrac {10} 2, \dfrac {12} 3, \dfrac {14} 4, ...$

Поэтому в нашей биекции все точки отрезка переходили в равные им точки полуинтервала, кроме точек вида $2 + \dfrac 6 {n+1} $, которые переходили друг в друга "по цепочке":
$2+\dfrac 6 1 \rightarrow 2 + \dfrac 6 2, \quad 2 + \dfrac 6 2 \rightarrow 2 + \dfrac 6 3, \quad 2 + \dfrac 6 3 \rightarrow 2 + \dfrac 6 4, \quad 2 + \dfrac 6 4 \rightarrow 2 + \dfrac 6 5, \quad ...$

[ewert]

(Оффтоп)

А можно ли доказать, что мощность этой ветки равна мощности множества рациональных чисел?...

[Marina]

"Специальные" точки Вы получили так? 2 - это крайняя точка, которая присутствует и в отрезке, и в полуинтервале. К ней приплюсовываем $\frac {6}{1}=\frac {6}{n+1}$ где $n=0;1;2;3...$, и получаем "специальные" точки вида $2+\frac {6}{n+1}$. Точки вида $2+\frac {6}{n+1}$, всегда будут $\leqslant 8$.
А им будут взаимно соответствовать в полуинтервале точки вида $2+\frac {6}{n+2}$? Или я не совсем всё правильно поняла?

[ИСН]

Они не должны. Мы придумали это из головы, прямо сейчас. Можно было взять другие.

[Maslov]

В данном случаем нам годится любая последовательность, удовлетворяющая следующим условиям:
1. Все члены разные и принадлежат отрезку [2, 8]
2. Первый член равен 8

[ИСН]

Можно было так: 8 переходит в 7, 7 - в 7.1, 7.1 - в 7.11, дальше фигурируют 7.111, 7.1111 и т.д., а все остальные точки - сами в себя.
Можно сколько угодно разных способов придумать, и всё будет правильно.

[Marina]

Вы хотите теперь сказать? что никакой закономерности искать не надо. Просто пишем, что отрезок $[2;8]$ равномощен полуинтервалу $[2;8)$. Точка 8 отрезка взаимно соответствует точке 5 полуинтервала; точка 5 отрезка соответствует точке 4 полуинтервала и т.д.Или любое другое соответствие приводим.
А зачем тогда Вы меня спрашивали: какой точке полуинтервала может соответствовать та или иная точка отрезка. Пиши любую цифру с потолка и не ошибёшься. Если нет никакой закономерности. Так получается?

[ИСН]

Нет и нет! Во-первых, мы ничего не ищем, - мы придумываем. Во-вторых, предъявить одну закономерность необходимо. Сказано же: найти биекцию. Вот мы нашли биекцию. (Можем найти сколько угодно, но это неважно.)

[Maslov]

ИСН в сообщении #304391 писал(а):

Вот мы нашли биекцию.

"Нашли" в смысле "придумали"

[ИСН]

Блин, да!

[Maslov]

Marina, еще пара слов:

Для того, чтобы доказать равномощность множеств $[2, 8]$ и $[2, 8)$, нам надо построить между этими двумя множествами какую-нибудь биекцию (взаимно однозначное соответствие).

"Построить биекцию" означает указать два правила (формулы, алгоритма):
1. Правило, сопоставляющее каждой точке отрезка $[2, 8]$ уникальную точку полуинтервала $[2, 8)$.
2. Правило, сопоставляющее каждой точке полуинтервала $[2, 8)$ уникальную точку отрезка $[2, 8]$.

Вот мы и строим биекцию, формулируя эти правила.

При этом нашим условиям удовлетворяет не одна бекция (пара правил), а много.

Например, такая:
1. Прямое отображение: каждая точка вида $2 + \dfrac 6 {n+1}$ переходит в точку полуинтервала $2 + \dfrac 6 {n+2} $; все остальные точки "остаются на месте";

2. Обратное отображение: каждая точка вида $2 + \dfrac 6 {n+2}$ переходит в точку отрезка $2 + \dfrac 6 {n+1}$; все остальные точки "остаются на месте";


Или такая:
1. Прямое отображение: точка 8 переходят в точку 7; точка 7 переходит в точку 7.1, точка 7.1 -- в точку 7.11 и т.д.; все остальные точки "остаются на месте";
2. Обратное отображение: точки $7.111...11$ ($n$ единиц) переходят в точки $7.111...1$ ($n-1$ единиц), точка 7 переходит в точку 8; остальные точки "остаются на месте"

Или еще какая-нибудь.

Какую конкретно выбрать -- дело вкуса.