2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42 ... 52  След.
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение25.01.2012, 18:46 


29/08/09
691
Рискую вызвать гнев уважаемой общественности, но я не понимаю, зачем делать дискриминант функцией?
Речь ведь идет о конкретных корнях конкретного уравнения с одной переменной $x$ :
$$\hspace*{-3cm}(a^2+b^2-ac-bc)x^2+(bc^2+ac^2-ca^2+ab^2-abc-b^3)x+b(b-c)(a-c)(b-a)=0. $$
имеет положительный дискриминант, поскольку $b(b-c)(a-c)(b-a)>0, a^2+b^2-ca-cb<0$ при заданных $a, b, c.$
Или я чего-то не понимаю? Я ведь не ставила задачу найти все целые корни уравнения $x^3+y^3=z^3,$ я строила доказательство от противного, предположив, что хотя бы одно такое решение существует при $x=a, y=b, z=c,$ где $a, b, c $ - целые числа, а не переменные. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение25.01.2012, 18:57 
Заслуженный участник


20/12/10
9055
natalya_1 в сообщении #531226 писал(а):
имеет положительный дискриминант, поскольку $b(b-c)(a-c)(b-a)>0, a^2+b^2-ca-cb<0$ при заданных $a, b, c.$
Считаем $a<b<c$. Тогда первое неравенство очевидно, а второе равносильно неравенству $c>(a^2+b^2)/(a+b)$. А оно почему верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение25.01.2012, 19:00 


29/08/09
691
nnosipov в сообщении #531232 писал(а):
natalya_1 в сообщении #531226 писал(а):
имеет положительный дискриминант, поскольку $b(b-c)(a-c)(b-a)>0, a^2+b^2-ca-cb<0$ при заданных $a, b, c.$
Считаем $a<b<c$. Тогда первое неравенство очевидно, а второе равносильно неравенству $c>(a^2+b^2)/(a+b)$. А оно почему верно?

$a^2+b^2-ca-cb=-(cd-p), cd-p>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение25.01.2012, 19:07 
Заслуженный участник


20/12/10
9055
Ну вот теперь верю :-) Принимайте поздравления. Теперь мы доподлинно знаем, что все наши корни $b$, $b_1$, $b_2$ вещественны!

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение25.01.2012, 19:34 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
natalya_1 в сообщении #531226 писал(а):
но я не понимаю, зачем делать дискриминант функцией?
Потому что я за Вас не пытаюсь решить, на дискриминант не смотрел, а Вы, как обычно, важные вещи не пишете. Из Вас надо вытягивать клещами.

Вот я и предложил стандартный план исследования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение25.01.2012, 20:30 


16/08/05
1153
natalya_1 в сообщении #531062 писал(а):
dmd в сообщении #531050 писал(а):

Почему два других корня имеют именно такую форму $b_1=\frac{q_1}{cd-p}$ и $b_2=\frac{q_2}{cd-p}$?

Потому что сумма корней уравнения по Теореме Виета $b+b_1+b_2=\frac{c^2d}{cd-p}$

-- Ср янв 25, 2012 14:51:56 --

dmd в сообщении #531050 писал(а):
Каковы $q_1$ и $q_2$? Они натуральные взаимнопростые с $(cd-p)$?

1. Мы исходим из того, что
$b_1$ и $b_2$ рациональны (это то, что я никак не могу доказать). В этом случае $q_1$ и $q_2$ - целые числа.
2. Нет, они не взаимнопростые с $cd-p$

Всё равно не понятно. Из чего были сделаны предположения, что два корня могут быть рациональны?

Например вот уравнение с целыми коэффициентами $3 - 7 x - 10 x^2 + 4 x^3 = 0$ имеет корни $\{3,\frac{-1 - \sqrt 5}{4},\frac{-1 + \sqrt 5}{4}\}$ - два из трёх иррациональны, при этом сумма корней $(\frac{5}{2})$ и произведение корней $(-\frac{3}{4})$ рациональны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение25.01.2012, 20:54 


29/08/09
691
dmd в сообщении #531293 писал(а):

Всё равно не понятно. Из чего были сделаны предположения, что два корня могут быть рациональны?


Я как всегда плохо сформулировала. Мне это надо доказать.
Сказывается профессия: художник сначала видит целое, а потом переходит к частностям, а в математике такое не проходит, могут быть ошибки.


