Есть ли синтаксис в математике?

[AGu]

errnough в сообщении #299105 писал(а):

мне не стоило отвечать ewert?

Может и стоило, но уж точно не так, как это было сделано. Я даже не знаю, как квалифицировать Ваш ответ — как профессиональный стеб, искреннюю наивность или воинствующее невежество.

errnough в сообщении #299105 писал(а):

Сначала стоит вопрос — является ли математика языком.

Тут мне больше нечего добавить.

errnough в сообщении #299105 писал(а):

Вопрос этот не праздный потому, что все три примера не получили однозначной трактовки.

Своими откликами я, собственно, и хотел намекнуть на то, что это праздный вопрос. (А насчет «однозначной трактовки» я высказался, говоря о контексте.) Ваши вопросы и высказывания в этой теме мне кажутся наивными и забавными. По степени наивности эти вопросы сравнимы... ну не знаю... (вам, вроде, близка тема программирования?)... с такими: «Является ли программирование игрой? Если является, то есть ли у нее правила и какие они? Если они есть, то как найти выигрышную стратегию?» А высказывания по поводу того, что является теоремой, не менее забавны, чем, скажем, утверждение о том, что текст «if (2+2==5) return 1/0» не является программой, поскольку программа — это то, что исполняется компьютером, но ни компьютер, ни исполнение на нем этого текста не были предъявлены.

[errnough]

AGu в сообщении #299316 писал(а):

профессиональный стеб

Нет, денег математикой я не зарабатываю, поэтому если и стеб, то не профессиональный. Интерес вообще-то у меня практический. Связан с разбором математических предложений для формализации. Мне показалось, что как-то остро чересчур этот вопрос воспринимается... Математика формализует высказывания физики, химии, экономики, лингвистики..., тогда высказывания математики и подавно формализуемы и вычисляемы, IMHO.

Меня заинтересовало, в чем невежество Вы усмотрели в моих рассуждениях? Если уж сказали А, наверное, стоит говорить и Б. Вы поддерживаете оба тезиса ewert-а, что и "функция задана", и "из ложной посылки следует любая, откуда следует, что заключение будет истинным"?

[AGu]

errnough в сообщении #299334 писал(а):

Интерес вообще-то у меня практический. Связан с разбором математических предложений для формализации.

Вот это и называется «маяться фигней». На этот счет я уже высказался: стоит уточнить контекст (определения) — и все уже считай формализовано. Для профессионального математика это детские игрушки. А без определенного опыта такая задачка может и неподъемной оказаться. Вот только решается она иначе — приобретением опыта и повышением профессионализма, а не бессмысленными изобретениями «словаря математики» и уж точно не «введением документации на синтаксис и семантику математики как языка».

errnough в сообщении #299334 писал(а):

высказывания математики и подавно формализуемы

Не возражаю.

errnough в сообщении #299334 писал(а):

Меня заинтересовало, в чем невежество Вы усмотрели в моих рассуждениях? Если уж сказали А, наверное, стоит говорить и Б. Вы поддерживаете оба тезиса ewert-а, что и "функция задана", и "из ложной посылки следует любая, откуда следует, что заключение будет истинным"?

Насчет того, задана там функция или нет, и где именно она задана — все решается контекстом, никаких проблем. Что же касается (опять-таки забавного) спора вокруг ложной посылки, то я, разумеется, на стороне ewert'а. Вот только ту туманную фразу, что Вы ему приписываете, он не произносил. Цитирую:

ewert в сообщении #298978 писал(а):

Если высказывание $A$ ложно, то высказывание $(A\Rightarrow B)$ истинно

В классической логике это действительно теорема. Вот ее формальная запись: $\neg A\Rightarrow(A\Rightarrow B)$.

[errnough]

AGu в сообщении #299356 писал(а):

Вот это и называется «маяться фигней».

