Нужна независимая экспертиза в правильности решения задачи

ser · 22/05/06 ∞ 358 Волгоград

ИгорЪ в сообщении #478891 писал(а):

Да вот я и прошу написать две - три формулы, лагранжиан, уравнения движения ну и конкретную траекторию, которая якобы не есть экстремаль, чтоб всё было видно. Вот тогда или откроем чего или закроем, что тоже неплохо.

Я смотрю, Вы не только понаслышке знаете о разных способах получения дифференциальных уравнений, описывающих движение системы, но и о численном решение дифференциальных уравнений знаете только из учебников, по этому и задаете такие несуразные вопросы об уравнениях, которые я использовал. Так вот использовал я только уравнение 2-го закона Ньютона. Вернее, я использую для получения дифференциальных уравнений модернизированный мною принцип Даламбера, который позволяет мне получить уравнение мощностей, но при отсутствие в рассмотренных мною примерах как упругой, так и неупругой пробуксовки (при их наличие и при рассеивании энергии ПНД применять нельзя), эти уравнения вырождаются в уравнения сил, т.е. во второй закон Ньютона. Таким образом никаких Лагранжианов я не писал и Вам не советую по нескольким причинам:
1- Уравнения Лагранжа 2-го рода нельзя использовать для описания реальных систем (с трением, с зазорами, с реальной жесткостью системы, с упругой и тем более неупругой пробуксовкой, например, в пятне контакта шины автомобиля с дорогой).
2- Даже, если Вы из реальной системы сделаете кастрированную систему, т.е. учебный пример, в котором можно получить описание системы с помощью уравнений Лагранжа, то мороки будет столько, что ни один практикующий ученый делать этого не будет (попробуйте получить описание движения простейшего идеального кривошипно-шатунного механизма).
3- Даже, если Вы получите на нескольких десятках страниц, уравнение, описывающее кривошипно-шатунный механизм, с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода, то оно Вам как исследователю этого механизма ничего не даст – ни усилий в шарнирах, ни резонансных частот, т.е. вообще ничего, что нужно конструктору этого механизма.

А мой метод получения дифференциальных уравнений, описывающих реальные системы, позволяет получить эти уравнения буквально за несколько минут (для систем любой сложности). При этом, для определения реакций в опорах я использую реальную жесткость элементов системы, хотя можно делать так как это я делал в семействе программ Spusk, находя радиус кривизны идеальной направляющей. А, чтобы при не точном задание начальных данных не происходило раскачивание системы при наличие в ней реальной жесткости элементов системы, я учитываю демпфирующие свойства элементов конструкций. И конкретно для задачи изображенной на первом рисунке (в первом посте) я нахожу силы инерции по осям X и Y как составляющие общей силы инерции
W*m = Fm + Fq + Fc + Fj
W – ускорение элемента системы
Fm – сила гравитационного притяжения
Fq – сила электростатического взаимодействия заряженных масс
Fc – сила линейной упругой деформации элемента системы
Fj – сила линейного жидкостного трения в элементе системы.

Ну, а что касается численных методов решения дифференциальных уравнений, то ничего лучше метода Рунге-Кутта (по четырем коэффициентам) я не могу предложить, т.к. за 30 лет моего применения его он прекрасно зарекомендовал себя при решение систем уравнений, описывающих самые разнообразные системы. Правда, метод Адамса немного пошустрее, но я его не использую из-за необходимости задавать ускорение на первом шаге решения, чего при решение реальных задач не возможно сделать. Да, методы Рунге-Кутта и Адамса на каждом шаге решения вынуждены вычислять несколько итераций, что по сравнению с методом Эйлера якобы увеличивает время решения задачи, но у метода Эйлера получается такая большая ошибка, что никакой выигрыш времени не может ее оправдать. Хотя мне бы это сейчас пригодилось, т.к. сейчас мне надо сотни или тысячи раз решить задачу, которую мой компьютер решает около недели.

А, что касается учебных примеров, приведенных мною на первом рисунке (ответы приведены в таблице) то для них можете написать свой любимый Лагранжиан и решить их хотя бы для свободного движения и движения по прямой, чтобы убедиться, что свободное движение не есть экстремаль, как это следует из ПНД, т.е. интеграл от лагранжиана по времени при движение из точки А в точку В не будет иметь минимальное значение. Можете проверить и движение по различным дугам окружности, т.к. в таблице приведены не только начальные скорости, но и радиусы дуг и расстояния до центра окружности этих дуг по оси ординат. А разгадка здесь простая. ПНД работает только в поле постоянной напряженности (поле плоского конденсатора), а у нас рассматривается центральное поле, которое наблюдается в 99,9% решаемых задач.