AKM в сообщении #531267 писал(а):
а Вы, как обычно, важные вещи не пишете. Из Вас надо вытягивать клещами.


AKM, Вы слишком хорошо обо мне думаете.
Все, что я пишу, это результат определенного процесса познания и исследования для меня (не смейтесь надо мной, пожалуйста, это для Вас многое знакомо и очевидно, а я учусь в процессе. ),

-- Ср янв 25, 2012 22:31:50 --

Что-то я совсем зарапортовалась.
Вроде нет ошибки в доказательстве $b_1<b_2<b.$
$c^2d^2-3cdp+3p^2=(cd-p)^2-p(cd-2p)$, большая критическая точка $\frac{c^2d+c\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}{3(cd-p)}$. Следовательно, эта критическая точка меньше
$\frac{c^2d+c(cd-p)}{3(cd-p)}$.
Я предположила, что $\frac{c^2d+c(cd-p)}{3(cd-p)}<b$. Тогда
$c(2cd-p)<3b(cd-p)$, $2cd-p<3cd-3p$, $cd>2p$ - верно. Следовательно, предположение было верным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение25.01.2012, 22:21 


03/10/06
826
natalya_1 в сообщении #531304 писал(а):
большая критическая точка . Следовательно, эта критическая точка меньше

Исправляйте, вам уже замечали, что точка не число и меньше какого то числа быть не может.
Или что значит: одна точка меньше другой точки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение25.01.2012, 22:40 


29/08/09
691
Прошу прощеня, скопировала старый пост, который писала еще до высказанных замечний. Исправляю:

$c^2d^2-3cdp+3p^2=(cd-p)^2-p(cd-2p)$, $k=\frac{c^2d+c\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}{3(cd-p)}$, где $k$ - большая критическая точка функции $f(x)$. Следовательно, $k<\frac{c^2d+c(cd-p)}{3(cd-p)}$.
Предположим, что $\frac{c^2d+c(cd-p)}{3(cd-p)}<b$. Тогда
$c(2cd-p)<3b(cd-p)$, $2cd-p<3cd-3p$, $cd>2p$ - верно. Следовательно, $b>b_1, b>b_2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение26.01.2012, 02:31 
Заслуженный участник


20/12/10
9055
natalya_1 в сообщении #531342 писал(а):
Следовательно, $b>b_1, b>b_2.$
Вот здесь я снова сомневаюсь. Выпишите аккуратно квадратное уравнение (кажется, оно будет немного другим, чем то, которое выше помечено номером 100) и подставьте, например, $a=5$, $b=6$, $c=(a^3+b^3)^{1/3}$. В этом случае будет $b_1<b<b_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение26.01.2012, 08:12 


16/08/05
1153
Мне думается, что в начале пункта 2.3. нужно обоснование, почему именно поиск рациональных корней уравнения $f(x)+f(a)=0$ поможет доказательству. Пока не вижу почему же. Один натуральный корень имеется всегда, он фиксирует $f(b)+f(a)=0$. Остальные корни, будь они хоть иррациональные, хоть мнимые, уже ни на что не влияют. Или я чего то недоглядываю?

Раньше, страниц 20 назад, было прозрачно понятно. Имея $f(a)=-f(b)$ логично наличие между $a$ и $b$ такого $h$, что $f(h)=0$. И если каркас исходного $a^3+b^3=c^3$ выдёргивает $h$ за пределы диапазона $]a,b[$, то задача решена. С рациональными корнями нужно подобное объяснение, как они помогают решению задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение26.01.2012, 12:40 


29/08/09
691
nnosipov в сообщении #531387 писал(а):
natalya_1 в сообщении #531342 писал(а):
Следовательно, $b>b_1, b>b_2.$
Вот здесь я снова сомневаюсь. Выпишите аккуратно квадратное уравнение (кажется, оно будет немного другим, чем то, которое выше помечено номером 100)

Мне проще выписать другое уравнение:
$(b_1^3-b^3)(cd-p)-c^2d(b_1^2-b^2)+c^2p(b_1-b)=0.$
$(cd-p)x^2-(c^2d-b(cd-p)x+(b^2(cd-p))-c^2(bd-p))=0,$
$b^2(cd-p)-c^2(bd-p)=-a(c-a)(c-b)(b-a).$
Отсюда дискриминант положительный.
Может, проврить Вам дискриминант уравнения с корнями $a_1, a_2, a ?$
Там немного сложнее, но тоже вроде все получается, у меня есть выкладки.