Да... попахивает крепким снобизмом :)))

AGu в сообщении #299356 писал(а):

я, разумеется, на стороне ewert'а.

Цитата:

Если высказывание $A$ ложно, то высказывание $(A\Rightarrow B)$ истинно

Выбираем 5-10 заведомо ложных аксиом, скажем, геометрии. Из них следуют исключительно истинные теоремы (даже в доказательстве не нуждаются, ссылаюсь на Вашу теорему). Новые основания геометрии готовы. Гильберт в гробу поворачивается...

Я разочарован. Искренне.

[AGu]

errnough в сообщении #299402 писал(а):

AGu в сообщении #299356 писал(а):

Вот это и называется «маяться фигней».

Да... попахивает крепким снобизмом ))

Верно, попахивает. С другой стороны, (непроцитированный Вами!) смайл я там не просто для красоты поставил.

errnough в сообщении #299402 писал(а):

AGu в сообщении #299356 писал(а):

я, разумеется, на стороне ewert'а.

Цитата:

Если высказывание $A$ ложно, то высказывание $(A\Rightarrow B)$ истинно

Выбираем 5-10 заведомо ложных аксиом, скажем, геометрии. Из них следуют исключительно истинные теоремы (даже в доказательстве не нуждаются, ссылаюсь на Вашу теорему). Новые основания геометрии готовы. Гильберт в гробу поворачивается...

Я разочарован. Искренне.

И совершенно напрасно. Как говорится, почувствуйте разницу:

(1) Если высказывание $A$ ложно, то высказывание $(A\Rightarrow B)$ истинно.
(2) Если высказывание $A$ ложно, то высказывание $B$ истинно.

Сказано (1), а Вы упорно прочитываете сказанное как (2).

Кстати, обосновать справедливость высказывания $\neg A\Rightarrow(A\Rightarrow B)$
можно и по-программистски — с помощью битиков и булевских операций.
Вы наверняка знаете, что $X\Rightarrow Y$ логически эквивалентно $\neg X\lor Y$.
Давайте теперь раскроем символы $\Rightarrow$ в формуле $\neg A\Rightarrow(A\Rightarrow B)$,
всякий раз переходя к логически эквивалентному высказыванию.
Взяв $X=\neg A$ и $Y=(A\Rightarrow B)$, получим $\neg(\neg A)\lor(A\Rightarrow B)$.
Теперь взяв там внутри $X=A$ и $Y=B$, получим $\neg(\neg A)\lor(\neg A\lor B)$.
Как известно, $\neg(\neg A)$ эквивалентно $A$. Получаем $A\lor(\neg A\lor B)$.
Перегруппировав скобочки, приходим к следующему: $(A\lor\neg A)\lor B$.
В справедливости $(A\lor\neg A)$, надеюсь, сомнений нет,
а добавление к истине $\lor B$, истинность не испортит.
Не знаю, как Вас, а меня это вполне убеждает.

Если все же не убеждает, то можете провести эксперимент.
Создайте вот такой жава-скриптовый файл:

function implies(A,B){ return !A || B }

function F(A,B){
  if( implies(!A,implies(A,B)) )
    return 'Yes'
  else
    return 'No'
}

var A = 0;
var B = 0;

WScript.echo(F(A,B));

И начните задавать там разные комбинации 0 и 1 для A и B.
Возможно, Вы удивитесь, но у Вас всегда будет получаться 'Yes'.

[errnough]

уважаемый AGu,

странную неточность Вы допускаете, когда утверждаете, что поддерживаете тезис от ewert, а высказывание приводите, которое сам ewert отказался поддерживать. На вопрос, истинное или любое, последовал ответ ewert: любое. Таким образом, Вы защищаете свой тезис, а не ewert-а.

