Иррациональные числа и их свойства

[tolstopuz]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Если Вы примешиваете в нашу случайную последовательность какую-либо простую закономерность, то лишь искажаете закон распределения – Вы не встретите в исходной последовательности за расчетное число раз (исходя из принятого ранее закона распределения) заданную конечную последовательность.

Если не примешивать, то за расчетное число раз последовательность встретится тоже не наверняка, а только с некой доверительной вероятностью. Такое примешивание только слегка меняет эту вероятность (или расчетное число, если вероятность дана), причем тем меньше, чем дальше мы от начала последовательности, то есть асимптотически не меняет вообще. А злоумышленнику, находящемуся в сговоре с владельцами рулетки, такое примешивание очень поможет

[juna]

http://www.mccme.ru/dubna/2005/notes/uspensky.pdf
В этой популярной статье В.А. Успенского рассматриваются формулировки - какую последовательность из нулей и единиц следует считать случайной...

[photon]

Мне по прежнему интересно, почему такие интересные легкозапоминающиеся последовательности возникают, как для $e$
Или например комптоновская длина волны мюона 11.73444197\ldots\cdot 10^{-15}m три четверки подряд, но еще интереснее, что используют на практике еще и величину $\frac{\lambda_{C,\mu}}{2\pi}=1.867594444\ldots \cdot 10^{-15}m$ уже четыре четверки. И откуда они такие последовательности вдруг берутся - числа-то иррациональные

[Борис Лейкин]

Борис Лейкин писал(а):

:)
А я решил как-то написать программу, которая каждую пару цифр десятичного
разложения какого-нибудь иррационального числа, заменяла на букву из
кириллицы или латиницы. Очень было интересно, какие слова или даже
предложения получатся на выходе...

Вот такую статью случайно обнаружил (а может и не случайно ) "Видимые структуры в теории чисел"

Abstracts: "Number theorists have been interested in the characteristics of numerical constants
like $\pi, e$ and $\log{(2)}$ for centuries. These numbers, real irrationals, are composed of an unending
string of digits in a specific but seemingly random order. As statistical methods and traditional
analysis have revealed very little, it has been proposed that the natural visual capacities of
human perception be employed to search for complex correlations in the numerical distributions."

[незваный гость]

photon писал(а):

Или например комптоновская длина волны мюона 11.73444197\ldots\cdot 10^{-15}m три четверки подряд, но еще интереснее, что используют на практике еще и величину $\frac{\lambda_{C,\mu}}{2\pi}=1.867594444\ldots \cdot 10^{-15}m$ уже четыре четверки. И откуда они такие последовательности вдруг берутся - числа-то иррациональные

Мы обычно недооцениваем вероятность случайного повторения цифр. Проф. Хилл провел со студентами эксперимент. Он предложил на выбор или бросить монетку 200 раз, записывая результат, или фальсифицировать бросания. Потом он практически безошибочно нашел фальсифицированные записи по отсутствию достаточно длинных повторений.

[photon]

незваный гость писал(а):

Мы обычно недооцениваем вероятность случайного повторения цифр. Проф. Хилл провел со студентами эксперимент. Он предложил на выбор или бросить монетку 200 раз, записывая результат, или фальсифицировать бросания. Потом он практически безошибочно нашел фальсифицированные записи по отсутствию достаточно длинных повторений.

Ну для двоичного числа - конечно. А тут все-таки числа записываемые десятью цифрами - вероятность повторений пониже

[незваный гость]

Попробуйте прикинуть -- сколько надо взять скажем, 7-значных чисел, чтобы с вероятностью больше 0.5 в одном из них цифра повторялась три раза. Я думаю, Вы помните гораздо больше констант...

[photon]

незваный гость писал(а):

:evil:
Попробуйте прикинуть -- сколько надо взять скажем, 7-значных чисел, чтобы с вероятностью больше 0.5 в одном из них цифра повторялась три раза. Я думаю, Вы помните гораздо больше констант...

Конечно, если учесть, что многие константы я знаю с бОльшей чем 7 знаков точностью

[juna]

В настоящее время неизвестно, существует ли строгий предел для среднего арифметического первых цифр числа $\pi$. Обозначим через K - количество учитываемых цифр после запятой, через $n_i$ - количество попаданий i-й цифры, тогда среднее арифметическое определится:$M=\frac{0n_0+1n_1+2n_2+3n_3+4n_4+5n_5+6n_6+7n_7+8n_8+9n_9}{K}$.
Ясно, что если распределение цифр равномерное, то $\lim\limits_{K->\infty}M=4.5$
Если использовать статистику Someone, то получаем следующие результаты:
K=500 M=4.424
K=10000 M=4.4889
K=20000 M=4.50765
K=100000 M=4.4933
Статистика, конечно хорошо подтверждает равномерность, но не доказывает ее. Ведь нельзя утверждать, что наблюдаемые колебания вокруг 4,5 затухают. Вообще, было бы действительно интересно рассмотреть данную статистику на других известных константах, например, $e$, $\gamma$...

[Борис Лейкин]

photon писал(а):

И откуда они такие последовательности вдруг берутся - числа-то иррациональные

А почему вы уверены, что они иррациональные?
А гравитационная постоянная Ньютона $G=6.6742(10) \times 10^{-11} (m^3 kg^{-1} s^{-1})$
тоже иррациональное число?
photon, а почему скорость света равна 299792458 м/с, откуда там две 9,
почему скорость света - это целое число, а не иррациональное?
Как ответить на эти вопросы?

[photon]

Борис Лейкин писал(а):

photon, а почему скорость света равна 299792458 м/с, откуда там две 9,
почему скорость света - это целое число, а не иррациональное?
Как ответить на эти вопросы?

Две цифры подряд - несерьезно. А почему целое? Потому, что единицы измерения длины и времени задали таким способом, а не иным - по определению: метр - это расстояние, которое проходит свет в вакууме за 1/299792458 с.

[Dan B-Yallay]

Если не подводит память, когда-то 1 метр был 1/ 40 000 000 частью длины Гринвичского меридиана. Или экватора. И тем не менее скорость света все еще была рациональным числом. А вообще учитывая естественные ограничения измерительных приборов и принцип Гейзенберга, непонятно как определять иррациональность физических констант.

[Борис Лейкин]

Dan B-Yallay писал(а):

...непонятно как определять иррациональность физических констант.

Оказывается иррациональность чисел и в математике проблема.
Неизвестно даже иррациональны или нет числа $\pi + e, 2^e, \pi^e, \pi^{\sqrt{2}}$.
А как насчёт $\dfrac{\pi}{e}$?
А что это за "мера иррациональности"?

[Dan B-Yallay]

Одно помню точно: существуют иррациональные числа $ a $ и $ b $ такие, что $ a^b $ рационально и даже целое.

[photon]

Dan B-Yallay писал(а):

Одно помню точно: существуют иррациональные числа $ a $ и $ b $ такие, что $ a^b $ рационально и даже целое.

Конечно так, например: $a^{\log_ab}=b$, если $a$ и $\log_ab$ - иррациональные, а $b$ - рациональное