-- Чт янв 26, 2012 14:16:59 --

Вся путнаца у меня началась как раз месяц назад, когда появилось квадратное уравнение AKM (при этом ведь уже было уравнение, которое я написала выше): я совершенно не понимала, что от меня хотят и, главное, зачем. Но это, разумеется, мои проблемы. И сейчас я все время боюсь запутаться после того, как поменяла местами $a$ и $b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение26.01.2012, 13:46 


29/08/09
691
Вот ведь еще 3 декабря я писала:
natalya_1 в сообщении #511019 писал(а):
Попробовала доказать рациональность корней уравнения по-другому:
Пусть $a_1=\frac{q}{cd-p}$, $a_2=\frac{q_1}{cd-p}$, где $a$, $a_1$, $a_2$- корни уравнения $x^3(cd-p)-x^2c^2d+xc^2p+Q=0$.
Тогда:
$\frac{q^3}{(cd-p)^2}-\frac{c^2dq^2}{(cd-p)^2}+\frac{c^2p(cd-p)q}{(cd-p)^2}=\frac{q_1^3}{(cd-p)^2}-\frac{c^2dq_1^2}{(cd-p)^2}+\frac{c^2p(cd-p)q_1}{(cd-p)^2}$, отсюда $(q-q_1)(q^2+qq_1+q_1^2-c^2dq-c^2dq_1+c^2p(cd-p))=0$,
$q^2+q(q_1-c^2d)+(q_1^2-c^2dq_1+c^2p(cd-p))=0$
$D=(q_1-c^2d)^2-4(q_1^2-c^2dq_1+c^2p(cd-p))$
Оставалось только проверить дискримиант.
$D=(2a(cd-p)-c^2d+q_1)^2$ , то есть, дискриминант всегда положительный.
И, если уж быть совсем честной, я по-прежнему не понимаю, зачем проверять дискриминант, если изначально были заданы такие параметры, что он положителен? Но конечно я многого не знаю, поэтому боюсь сознаваться в своих сомнениях.

-- Чт янв 26, 2012 15:39:45 --

dmd в сообщении #531419 писал(а):
Мне думается, что в начале пункта 2.3. нужно обоснование, почему именно поиск рациональных корней уравнения $f(x)+f(a)=0$ поможет доказательству. Пока не вижу почему же. Один натуральный корень имеется всегда, он фиксирует $f(b)+f(a)=0$. Остальные корни, будь они хоть иррациональные, хоть мнимые, уже ни на что не влияют. Или я чего то недоглядываю?

Они влияют на доказательство Теоремы. Если мне удасться доказать их рациональность, то получится доказать Теорему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение26.01.2012, 14:47 


03/10/06
826
Просьба пояснить:
$a$ и $b$ представлены в начальном уравнении симметрично, от замены $a$ на $b$ или $b$ на $a$ ничего не должно измениться.
Если $f(a)=ab(c-a)(c-b)(b-a)$, то наверное
$f(b)=ba(c-b)(c-a)(a-b)$ и значит, верно равенство
$f(a)=-f(b)$
К чему дальнейшие исследования корней функций
$f(x)+f(a)=0$ и $f(x)+f(b)=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение26.01.2012, 15:22 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612

(3 декабря)

natalya_1 в сообщении #531510 писал(а):
Вот ведь еще 3 декабря я писала:
Поскольку Вам всё Вами написанное бесконечно близко, дорого и понятно, то Вам, возможно, трудно будет поверить, написанное Вами 3 декабря и ранее, читать бесконечно трудно (в этом случае, например, надо было листать взад, чтобы увидеть, что $Q$ --- какое-то целое число; и этот факт энтузиазму не добавлял). И, замечу, никто Вам не отвечал, пока Вы не сделали искусственный подъём темы 26 декабря. А сейчас от читателей и советчиков отбоя нет.

Так что ссылки типа "я же уже раньше писала"... ну... как бы это сказать... не особо катят... Учитесь писать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 770 ]  На страницу Пред.  1 ... 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42 ... 52  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group