2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение03.01.2010, 17:32 


03/05/09
45
Минск, Беларусь
Здравствуйте всем!

Подскажите, пожалуйста, имеет ли решение уравнение $Ax^2 - By^2=C$$Z$, конечно) в общем виде (ну или там, скажем, при каких-то ограничениях на A,B,C)? Или хотя бы для c =1? Если да, то опишите технику нахождения.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение03.01.2010, 18:27 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5359
Если вкратце, то примерная идея такая:
1) Домножить на $A$, сведя к уравнению Пелля-Ферма: $t^2 - AB y^2 = AC$, где $t=Ax$.
2) Найти частное решение уравнения Пелля-Ферма $t^2 - AB y^2 = AC$.
3) Найти общее решение уравнения Пелля $t^2 - AB y^2 = 1$.
4) Скомпоновать 2, 3 для получения общего решения уравнения Пелля-Ферма $t^2 - AB y^2 = AC$.
5) Выделить из общего решения те подрешения, в которых $t$ делится на $A$.

Подробно это описано в главе 6.3 в книге
Henri Cohen "Number Theory: Volume I: Tools and Diophantine Equations"

Есть ява-апплет, решающий такие уравнения:
Quadratic two integer variable equation solver

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение03.01.2010, 20:34 


03/05/09
45
Минск, Беларусь
Спасибо большое, maxal.

Впредь буду соблюдать правила форума)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение04.01.2010, 18:42 
Заслуженный участник


09/02/06
4339
Москва
maxal в сообщении #277235 писал(а):
Если вкратце, то примерная идея такая:
1) Домножить на $A$, сведя к уравнению Пелля-Ферма: $t^2 - AB y^2 = AC$, где $t=Ax$.
2) Найти частное решение уравнения Пелля-Ферма $t^2 - AB y^2 = AC$.
3) Найти общее решение уравнения Пелля $t^2 - AB y^2 = 1$.
4) Скомпоновать 2, 3 для получения общего решения уравнения Пелля-Ферма $t^2 - AB y^2 = AC$.
5) Выделить из общего решения те подрешения, в которых $t$ делится на $A$.

Подробно это описано в главе 6.3 в книге
Henri Cohen "Number Theory: Volume I: Tools and Diophantine Equations"

Есть ява-апплет, решающий такие уравнения:
Quadratic two integer variable equation solver

Когда $Z[\sqrt{AB}]$ не является кольцом главных идеалов (а это почти всегда) пункт 4 не дает общего решения. Например, $AB=5, AC=4$. Частные решения $(t,y)=(2,0), (3,1)$ не выражаются умножением на единицу $\pm(9+4\sqrt 5)^k,k\in Z$ друг через друга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение04.01.2010, 18:56 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5359
Руст в сообщении #277460 писал(а):
Когда $Z[\sqrt{AB}]$ не является кольцом главных идеалов (а это почти всегда) пункт 4 не дает общего решения. Например, $AB=5, AC=4$. Частные решения $(t,y)=(2,0), (3,1)$ не выражаются умножением на единицу $\pm(9+4\sqrt 5)^k,k\in Z$.

Я же сказал, что это краткая идея. В каждом пункте там есть подводные камни. Детали нужно смотреть в книге.

-- Mon Jan 04, 2010 11:02:34 --

Кроме того, фундаментальная единица в твоем примере равна $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ и все прекрасно выражается:
$$3-\sqrt{5} = (2-0\sqrt{5}) \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)^2.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение08.05.2018, 12:42 


03/10/06
760
Уравнение Пелля это уравнение $x^ 2-Dy^2=N$ с заданными натуральными D и N.
А если будет такое уравнение $Dx^ 2-y^2=N$, то следует домножать на D (как выше советовали) или есть ещё какой-то способ? Почему D после минуса, а не вначале, проще решать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение08.05.2018, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1838
Москва
Это то же уравнение, домножьте на минус один.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение08.05.2018, 21:43 


03/10/06
760
Понятно. Сначала где-то по ссылке прочитал про натуральность N. Оказывается, что натуральность необязательна, допускаются и целые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение08.07.2018, 08:16 


21/11/12
743
Санкт-Петербург
BanmaN в сообщении #277221 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, имеет ли решение уравнение $Ax^2 - By^2=C$... Или хотя бы для c =1?

Добавлю кое-что. Решения этого уравнения следуют из последней подходящей дроби полупериода разложения $AB$ после нужных сокращений, о чем писал maxal. $\sqrt{77}=\dfrac{8}{1},\dfrac{9}{1},\dfrac{35}{4},...$ откуда $35^2-77\cdot 4^2=-7,\ 11\cdot 4^2-7\cdot 5^2=1.$
Точнее сказать так: для каждого $M\neq n^2$ существует ровно одна пара множителей $AB=M$, для которой разрешимы уравнения $Ax^2-By^2=1$ или $Ax^2-By^2=2$. Если бы нашлась еще одна такая пара $A'B'=M$, было бы верно $\left ( A'x^2+B'y^2 \right )^2-M\left ( 2xy \right )^2=1$ или $\left ( \dfrac{A'x^2+B'y^2}{2} \right )^2-M\left ( xy \right )^2=1.$ И получили бы второе решение Пелля, чего не бывает. А наименьшие $C$ для фиксированных вз. простых $A,B$ следуют из разложения $\sqrt{\dfrac{A}{B}}.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group