P.S. Только не надо путать принцип наименьшего действия c принципом стационарного действия о котором ни Планк ни Эйнштейн, ни все другие ученые до них ничего не слышали и использовали в своих работах принцип наименьшего действия.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

warlock66613 · 02/08/11 7014

ser в сообщении #479384 писал(а):

Fj – сила линейного жидкостного трения в элементе системы.

А вы уверены, что система с такими силами является консервативной и к ней хотя бы в принципе применим принцип наименьшего действия?

myhand · 03/03/10 ∞ 4558

ser в сообщении #479384 писал(а):

3- Даже, если Вы получите на нескольких десятках страниц, уравнение, описывающее кривошипно-шатунный механизм, с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода, то оно Вам как исследователю этого механизма ничего не даст – ни усилий в шарнирах, ни резонансных частот, т.е. вообще ничего, что нужно конструктору этого механизма.

Если Вы знакомы с аналитической механикой - то даст.

ser в сообщении #479384 писал(а):

Ну, а что касается численных методов решения дифференциальных уравнений, то ничего лучше метода Рунге-Кутта (по четырем коэффициентам) я не могу предложить, т.к. за 30 лет моего применения его он прекрасно зарекомендовал себя при решение систем уравнений, описывающих самые разнообразные системы.

Ну Вы - не можете. А люди, занимающиеся моделированием консервативных систем (небесная механика, ускорители, плазма, робототехника - приложений не счесть) - знают, что для подобных задач существуют специальные численные методы. На них Вам указали.

Стандартный метод Кутта - хорошо работает только на небольших интервалах времени. Далее - он полность разрушает качественный характер динамики (не сохраняются интегралы движения, к примеру).

ser в сообщении #479384 писал(а):

для них можете написать свой любимый Лагранжиан и решить их хотя бы для свободного движения и движения по прямой, чтобы убедиться, что свободное движение не есть экстремаль, как это следует из ПНД, т.е. интеграл от лагранжиана по времени при движение из точки А в точку В не будет иметь минимальное значение

Во-первых - Вы продолжаете упрямо путать экстремаль и минимум. Несмотря на то, что Вам уже несколько раз указали что это разные вещи.

Лагранжиан свободной частицы: $L=\frac{m}{2} {\dot q}^2$ . Итак, считаем действие для пути вдоль "истинной" траектории из $q(0)$ в $q(T)$ . Как известно - решение уравнений движения для этого лагранжиана: $q(t) = v t + q(0)$ - движение с постоянной скоростью. Учитывая заданные значения координат, получаем скорость $v =\frac{q(T)-q(0)}{T}$ . Считаем действие вдоль "истинной" траектории: $S_{\rm true} = \int^{T}_0 \frac{m}{2} v^2 dt = \frac{m v^2}{2} T$ .

Пусть теперь частица движется по произвольному пути между нашими точками. Тогда ее скорость можно представить как $\dot q = v + \dot \varepsilon$ . Очевидно, средняя скорость частицы по-прежнему должна равняться $v$ , так что имеем $\int^T_0 \dot \varepsilon(t) dt = 0$ . Стало быть, действие вдоль этого произвольного пути равно $S = \int^T_0 \frac{\left(v + \dot \varepsilon\right)^2}{2} dt = \int^{T}_0 \frac{m}{2} v^2 dt + \int^{T}_0 \frac{m}{2} {\dot \varepsilon}^2 dt$ (перекрестный член выпадает из-за равенства средней скорости $v$ ). Первое слагаемое - это $S_{\rm true}$ , а второе положительно (при $m>0$ ).

Итак, $S\ge S_{\rm true}$ , так что для движения свободной частицы - прямая является не только экстремалью действия (в соответствии с ПНД), но и минимумом. Более того - глобальным минимумом. Убеждение лично у меня - сложилось ровно обратное тому, что Вы так опрометчиво пообещали.

ser в сообщении #479384 писал(а):

Можете проверить и движение по различным дугам окружности, т.к. в таблице приведены не только начальные скорости, но и радиусы дуг и расстояния до центра окружности этих дуг по оси ординат.

Никто в здравом уме и трезвой памяти - "проверять" что-то подобным дурацким образом не будет.

Есть доказанная математическая теорема, которую называют "принцип наименьшего действия" (ПНД). Фактически, где-то чуть выше в треде - Вам привели ее доказательство. Если Вы считаете, что теорема неверна - приведите ее формулировку и покажите ошибку в доказательстве.

ser в сообщении #479384 писал(а):

Только не надо путать принцип наименьшего действия c принципом стационарного действия о котором ни Планк ни Эйнштейн, ни все другие ученые до них ничего не слышали и использовали в своих работах принцип наименьшего действия.