1) У Вас нет оснований приступать к доказательству. Вы назвали высказывание теоремой. По определению, теорема, это математическое утверждение, выводимое из аксиом, или ранее доказанных на основании аксиом теорем. В теореме выделяют посылку и следствие из нее, заключение. Посылка от заключения отделяется знаком "$\Rightarrow$". Аксиома предполагается истинной. А Вы исходите из заведомо ложной посылки, и следовательно, не из аксиомы. Получили противоречие с определением, откуда следует, что Ваше утверждение:

Цитата:

ewert в сообщении #298978 писал(а):
Если высказывание $A$ ложно, то высказывание $(A\Rightarrow B)$ истинно

AGu в сообщении #299356 писал(а):

В классической логике это действительно теорема. Вот ее формальная запись: $\neg A\Rightarrow(A\Rightarrow B)$.

есть теорема, ложно. Процедура для доказательства не теорем, в математике, IMHO, не определена.

2) (в качестве комментария) Доказательство, по определению — обосновывающее рассуждение; основанием Д. служат аксиомы, или доказанные ранее на основании аксиом теоремы. Таким образом, если допустить возможность приступить к доказательству, оснований для рассуждений(доказательств) опять-таки, нет.
-----

Можно, конечно, по распространенному обычаю, понятие расширить и обобщить. Включить в понятие теоремы, например, положение, что Т. может выводится из аксиом или заведомо ложных утверждений. Тогда всё тип-топ. Казалось бы, можно приступить к доказательству? Ан нет, и там придется расширять и углублять, доводя до абсурда, будто бы и в доказательстве в качестве оснований могут выступать заведомо ложные утверждения. Вот так снова приходим к моему примеру с "новейшей геометрией", основанной только на заведомо ложных утверждениях вместо аксиом.

[Xaositect]

errnough в сообщении #299683 писал(а):

есть теорема, ложно. Процедура для доказательства не теорем, в математике, IMHO, не определена.

И эти люди хотят заниматься "формализацией математических предложений".
Пропозициональная логика (А формула $\neg A \to (A\to B)$ является теоремой пропозициональной логики) разрешима, т.е. существует алгоритм, позволяющий по формуле определить, является ли она теоремой пропозициональной логики.

[errnough]

Xaositect в сообщении #299711 писал(а):

И эти люди хотят заниматься "формализацией математических предложений".

Давайте без снобизма обойдемся, для начала.

Xaositect в сообщении #299711 писал(а):

формула $\neg A \to (A\to B)$ является теоремой

.
Доказательство этой теоремы приведите, пожалуйста. Можно и ссылку.

[AGu]

Андрей АK в сообщении #293327 писал(а):

странную неточность Вы допускаете, когда утверждаете, что поддерживаете тезис от ewert, а высказывание приводите, которое сам ewert отказался поддерживать. На вопрос, истинное или любое, последовал ответ ewert: любое. Таким образом, Вы защищаете свой тезис, а не ewert-а.

Наши с ewert'ом «тезисы» совпадают.
Сформулируем «тезис ewert'а» и начнем последовательно
заменять утверждения на эквивалентные им версии.

«Тезис ewert'а»:
(1) из ложного утверждения следует любое.

Более развернутая запись (1) звучит так:
для любого утверждения $A$ и любого (sic!) утверждения $B$
(2) если утверждение $A$ ложно, то из $A$ следует $B$.

Поскольку фраза «утверждение $A$ ложно» является синонимом $\neg A$,
утверждение (2) запишется следующим образом:
(3) если $\neg A$, то из $A$ следует $B$.

Поскольку фраза «из $A$ следует $B$» является синонимом $A\Rightarrow B$,
утверждение (3) запишется следующим образом:
(4) если $\neg A$, то $(A\Rightarrow B)$.

Поскольку фраза «если $X$, то $Y$» является синонимом $X\Rightarrow Y$,
утверждение (4) запишется следующим образом:
(5) $\neg A\Rightarrow(A\Rightarrow B)$.

Таким образом, тезис (1) эквивалентен тезису
о справедливости (5) для любых утверждений $A$ и $B$.
Что и требовалось доказать.

