2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение03.01.2010, 17:32 


03/05/09
45
Минск, Беларусь
Здравствуйте всем!

Подскажите, пожалуйста, имеет ли решение уравнение $Ax^2 - By^2=C$$Z$, конечно) в общем виде (ну или там, скажем, при каких-то ограничениях на A,B,C)? Или хотя бы для c =1? Если да, то опишите технику нахождения.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение03.01.2010, 18:27 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Если вкратце, то примерная идея такая:
1) Домножить на $A$, сведя к уравнению Пелля-Ферма: $t^2 - AB y^2 = AC$, где $t=Ax$.
2) Найти частное решение уравнения Пелля-Ферма $t^2 - AB y^2 = AC$.
3) Найти общее решение уравнения Пелля $t^2 - AB y^2 = 1$.
4) Скомпоновать 2, 3 для получения общего решения уравнения Пелля-Ферма $t^2 - AB y^2 = AC$.
5) Выделить из общего решения те подрешения, в которых $t$ делится на $A$.

Подробно это описано в главе 6.3 в книге
Henri Cohen "Number Theory: Volume I: Tools and Diophantine Equations"

Есть ява-апплет, решающий такие уравнения:
Quadratic two integer variable equation solver

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение03.01.2010, 20:34 


03/05/09
45
Минск, Беларусь
Спасибо большое, maxal.

Впредь буду соблюдать правила форума)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение04.01.2010, 18:42 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
maxal в сообщении #277235 писал(а):
Если вкратце, то примерная идея такая:
1) Домножить на $A$, сведя к уравнению Пелля-Ферма: $t^2 - AB y^2 = AC$, где $t=Ax$.
2) Найти частное решение уравнения Пелля-Ферма $t^2 - AB y^2 = AC$.
3) Найти общее решение уравнения Пелля $t^2 - AB y^2 = 1$.
4) Скомпоновать 2, 3 для получения общего решения уравнения Пелля-Ферма $t^2 - AB y^2 = AC$.
5) Выделить из общего решения те подрешения, в которых $t$ делится на $A$.

Подробно это описано в главе 6.3 в книге
Henri Cohen "Number Theory: Volume I: Tools and Diophantine Equations"

Есть ява-апплет, решающий такие уравнения:
Quadratic two integer variable equation solver

Когда $Z[\sqrt{AB}]$ не является кольцом главных идеалов (а это почти всегда) пункт 4 не дает общего решения. Например, $AB=5, AC=4$. Частные решения $(t,y)=(2,0), (3,1)$ не выражаются умножением на единицу $\pm(9+4\sqrt 5)^k,k\in Z$ друг через друга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение04.01.2010, 18:56 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Руст в сообщении #277460 писал(а):
Когда $Z[\sqrt{AB}]$ не является кольцом главных идеалов (а это почти всегда) пункт 4 не дает общего решения. Например, $AB=5, AC=4$. Частные решения $(t,y)=(2,0), (3,1)$ не выражаются умножением на единицу $\pm(9+4\sqrt 5)^k,k\in Z$.

Я же сказал, что это краткая идея. В каждом пункте там есть подводные камни. Детали нужно смотреть в книге.

-- Mon Jan 04, 2010 11:02:34 --

Кроме того, фундаментальная единица в твоем примере равна $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ и все прекрасно выражается:
$$3-\sqrt{5} = (2-0\sqrt{5}) \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)^2.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение08.05.2018, 12:42 


03/10/06
826
Уравнение Пелля это уравнение $x^ 2-Dy^2=N$ с заданными натуральными D и N.
А если будет такое уравнение $Dx^ 2-y^2=N$, то следует домножать на D (как выше советовали) или есть ещё какой-то способ? Почему D после минуса, а не вначале, проще решать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение08.05.2018, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Это то же уравнение, домножьте на минус один.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение08.05.2018, 21:43 


03/10/06
826
Понятно. Сначала где-то по ссылке прочитал про натуральность N. Оказывается, что натуральность необязательна, допускаются и целые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение08.07.2018, 08:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
BanmaN в сообщении #277221 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, имеет ли решение уравнение $Ax^2 - By^2=C$... Или хотя бы для c =1?

Добавлю кое-что. Решения этого уравнения следуют из последней подходящей дроби полупериода разложения $AB$ после нужных сокращений, о чем писал maxal. $\sqrt{77}=\dfrac{8}{1},\dfrac{9}{1},\dfrac{35}{4},...$ откуда $35^2-77\cdot 4^2=-7,\ 11\cdot 4^2-7\cdot 5^2=1.$
Точнее сказать так: для каждого $M\neq n^2$ существует ровно одна пара множителей $AB=M$, для которой разрешимы уравнения $Ax^2-By^2=1$ или $Ax^2-By^2=2$. Если бы нашлась еще одна такая пара $A'B'=M$, было бы верно $\left ( A'x^2+B'y^2 \right )^2-M\left ( 2xy \right )^2=1$ или $\left ( \dfrac{A'x^2+B'y^2}{2} \right )^2-M\left ( xy \right )^2=1.$ И получили бы второе решение Пелля, чего не бывает. А наименьшие $C$ для фиксированных вз. простых $A,B$ следуют из разложения $\sqrt{\dfrac{A}{B}}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение23.06.2019, 12:25 