Еще как слышали - ну, они же не такие дремучие невежды как некоторые. Путаете "ужа с ежом" - только Вы. В любом учебнике по теоретической механике Вы прочтете формулировку ПНД (ее от Вас никак тут не допросятся), которая от "принципа стационарного действия" - не отличается ровно ничем. Так терминология сложилась.

ИгорЪ · 22/10/08 1286

ser
Если вы не пишите лагранжиан, а только уравнения и решения, то как вы проверяете ПНД? Прошу снова: напишите уравнение и решение нарушающее ПНД :twisted:

.

myhand · 03/03/10 ∞ 4558

ИгорЪ в сообщении #479411 писал(а):

Прошу снова: напишите уравнение и решение нарушающее ПНД

Хотелось бы добавить к этому требование - указать чем данное конкретное "решение" (закон движения) нарушает ПНД. Или "решения", соответственно.

ser · 22/05/06 ∞ 358 Волгоград

warlock66613 в сообщении #479403 писал(а):

А вы уверены, что система с такими силами является консервативной и к ней хотя бы в принципе применим принцип наименьшего действия?

В принципе применим, т.к. здесь $K_j$ имеет чисто теоретическое значение, которое никак не отразиться на практическом результате. Например, при движение по прямой в примере на первом рисунке в первом посте энергия в начале эксперимента была 222,735105 Дж, а в конце 222,735110 Дж, т.е. погрешность будет 0,0000022% (смотрите скриншот програмы). А, если уменьшить $K_j$ , который является чисто техническим параметром, до 1 н*с/м, то погрешность уменьшится еще на порядок. При условие, что само действие в различных экспериментах изменяется в разы, это никак не может повлиять на сделанные мною выводы.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

-- Пт сен 02, 2011 07:01:21 --

myhand в сообщении #479406 писал(а):

Если Вы знакомы с аналитической механикой - то даст.

Прежде чем заявлять о своем знание аналитической механики, получите уравнения, описывающие движение кривошипно-шатунного механизма, и на конкретном примере покажите как Вы будете определять усилия в шарнирах и резонансные частоты в системе.

myhand в сообщении #479406 писал(а):

Ну Вы - не можете. А люди, занимающиеся моделированием консервативных систем (небесная механика, ускорители, плазма, робототехника - приложений не счесть) - знают, что для подобных задач существуют специальные численные методы. На них Вам указали.

Стандартный метод Кутта - хорошо работает только на небольших интервалах времени. Далее - он полность разрушает качественный характер динамики (не сохраняются интегралы движения, к примеру).

Вообще-то я сейчас как раз и решаю задачу небесной механики на больших интервалах времени, но никаких разрушений не заметил. По этому, прежде чем высказываться о численных методах надо хоть раз в жизни попробовать их применить самому.

myhand в сообщении #479406 писал(а):

Лагранжиан свободной частицы: $L=\frac{m}{2} {\dot q}^2$ . Итак, считаем действие для пути вдоль "истинной" траектории из $q(0)$ в $q(T)$ . Как известно - решение уравнений движения для этого лагранжиана: $q(t) = v t + q(0)$ - движение с постоянной скоростью.

Это где это Вы видели, чтобы в центральном поле движение по прямой было с постоянной скоростью. Посмотрите хотя бы на приведенный выше скриншот, где четко видно на нижнем рисунке, что при приближение ко второй массе (заряду) скорость первой массы растет, а при удаление уменьшается.

myhand в сообщении #479406 писал(а):

Есть доказанная математическая теорема, которую называют "принцип наименьшего действия" (ПНД). Фактически, где-то чуть выше в треде - Вам привели ее доказательство. Если Вы считаете, что теорема неверна - приведите ее формулировку и покажите ошибку в доказательстве.

Во-первых, это какой же умник вздумал доказывать принцип, а во-вторых, формулировку ПНД в редакции Гамильтона-Остроградского я уже давал. Могу повторить – при движение тела по истинной (свободной) траектории из точки А в точку В (за одно и тоже время) действие, определяемое как интеграл по времени от Лагранжиана, будет минимальным.

myhand в сообщении #479406 писал(а):

В любом учебнике по теоретической механике Вы прочтете формулировку ПНД (ее от Вас никак тут не допросятся), которая от "принципа стационарного действия" - не отличается ровно ничем. Так терминология сложилась.

