Схема Бернулли

[geomath]

Пусть в схеме Бернулли о ее вероятностях p и q = 1 - p дополнительно известно, что p = x + y и q = xy
(таких чисел x и y может не быть, но в данном случае пусть они существуют, например x = 1/2 и y = 1/3).
Спрашивается, для чего и каким образом эту дополнительную информацию можно было бы использовать?

[ewert]

ну, решаем систему из двух уравнений... находим пэ... или там икс с игреком... в чём вопрос-то?

[AD]

То есть тривиальный ответ: из этого можно извлечь, что $p\ge2\sqrt{q}$.

[geomath]

AD писал(а):

То есть тривиальный ответ: из этого можно извлечь, что $p\ge2\sqrt{q}$.

Да, пусть так. Но в таком случае получается, что x, y и xy тоже суть вероятности. Спрашивается, вероятности чего?

[Schraube]

geomath писал(а):

Да, пусть так. Но в таком случае получается, что x, y и xy тоже суть вероятности. Спрашивается, вероятности чего?

А исходные бернуллиевские вероятности - вероятности ЧЕГО?
У Вас же нет их содержательной (предметной) интерпретации.Значит и ответ на поставленный вопрос может быть сформулирован только относительно исходных вероятностей и уже неявно содержится в

geomath писал(а):

...известно, что p = x + y и q = xy

Какие-то иные интерпретации могут, имхо, появится при такой постановке исключительно как продукт непорочного зачатия

[TOTAL]

geomath писал(а):

Спрашивается, для чего и каким образом эту дополнительную информацию можно было бы использовать?

Использовать для достижения чего? Вы не назвали никакой цели. Что за схема Бернулли и что с её помощью делаете?

[geomath]

TOTAL в сообщении #207281 писал(а):

Использовать для достижения чего? Вы не назвали никакой цели. Что за схема Бернулли и что с её помощью делаете?

Обычная схема Бернулли: проводится последовательность независимых опытов, исходов в каждом опыте всего два, их вероятности есть p и q, требуется...

Идея была следующая. В этой схеме связь между вероятностями такая: p + q = 1. Спрашивается, а что если связь будет иной: p + q + pq = 1? Т.е. появится "совместная" вероятность pq. Разумеется, всегда можно считать, что схема не биномиальная, с двумя исходами, а полиномиальная, с тремя исходами, чьи вероятности есть p, q и r. Но у нас-то не просто r = 1 - p - q, а еще и r = pq. Как можно использовать эту дополнительную информацию?

Нематематическое отступление. Откровенно говоря, у меня нет хорошего, реального примера этой ситуации (есть только подходящая предметная область, о которой я здесь говорить не буду). Конечно, можно взять урну с белыми, черными и черно-белыми шарами, доля которых в урне как раз p, q и pq. Но пример этот представляется мне надуманным, нежизненным. Пробовал я взять население США, белое, черное и цветное. Но там соотношение хотя и близкое, но не совсем такое. Вот если бы белых было 3/4, черных было 1/7, а цветных было 3/28, то все было бы в самый раз. Но черных в США не 1/7, а только 1/8. Еще возможный пример: некое вещество отражает кванты света с верояностью p, пропускает их с верояностью q и поглощает их с вероятностью pq. Но существует ли такое вещество хоть для какого-то p??

[TOTAL]

geomath писал(а):

Обычная схема Бернулли: проводится последовательность независимых опытов, исходов в каждом опыте всего два, их вероятности есть p и q, требуется...

Т.е. опять ничего не требуется.

[geomath]

Нет, требуется что-нибудь потребовать!

[Schraube]

geomath писал(а):

Идея была следующая. В этой схеме связь между вероятностями такая: p + q = 1. Спрашивается, а что если связь будет иной: p + q + pq = 1? Т.е. появится "совместная" вероятность pq. Разумеется, всегда можно считать, что схема не биномиальная, с двумя исходами, а полиномиальная, с тремя исходами, чьи вероятности есть p, q и r. Но у нас-то не просто r = 1 - p - q, а еще и r = pq. Как можно использовать эту дополнительную информацию?

Нематематическое отступление. Откровенно говоря, у меня нет хорошего, реального примера этой ситуации

То есть, у Вас нет модельной задачи.
Если о том, что приходит на ум, то задачи из "вероятностной теории чисел".
Что-то типа "простое, составное и слегка составное"
Посмотрите книги Каца о стат. независимости и, напр., Ю.В.Линник "Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах".
М.Б что-нибудь надыбаете
Правда, о "вероятности" тут можно говорить с большой натяжкой. Задачки скорее там частотные. "Мизесовские", не "колмогоровские".
Множества меры нуль не игнорируются

[geomath]

Да, модели у меня нету. Есть только целая полка книг по теории вероятностей, 50 штук! как я только что подсчитал.