Подозревая, что Вас может смутить переход от (1) к (2),
по сложившейся традиции я попробую пояснить его
аналогичным житейским «программистским» примером.
Каков более развернутый аналог тезиса
«работающий компьютер исполняет любую программу»?
Вне зависимости от того, каков смысл этого тезиса, и справедлив
ли этот тезис, надеюсь, Вы согласитесь, что он означает следующее:
«для любого компьютера $A$ и любой программы $B$
если $A$ работающий, то $A$ исполняет $B$».
Достаточно убедительная аналогия?

По поводу остальных Ваших замечаний я (пока?) ограничусь лишь «диагнозом»
(не из снобизма, а всего лишь из недостатка времени).
Вы путаете импликацию (следствие) и выводимость,
истинность и доказуемость, посылку и аксиому.
Ваши представления о том, что такое теория и теорема, весьма поверхностны.

[errnough]

AGu, Xaositect:

Позвольте уточняющий вопрос. Вы с этой таблицей истинности согласны?

$$\begin{array}{ccc} A & \neg A \\ & \\ True & False \\ False & True \end{array}$$

[ewert]

errnough в сообщении #299735 писал(а):

Вы с этой таблицей истинности согласны?

Но раз уж Вы знаете, что такое таблица истинности, то почему бы Вам не написать её для импликации?

[Xaositect]

errnough в сообщении #299719 писал(а):

Доказательство этой теоремы приведите, пожалуйста. Можно и ссылку.

Теорема *2.21 в Principia Mathematica, доступно онлайн на http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/te ... 1.0001.001


-- Сб мар 20, 2010 14:52:51 --

errnough в сообщении #299735 писал(а):

Позвольте уточняющий вопрос. Вы с этой таблицей истинности согласны?

Да.

[errnough]

Xaositect, спасибо за быстрый ответ.

Подожду ответа от AGu, чтобы спросить у него, на каком основании, учитывая эту таблицу, он утверждает:

AGu в сообщении #299722 писал(а):

фраза «утверждение $A$ ложно» является синонимом $\neg A$,

Насчет доказательства... Вы отослали меня к книге, собранной в десятки PDF файлов. Вместо того, чтобы указать, как это принято, страницу. Ценю юмор. Поищу, конечно, когда время найду, но в общем, это невежливо.

[AGu]

errnough в сообщении #299735 писал(а):

Вы с этой таблицей истинности согласны?

Вы пытаетесь выпрыгнуть в иной контекст, семантический. Мы же находимся в синтаксическом (логическом) контексте. В контексте рассматриваемого «тезиса» фраза «утверждение $A$ ложно» является утверждением, а формальными версиями утверждений служат формулы. Поэтому «$A$ ложно», «не $A$» и «$\neg A$» в рассматриваемом контексте — синонимы. Это чистый синтаксис. Что же до семантики утверждений (формул), определяемой таблицами истинности, то она (как уже отметил ewert) тоже может помочь обосновать «тождественную истинность» формулы $\neg A\Rightarrow(A\Rightarrow B)$, из которой (в силу полноты пропозиционального исчисления) будет вытекать тот факт, что эта формула является теоремой (пропозиционального исчисления).

[Xaositect]

errnough в сообщении #299745 писал(а):

Насчет доказательства... Вы отослали меня к книге, собранной в десятки PDF файлов. Вместо того, чтобы указать, как это принято, страницу. Ценю юмор. Поищу, конечно, когда время найду, но в общем, это невежливо.

Я, честно говоря, не знал, в каком виде она доступна, просто скопировал ссылку.
Страница 108, но там доказательство - это просто подстановка, так что предыдущие страницы тоже потребуются.

-- Сб мар 20, 2010 15:53:24 --

Кстати, здесь есть pdf-ки: http://free-books.dontexist.com/search? ... etype=orig