Это Ваше заявление голословно. Приведите из работ Планка, Эйнштейна и их современников их формулировки или хотя бы описание ПНД, который они использовали в своих работах и сравните с современной формулировкой (при этом не забудьте дать четкое определение кинематических фокусов).

Без пожеланий Сергей Юдин.

-- Пт сен 02, 2011 07:06:45 --

ИгорЪ в сообщении #479411 писал(а):

ser
Если вы не пишите лагранжиан, а только уравнения и решения, то как вы проверяете ПНД?

Естественно экспериментально, но, если Вам известны другие методы проверки различных физических теорий, то рад буду ознакомиться.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

myhand · 03/03/10 ∞ 4558

ser в сообщении #479617 писал(а):

Прежде чем заявлять о своем знание аналитической механики, получите уравнения, описывающие движение кривошипно-шатунного механизма, и на конкретном примере покажите как Вы будете определять усилия в шарнирах и резонансные частоты в системе.

И что мне за это будет?

Разве я выдвинул утверждение о том, что уравнения Лагранжа для данной задачи "ничего не дадут"? Совершенно стандартная механическая система с голономными связями. Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет получить из действия все необходимые уравнения и определить, к примеру, реакции связей. Вот Вы и поясните как пытаетесь решить задачу по шагам - может Вы просто делаете что-то неверно, или чего-то не умеете?

Кстати, для решения подобных задач тоже существуют специальные численные интеграторы. Такой знаток, как Вы - конечно, сразу может назвать пример? ;)

ser в сообщении #479617 писал(а):

Вообще-то я сейчас как раз и решаю задачу небесной механики на больших интервалах времени, но никаких разрушений не заметил.

А Вы покажите, к примеру, график энергии, полного импульса, момента импульса системы в зависимости от времени. Т.е. всех интегралов движения в задаче. Шаг интегрирования естественно укажите, время и т.п.

Может тогда мы подскажем Вам что "заметить" ;)

ser в сообщении #479617 писал(а):

По этому, прежде чем высказываться о численных методах надо хоть раз в жизни попробовать их применить самому.

Сказал "знаток" численных метотов - слыхом не слышавший о симплектических интеграторах

ser в сообщении #479617 писал(а):

Это где это Вы видели, чтобы в центральном поле движение по прямой было с постоянной скоростью.

Это я привел к тому, что Вы говорили о свободном движении. Такие слова связывают обычно со вполне конкретным лагаранжианом - я его привел и продемонстрировал Вам решение задачи. Хотите, чтобы рассмотрели Вашу задачу - приведите лагранжиан, выведите уравнения движения. И покажите, что ПНД нарушается - т.е. решения уравнений движения не являются экстремалями функционала действия.

Напрасно Вы изобретаете "свою" терминологию, вместо общепринятой - это только к лишнему недопониманию приведет. К примеру, "истинное" движение, т.е. вдоль экстремали действия - так и называют. Никакого "свободного". Ваш "ПНД" - также целиком Ваш.

ser в сообщении #479617 писал(а):

а во-вторых, формулировку ПНД в редакции Гамильтона-Остроградского я уже давал. Могу повторить – при движение тела по истинной (свободной) траектории из точки А в точку В (за одно и тоже время) действие, определяемое как интеграл по времени от Лагранжиана, будет минимальным.

Но это неверно! Это утверждение не является правильной формулировкой ПНД, да и само по себе не является верным, как математическое утверждение. В любом учебнике теоретической механики ПНД - называют совершенно другое утверждение.

Отличия найдете самостоятельно, хоть в том же ЛЛ-I - или Вам, как "знатоку" надо объяснить?

ser в сообщении #479617 писал(а):

Это Ваше заявление голословно.

Нет. Это Ваше заявление - голословно, т.к. вполне грамотным людям Вы приписываете безграмотные вещи. Приведите цитаты, ссылки - тогда настанет мой черед отвечать. Надеюсь, этот вопрос поддержат ЗУ и/или модераторы.

(Оффтоп)

ser в сообщении #479617 писал(а):

Без пожеланий Сергей Юдин.

Зачем Вы это пишете? Вряд-ли кому-то интересны Ваши "пожелания". Интересны содержательные ответы на задаваемые вопросы - чего Вы не демонстрируете.

ser в сообщении #479617 писал(а):

Естественно экспериментально

No comments :shock:

ИгорЪ · 22/10/08 1286

ser в сообщении #479617 писал(а):

Естественно экспериментально, но, если Вам известны другие методы проверки различных физических теорий, то рад буду ознакомиться.