03/10/06
826
Есть термин число Пелля, которым обозначают "целое число, входящее в качестве знаменателя в бесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корня из 2. ... Числители той же последовательности приближений являются половинами сопутствующих чисел Пелля или числами Пелля — Люка — бесконечной последовательностью, начинающейся с 2, 6, 14, 34 и 82." (Из Вики).
То же самое верно для подходящих дробей для квадратных корней других чисел, не являющихся квадратами целых чисел. Числители и знаменатели этих дробей также являются последовательностями Люка. Для двойки соответствующие $(P, Q)$ равны $(6, 1)$, для тройки $(4, 1)$ , для пятерки $(18, 1)$ ... Q всегда равно единице. Числители подходящих дробей являются половинами соответствующих чисел последовательности Люка $V_n$, а знаменатели получатся, если числа $U_n$ домножить на $y_1$, первое ненулевое значение $y$ решения уравнения Пелля.
Первые значения решения уравнения $x^2 - 5y^2 = 1$ .
Код:
n x y
0 1 0
1 9 4
2 161 72
3 2889 1292
4 51841 23184

Последовательности Люка с ${P, Q}$ равными ${18, 1}$ .
Код:
n U V
0 0 2
1 1 18
2 18 322
3 323 5778
4 5796 103682

То есть, чтобы найти следующие значения решений уравнения Пелля из первого ненулевого решения, необязательно помнить матрицу из четырех чисел, а достаточно знать лишь число $P = 2x_1$.
Второе ненулевое решение находится по формулам (вычисления значений с удвоенным n $(2{x_n}^2-1, 2x_n{y_n})$
$$x_2 = 2x_1^2 - 1$$$$y_2 = 2x_1y_1$$или $(Px_1-1, Py_1)$ . А далее соответстенно использовать аналогичные рекуррентные формулы с $(P,Q)$ .
$$x_{n+1} = 18x_n - x_{n-1}$$ $$y_{n+1} = 18y_n - y_{n-1}$$
В Википедии почему-то этого нет, хотя так вроде бы проще находить решения из предыдущих, нужно помнить лишь одно число равное $2x_1$ вместо трех-четырех.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение07.07.2019, 13:49 


03/10/06
826
Как ещё можно получить минимальное нетривиальное решение для уравнения Пелля $$x^2 - Dy^2 = 1$$ с $D=61$, которое имеет решение $(x=1766319049,y=13795392780)$.
Замечено, что для уравнения Пелля с простым числом $D = 4n + 1$ одно из значений имеет вид $x = 2Dk^2 - 1$ для минимального нетривиального решения. Подставив такое $x$ в уравнение Пелля получим, что $Dk^2 + 1$ должно быть квадратом, т.е. $k$ должно быть решением уравнения $$x^2 - Dy^2 = -1$$ Значение $y$ минимального решения даёт значение для $k$, через которое можно получить значение $x = 2Dk^2 - 1$ начального уравнения Пелля. В англинской википедии можно прочесть следующее
Цитата:
For the following transformations,[11] if fundamental {u,v} are both odd, then it leads to fundamental {x,y}.
1. If u^2 − dv^2 = −4, and {x,y} = {(u^2 + 3)u/2, (u^2 + 1)v/2}, then x^2 − dy^2 = −1.
Получив минимальное решение уравнения $x^2 - Dy^2 = -4$, и если оба значения нечетные, то из него уже можно посчитать значение $x$ уравнения $x^2 - Dy^2 = 1$, затем же получить $y$ , подставив $x$ в начальное уравнение. Так как минимальное решение уравнения $x^2 - Dy^2 = -4$ равно $(x=39,y=5)$, из него уже вычислить значение $k=3805$, и далее получить решение $(x=1766319049,y=13795392780)$ для начального уравнения Пелля.
Также возможно сразу посчитать по следующим формулам из википедии
Цитата:
3. If u^2 − dv^2 = −4, and {x,y} = {(u^4 + 4u^2 + 1)(u^2 + 2)/2, (u^2 + 3)(u^2 + 1)uv/2}, then x^2 − dy^2 = 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение07.07.2019, 14:56 


03/10/06
826
Закралась ошибка: Решение для начального уравнения Пелля $(x=1766319049,y= 226153980)$ . Было же скопировано вместо $y$ число $Dy$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение07.07.2019, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
yk2ru
Всё это немножко не в тему. Вопрос был
BanmaN в сообщении #277221 писал(а):
... имеет ли решение уравнение $Ax^2 - By^2=C$

(на всякий случай)

Общее решение уравнения $x^2-my^2=1$ выражается последовательностью $\dfrac{1}{0};\dfrac{x_1}{y_1};... ;\dfrac{x_{n+1}=2x_1x_n-x_{n-1}}{y_{n+1}=2x_1y_n-y_{n-1}};...$ факт общеизвестный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что-то похожее на уравнение Пелля
Сообщение18.07.2019, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
BanmaN в сообщении #277221 писал(а):
$Ax^2 - By^2=C$

Можно еще тут посмотреть https://dxdy.ru/post1405749.html#p1405749

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group