[Schraube]

geomath писал(а):

Да, модели у меня нету. Есть только целая полка книг по теории вероятностей, 50 штук! как я только что подсчитал.

Речь не о модели а о модельной задаче. Хоть какой-нибудь. Хоть про афроамериканцев.

А так Ваши проблемы понимаются: "Есть гвоздь, есть подозрения, что это хороший гвоздь.Куда бы его забить?"
Но у Вас есть библиотека плотницких рассказов. 50 томов - целая полка.
Искать надо там. Попробовать. Что мне пришло в голову я написал выше.

[Svеznoy]

geomath писал(а):

Пусть в схеме Бернулли о ее вероятностях p и q = 1 - p дополнительно известно, что p = x + y и q = xy
(таких чисел x и y может не быть, но в данном случае пусть они существуют, например x = 1/2 и y = 1/3).
Спрашивается, для чего и каким образом эту дополнительную информацию можно было бы использовать?

Дополнительная информация... может быть в том, что иррациональные вероятности появляются от иррациональных событий. Содержательно это означает, или невозможность точного определения пространственно-временных границ события, или невозможность категоричного определения самого события (произошло\не произошло, какое именно), либо и то и другое одновременно. Если вероятность не может быть выражена дробью, то общее число равновероятных событий бесконечно. В этом смысле, действительно было бы интересно найти физическую модель, где любое доступное изменению условие опыта, например попытка локализации пространственно-временных границ или регистрации события (имеется в виду алгоритм и физический механизм) влечет "дискретное" изменение вероятностей событий по приведеному закону. С тем же примером о населении, если предположить, что численность соответсвующих групп населения стремится соответсвовать вашей модели, то учитывая конечность населения, знание текущих вероятностей из механизма регистрации событий (т.е. цвета кожи) и знание вероятностей в орестностях текущих вероятностей (из модели), позволит сделать вывод о направлении и динамике предстоящих изменений. Причем изменений не только и не столько в самом населении, сколько в соотношении действительности и знания о ней. Т.е. либо действительно прибавится больше "белых", либо мы их просто больше зарегистрируем. Такая вот закономерность.

[PAV]

geomath в сообщении #207310 писал(а):

Да, модели у меня нету. Есть только целая полка книг по теории вероятностей, 50 штук! как я только что подсчитал.

А лучше бы почитал...

Содержательный вопрос, как я его понимаю, звучит так: есть ли известные модели случайного опыта с тремя исходами, вероятности которых были бы связаны указанным образом? Мне такие неизвестны. Более того, я достаточно уверенно предположу, что таких не существует, потому что в теории вероятности нет таких формул, которые бы приводили к указанным операциям над вероятностями. Поэтому таким связям просто неоткуда взяться. Из вероятностных соображений они появиться вряд ли могут.

[geomath]

Svеznoy в сообщении #207552 писал(а):

Такая вот закономерность.

Да, интересная мысль, надо будет ее обдумать. Тем более что сами эти p и q - они у меня как бы промежуточные, переходные вероятности, а в пределе, в идеале должно быть p = 0 и q = 1.

PAV в сообщении #207606 писал(а):

Содержательный вопрос, как я его понимаю, звучит так: есть ли известные модели случайного опыта с тремя исходами, вероятности которых были бы связаны указанным образом? Мне такие неизвестны. Более того, я достаточно уверенно предположу, что таких не существует, потому что в теории вероятности нет таких формул, которые бы приводили к указанным операциям над вероятностями. Поэтому таким связям просто неоткуда взяться. Из вероятностных соображений они появиться вряд ли могут.

Не, тут Вы несколько поспешили. Когда-то похожий вопрос здесь уже обсуждался - в связи с теоремой о баллотировке. Вот как она звучит (Феллер, т.1), цитирую:

Предположим, что на выборах кандидат P набрал p голосов, а кандидат Q набрал q голосов, причем p > q.
Вероятность того, что при последовательном подсчете голосов P все время был впереди Q, равна (p - q)/(p + q).

В этом случае можно положить x = (p - q)/(p + q) и y = q/p, так что как раз x + y + xy = 1. Проблема в том, что в отличие от x вероятностный смысл y тогда установить не удалось.