Вы что ж, действие экспериментально меряете? Как? Я наивно думал вы разные траектории суёте в секретный Лагранжиан, который почему то скрываете... Я в смятении.

ser · 22/05/06 ∞ 358 Волгоград

myhand в сообщении #479820 писал(а):

Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет получить из действия все необходимые уравнения и определить, к примеру, реакции связей. Вот Вы и поясните как пытаетесь решить задачу по шагам - может Вы просто делаете что-то неверно, или чего-то не умеете?

Вы хоть палец о палец можете ударить или Вы только и можете, что задавать вопросы не по теме топика и разглагольствовать о том, что это я ничего не знаю и не умею, а Вы само совершенство. Так вот я эту задачу давным-давно уже решил (и своим методом и с помощью уравнений Лагранжа) и решение давно лежит в Интернете, а Вы все продолжаете разглагольствовать, вместо того, чтобы доказать на деле Ваше утверждение о возможности нахождения усилий в шарнирах и резонансной частоты шатуна. Если сами не осилите вывод уравнений (он очень сложный) могу подсказать где лежит мой вывод. Но, если Вы и этого не сделаете, то больше просвещать Вас, отвечая на вопросы не по теме топика, я не буду.

myhand в сообщении #479820 писал(а):

А Вы покажите, к примеру, график энергии, полного импульса, момента импульса системы в зависимости от времени. Т.е. всех интегралов движения в задаче. Шаг интегрирования естественно укажите, время и т.п.
Может тогда мы подскажем Вам что "заметить" ;)

Опять не хотите палец о палец ударить. Нет уж. Вам это надо – Вы и смотрите. Скачиваете мою программу Solsys6, потом задаете на 1-ой форме положения планет Солнечной системы на любую современную дату и переходите к форме 2, где происходит моделирование. Там откручиваете систему на несколько сотен или тысяч лет назад, а потом прокручиваете вперед и смотрите как изменились энергия системы и момент количества движения. В описание программы порядок действий для этого случая описан даже отдельно.

myhand в сообщении #479820 писал(а):

Сказал "знаток" численных метотов - слыхом не слышавший о симплектических интеграторах

Нет, лет 5 назад мне какой-то умник уже рекомендовал их (может быть это Вы и были) и я ознакомился с ними, но не посчитал нужным использовать их взамен многократно проверенного мною метода Рунге-Кутта. А Вы, если так нахваливаете эти интеграторы, то расскажите нам на конкретном примере чего же такого замечательного и почему они нам дают по сравнению, например, с методами Адамса и Рунге-Кутта.

myhand в сообщении #479820 писал(а):

Хотите, чтобы рассмотрели Вашу задачу - приведите лагранжиан, выведите уравнения движения. И покажите, что ПНД нарушается - т.е. решения уравнений движения не являются экстремалями функционала действия.

Вообще-то я давно уже написал, что экспертиза закончена, т.к. AID и Kostya решили мою задачу самостоятельно (без моих уравнений) и у них получился тот же ответ, что и у меня, который говорит о том, что ПНД в этой задаче не работает. Хотите доказать обратное – решайте, не хотите – не решайте. Я Вас конкретно рассматривать задачу Фейнмана не просил.

myhand в сообщении #479820 писал(а):

No comments :shock:

No comments

Без пожеланий Сергей Юдин.

-- Пн сен 05, 2011 10:59:08 --

myhand в сообщении #479820 писал(а):

Нет. Это Ваше заявление - голословно, т.к. вполне грамотным людям Вы приписываете безграмотные вещи. Приведите цитаты, ссылки - тогда настанет мой черед отвечать. Надеюсь, этот вопрос поддержат ЗУ и/или модераторы.

Опять не хотите палец о палец ударить. А ведь это Вы завели разговор о формулировке ПНД. Ладно, т.к. я занимался этим вопросом немного (больше на форуме нельзя в одном сообщении) расскажу, но не столько Вам, сколько непредвзятым читателям этой темы об истории этого принципа и приведу его различные исторические формулировки. Но, как мы увидим ниже, как бы не называли этот принцип, но когда дело доходит до его теоретического применения (практически он не применим), то всегда дается формулировка именно ПНД и чаще всего в формулировке Гамильтона-Остроградского-Якоби, т.е. когда на разных путях действие вычисляется от лагранжиана за одно и тоже время. Хотя первоначально (Эйлер) вычислял интеграл по пути движения от произведения массы тела на его скорость. Позже Лагранж путем замены элемента пути выражением $V dt$ превратил этот критерий в интеграл по времени от живой силы, т.е. величины которая в два раза больше кинетической энергии. А затем уже в это выражение попала и потенциальная энергия в виде лагранжиана.

И так, в 1744 году Мопертюи выдвинул принцип наименьшего действия исходя из метафизических представлений о Природе, где все должно происходить из каких то разумных соображений как будто бы Природа в своих действиях преследует какие то цели, которые сама перед собою и ставит, т.е. имеется в виду наличие Бога, который осуществляет в Природе только разумные процессы. Кстати, и уже в ХХ веке Планк пишет о сущности этого принципа так «В связи с этим надо вспомнить о Теодице Лейбница, в которой выдвинут тезис о том, что истинным миром среди всех миров, которые могли бы быть сотворены, является тот мир, который наряду с неизбежным злом содержит в себе максимум добра. Этот тезис является не чем иным, как вариационным принципом, выраженным в такой же форме, как возникший позднее принцип наименьшего действия. Неизбежное сцепление добра и зла играет при этом роль предписанных условий, и ясно, что фактически из этого тезиса могли бы быть выведены все особенности действительного мира, если бы удалось математически точно сформулировать, с одной стороны, меру для количества добра, с другой стороны – предписанные условия». Кстати о Теодице Лейбница Планк вспомнил не зря, т.к. многие приписывали открытие этого принципа именно Лейбницу и страсти тогда разгорались не шуточные. Даже Вольтер посвятил одно из своих произведений этому принципу. А самому Мопертюи пришлось подключать даже царствующих особ, чтобы добиться его приоритета в открытие этого принципа. Но и в начале 21 века есть люди, которые с использованием этого принципа оптимизируют водопровод в Воронеже и оптимизируют работу чиновников в Киеве (сам видел авторефераты диссертаций), т.е. продолжается обожествление этого принципа.

Так вот, сам Мопертюи (занимаясь, кстати, статикой) привел свой принцип примерно в такой расплывчатой формулировке «количество действия, которое допускает произведенное изменение, является наименьшим возможным», а первую математическую формулировку этого принципа дал его друг Эйлер. Позднее Мопертюи немного помогли, т.к. в его время не существовало даже понятия энергии, и сформулировали его принцип примерно так - для действительного пути материальной точки в консервативном силовом поле интеграл от импульса частицы, взятый по отрезку траектории между какими-либо двумя ее точками A и B, минимален по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых, проведенных через точки A и B. А сейчас наиболее известны такие формулировки этого принципа как Мопертюи-Эйлера-Лагранжа, где действие вычисляется как интеграл по времени от кинетической энергии и Гамильтона-Остроградского-Якоби, где действие вычисляется как интеграл по времени от Лагранжиана. Однако позднее ПНД стали иногда представлять как принцип экстремального действия (ПЭД), т.к. и Эйлер и Лагранж заметили, что с математической точки зрения более коректно говорить о ПЭД, но физический смысл в этот принцип продолжали вкладывать как в ПНД, т.к. таких процессов, где бы действие было максимально на истинном пути я, например, не видел. Вот только этот физический смысл принципа так и не удалось найти до сих пор.

А сейчас, когда говорят вообще только о стационарности действия (ПСД), какой либо физический смысл этого принципа искать вообще бесполезно. Ведь в ПСД ни о каком экстремуме не может быть и речи, т.е. на действительной траектории выполняется условие равенства нулю первой вариации действия. Но равенство первой вариации нулю есть необходимое, но не достаточное условие экстремума (Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. П. 11.6). Таким образом, если действие минимально или максимально на некотором пути, то вариация действия ноль, но если вариация ноль, то действие не обязательно максимально (минимально) даже локально, а для ПНД или ПЭД экстремум должен быть и должен быть глобальный. Более того, чтобы применить ПСД, надо знать границы его применимости, т.е. найти кинетические фокусы. Вот только как их найти никто ничего конкретного не пишет. А в заключение общего обзора хочу заметить, что применять ПНД можно только при отсутствие диссипации энергии. Но даже при соблюдении всех условий ни одной конкретной задачи с использованием ПНД решить нельзя.

А что он нам собственно дает этот принцип. Полак в своей редакционной статье к сборнику «Вариационные принципы механики» http://ftp.kinetics.nsc.ru/chichinin/pmlic.htm#P пишет о возможности выделения единственного возможного действительного движения с применением ПНД также как это делается с применением законов Ньютона. «В противоположность принципу Даламбера, согласно которому движение определяется начальным положением точки и ее начальной скоростью, принцип наименьшего действия определяет движение по начальному и конечному положениям точки. При всех сравниваемых бесконечно близких движениях только начальные и конечные положения остаются без изменения, тогда как скорости, даже начальные скорости, могут быть произвольно варьируемы в пределах, допустимых заданными связями.
По существу говоря, вариационные принципы не являются ни первым, ни единственным в отношении выделения осуществляющихся в природе движений из всех возможных движений. Уравнения движения Ньютона также выделяют из всех возможных движений – точнее говоря, из всех мыслимых движений – естественные движения, удовлетворяющие аксиомам механики Ньютона … Различие в характере выделения группы естественных движений с помощью уравнений Ньютона от выделения их с помощью вариационных принципов состоит в том, что в первом случае условием является только соответствие аксиомам механики, а во втором это соответствие выражено через экстремальное условие, для применения которого необходимо сравнение возможных движений между собой». Так почему же столько шума вокруг этого принципа, а Ландау всю физику выводит из него (правда, начиная со 2-го издания, т.к. в первом издание о ПНД даже не упоминается, как будто его никогда и не было).

Дело в том, что на ПНД возлагали большие надежды как на философский камень науки, который позволит получить с его применением все законы Природы. Но эти надежды не оправдались и, например, когда Эйлер, который можно сказать и создал этот принцип, увидел, что на другой стороне шара ПНД не соблюдается, он прекратил им заниматься, а позже Пуассон вообще назвал его «лишь бесполезным правилом». А еще один из создателей этого принципа, а конкретно М.В.Остроградский в своей статье «Дифференциальные уравнения проблемы изопериметров» об этом принципе сказал следующее «Формула (21) содержит как частный случай динамический принцип наименьшего действия, но, с нашей точки зрения, его нельзя рассматривать не только как принцип, но даже как простую теорему. Он кажется нам только простым следствием, очевидным результатом применения метода вариаций к теории maxima и minima». И здесь очень поучительна история борьбы в физике в конце 19 века с энергетическим течением в ней. По этому поводу Полак в своей редакционной статье к сборнику статей «Вариационные принципы механики» http://ftp.kinetics.nsc.ru/chichinin/pmlic.htm#P пишет «Тот факт, что и энергетики, и их противники пользовались принципом Гамильтона, показывает, что один и тот же математический аппарат может служить для оформления различных физических картин. Физическая картина мира может строится при помощи принципа Гамильтона, но не может быть из него выводима (если не знать заранее, что требуется получить)».

А теперь давайте перейдем к конкретным формулировкам ПНД, ПЭД, ПСД. Формулировки, существовавшие до 20-го века я уже приводил, а вот, более поздние формулировки. Планк в своей работе «Принцип наименьшего действия» пишет «Из бесчисленного количества движений, возможных в рамках наложенных условий, принцип наименьшего действия с помощью простого отличительного признака выхватывает совершенно определенное движение и характеризует его как действительно имеющее место в природе. Этот признак заключается в том, что при переходе от действительного движения к любому бесконечно близкому возможному движению, точнее, при каждой, совместимой с наложенными условиями, бесконечно малой вариации действительного движения, характерная для вариации определенная величина обращается в ноль. Из этого условия следует, как и при всякой проблеме максимума или минимума, особое уравнение для каждой независимой координаты».

А вот формулировка Луи де Бройля http://orel.rsl.ru/nettext/foreign/broi ... e/rf01.htm , который называет этот принцип уже ПСД, но из изложения понятно, что говорит он о ПЭД, т.е. о том же ПНД, но в более широкой формулировке. «Уравнения динамики материальной точки в поле сил, обладающих потенциалом, можно получить, исходя из принципа, который в общем виде носит название принципа Гамильтона, или принципа стационарного действия. Согласно этому принципу, из всех движений материальной точки, которые она может совершить между теми же начальной и конечной точками за тот же самый промежуток времени $t_2...t_1$ в действительности осуществляется то движение, для которого интеграл по времени от $t_1$ до $t_2$ от разности кинетической и потенциальной энергий этой материальной точки принимает экстремальное, т.е. минимальное или максимальное значение. Особенно простую форму принимает принцип стационарного действия в частном, но важном случае статических силовых полей. В этом случае он совпадает с принципом наименьшего действия Мопертюи, согласно которому для действительного пути материальной точки в консервативном (т.е. не зависящем явно от времени) силовом поле интеграл от импульса частицы, взятый по отрезку траектории между какими-либо двумя ее точками A и B, минимален по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых, проведенных через точки A и B».

И в учебник Ландау и Лифшица мы видим тоже самое - «Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона).....Пусть в моменты времени $t=t_1$ и $t=t_2$ система занимала определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат $q_1$ и $q_2$ . Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл (2.1) имел наименьшее возможное значение. Функция $L$ называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл (2.1) действием». Правда, внизу есть сноска
«Следует, однако, указать, что в такой формулировке ПНД не всегда справедлив для всей траектории в целом, а лишь для каждого из достаточно малых ее участков; для всей траектории может оказаться, что интеграл 2.1 имеет лишь экстремальное, не обязательно минимальное значение. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно при выводе уравнений движения, использующем лишь условие экстремальности.» А по поводу этой сноски я не могу не заметить, что мне, например,
трудно понять каким образом весь функционал будет максимален, если на отдельных маленьких участках пути он всегда минимален, а действие при этом является аддитивной величиной.

В принципе, то же самое мы можем прочитать и в научно-популярных современных статьях, например, в первой статье http://www.ioffe.org/register/?doc=physica2/lect28.tex мы читаем «Однако, как известно, для однозначного определения траектории движения вместо двух начальных условий, можно задать положения материальной точки в два последовательных момента времени $r_1 = r(t_1)$ и $r_2 = r(t_2)$ . В последнем случае 2-ой закон Ньютона допускает альтернативную формулировку, имеющую название принципа наименьшего действия. Согласно принципу наименьшего действия движение частицы в интервале $t_1 \leqslant t \leqslant t_2$ между двумя заданными точками происходит по такой траектории $r(t)$ , которая обеспечивает минимальное (или максимальное) значение функционала $S$ , называемого в механике действием».

А во второй статье http://dalaam.nm.ru/html/Conception%20o ... riny.htm#1 мы читаем «В то же время понятие действия единственное, которое, в отличие от всех других понятий классической механики, и сегодня обозначает инвариантную физическую величину, сохранившую свою инвариантность в релятивистской физике. Потому оно как бы возвышается над остальными, утратившими абсолютность и неизменность понятиями классической механики — пространством, временем, массой и даже энергией. Энергия не является неизменной по отношению к преобразованиям Лоренца; так же, как и раньше она не была неизменной по отношению к преобразованиям Галилея. Принцип сохранения энергии дополняется принципом сохранения количества движения, «но над обоими принципами возвышается, объединяя их, принцип наименьшего действия, который, таким образом, господствует над всеми обратимыми явлениями физики» и далее «Вариационные принципы позволяют выделить истинное или реальное движение (или состояние) физической системы из неограниченной совокупности кинематически возможных при тех же условиях движений (или ее состояний). Это достигается благодаря тому, что вариационные принципы указывают не который признак истинного движения системы: для истинного движения определенная функция, зависящая от координат и их производных, дает экстремум по сравнению со всеми остальными движениями, совместимыми с заданными условиями».

А т.к. ПНД относится к вариационным принципам, т.е. геометрическим то по этому он, конечно же, рассматривается и в учебниках по «Аналитической механике», но, ознакомившись с несколькими учебниками, я пришел к выводу, что даже там авторы не однозначно трактуют ПНД. Например, в «Лекциях по аналитической механике» Ф.Р.Гантмахера http://ftp.kinetics.nsc.ru/chichinin/pmlic.htm#P рассматриваются все возможные пути, а в «Теоретической механике» А.П.Маркеева http://ftp.kinetics.nsc.ru/chichinin/pmlic.htm#P рассматриваются только близко расположенные пути, но критерий отличия близко расположенных путей от не близко расположенных он не дает и складывается такое впечатление, что рассматривая близко расположенные пути автор хочет подчеркнуть, что даже по сравнению с этими путями действие будет минимально на прямом пути, не говоря уже о более удаленных путях. Более того не зависимо от того какие пути авторами рассматривались вопрос о том будет ли действие на этом пути минимальным решается в обоих учебниках (так же как и в учебнике Э.Уиттекера «Аналитическая динамика» http://ftp.kinetics.nsc.ru/chichinin/pmlic.htm#P ) с привлечением кинетических фокусов. Вот только как их найти эти кинетические фокусы никто не пишет.

Таким образом вопрос о границах применимости ПНД уперся в вопрос о кинетических фокусах, т.к. если конечная точка лежит до кинетического фокуса то действие на прямом (действительном) пути всегда меньше чем на окольном, т.е. не действительном, не истинном. По этому, как пишет Маркеев принцип Гамильтона-Остроградского (т.е. от Лагранжиана) часто называют ПНД. А вот если конечная точка пути лежит за кинетическим фокусом, то применение ПНД нам уже ничего не даст, т.к. в этом случае, как пишут Э.Уиттекер и Маркеев, действие не будет ни минимально ни максимально, т.е. не будет даже экстремума, а только действие будет иметь стационарное значение.

Без пожеланий Сергей Юдин.

myhand · 03/03/10 ∞ 4558