Абстракция актуальной бесконечности

[epros]

Someone писал(а):

То есть, ничего вразумительного сказать не можете, и теория множеств Вам просто не нравится. Так и скажите, не ссылаясь на мифическую "актуальную бесконечность". И на этом спор закончим, поскольку о личных вкусах спорить бессмысленно.

По этому поводу никакого спора не было. Просто Вы несколько раз зачем-то сказали, что теория множеств "мне не нравится", что я проигнорировал как не относящееся к делу.

Someone писал(а):

epros в сообщении #195562 писал(а):

Я сказал, что Вам нужно взять интересующее Вас множество и сравнить по мощности с минимальным индуктивным множеством. Может быть я не понимаю, что это "не всегда возможно"? Может быть у Вас есть доказательство существования множества, мощность которого несравнима с минимальным индуктивным множеством?

А Вы не в курсе, что такие множества возможны? Они называются конечными по Дедекинду.

Я не в курсе. А Вы уверены в своём курсе? Мощность множества, насколько я знаю, придумал ещё Кантор. Между прочим, утверждение: "Множество называется бесконечным, если его мощность $\ge \aleph_0$", есть и в указанной статье википедии. Так что это не моё изобретение.

Someone писал(а):

Ну надо же! А теория множеств тоже признаёт НЕсуществование конечной совокупности, включающей все элементы данного бесконечного множества.

Ну и слава богу, я разве против?

Someone писал(а):

А может быть, Вам просто не нравится, что в теории множеств бесконечные множества имеют имена, по которым на множества можно ссылаться? Впрочем, в конструктивном анализе они тоже имеют имена, по которым на эти множества можно ссылаться:

Имена мне абсолютно безразличны. Меня интересует наличие или отсутствие в теории утверждения о существовании бесконечного множества.

Someone писал(а):

Ну вон чуть выше цитата. Если бы такая совокупность не существовала, зачем нужно было бы вводить для неё постоянное обозначение и использовать это обозначение в формулах?

То что Вы сказали - это какая-то весьма спорная философская интерпретация слов Кушнера. Я могу говорить о каких-то совокупностях натуральных чисел, даже называть их "множествами" и обозначать специальными буквами. Но это не значит, что я утверждаю, что существует множество, включающее их все.

Someone писал(а):

Будем перебирать оставшиеся значения, то есть, те, которые $\leqslant 10$.

Те, которые $\leqslant 10$, мы переберём за конечное количество шагов (не более десяти).

Someone писал(а):

Вы не правы. В приведённом мной примере свойство $P(n)$ для некоторых $n$ может оказаться неразрешимым

А в приведённом мной примере - не может. Там задача была сформулирована так, что нужно из конечного количества объектов выбрать максимальный. Поскольку сравнение двух объектов в данном случае предполагается заведомо конечной операцией, каждый шаг перебирающего алгоритма будет разрешим.

Someone писал(а):

у нас может не найтись никаких оснований в какой-либо момент остановить перебор.

Нам не нужно ловить момент для того, чтобы остановить перебор. По условию искомых чисел конечное количество и до каждого из них мы доберёмся за конечное количество шагов. Это ведь теоретический вывод: Нам-то может быть и не сказали, сколько имеется искомых чисел, но тот, кто это утверждает, должен иметь возможность вычислить их количество, а значит он узнает, когда перебор закончится.

Добавлено спустя 16 минут 23 секунды:

Nxx писал(а):

Что ж, напомню, мне не трудно:

Цитата:

У нас есть три варианта
1. Нечетное совершенное число есть и это можно доказать (найти методом перебора).
Тогда m/n - рациональное число.
2. Нечетного совершенного числа нету и это можно доказать
Тогда m/n=1/3
3. Невозможно доказать, существуют ли нечетные совершенные числа

Это Вы почему-то решили, что вариантов именно три. Неверно.

Nxx писал(а):

Цитата:

С чего Вы взяли, что случаев только три?

Не важно, сколько их. Важно, что число m существует только в первых двух.

Ваше заявление абсолютно голословно, ибо Вы, судя по всему, даже не представляете, что это за другие случаи.

Nxx писал(а):

Я вам привел вашу же цитату.

Месячной давности? Мой "совет" относился к тому, что было процитировано непосредственно в том же посте.

Ваш стиль ведения дискусии наводит на подозрение, что Вы заинтересованы не в том, чтобы достичь понимания с собеседником, а в том, чтобы разжечь бессмысленную перепалку.

[Someone]

epros в сообщении #195753 писал(а):

Между прочим, утверждение: "Множество называется бесконечным, если его мощность $\ge \aleph_0$", есть и в указанной статье википедии.

Начхать на Википедию. Есть два существенно разных определения бесконечных множеств.
1) Множество $A$ бесконечно, если оно не равномощно никакому натуральному числу (требуется предварительно определить натуральные числа в теории множеств).
2) Множество $A$ бесконечно по Дедекинду, если оно содержит собственное подмножество $B$, равномощное самому $A$.
Если справедлива аксиома выбора, то оба определения равносильны. Без аксиомы выбора они, однако, не равносильны.
Существование множества, бесконечного по Дедекинду, насколько я знаю, равносильно обычной аксиоме бесконечности (П.Дж.Коэн. Теория множеств и континуум-гипотеза. "Мир", Москва, 1969. Это упоминается в примечании 2 к странице 117).

epros в сообщении #195753 писал(а):

Ну и слава богу, я разве против?

Тады об чём спорим?

epros в сообщении #195753 писал(а):

Меня интересует наличие или отсутствие в теории утверждения о существовании бесконечного множества.

Открыв книгу Кушнера, легко убедиться, что в конструктивном анализе они существуют. Что дальше?

epros в сообщении #195753 писал(а):

Я могу говорить о каких-то совокупностях натуральных чисел, даже называть их "множествами" и обозначать специальными буквами. Но это не значит, что я утверждаю, что существует множество, включающее их все.

"Их" - это кого? Множества или натуральные числа?
В каком смысле множество натуральных чисел $\mathscr H$, определённое Кушнером, содержит не все натуральные числа?

epros в сообщении #195753 писал(а):

Те, которые $\leqslant 10$, мы переберём за конечное количество шагов (не более десяти).

Вы внимательно читали, что я там написал? $P(10)$ является неразрешимым, и наш "перебирающий" алгоритм будет разбираться с числом $10$ до скончания веков. Но мы не знаем, что утверждение неразрешимо. Вы же сами писали, что это невозможно доказать средствами нашей теории (даже и вопрос-то такой нельзя сформулировать).

epros в сообщении #195753 писал(а):

Там задача была сформулирована так, что нужно из конечного количества объектов выбрать максимальный. Поскольку сравнение двух объектов в данном случае предполагается заведомо конечной операцией, каждый шаг перебирающего алгоритма будет разрешим.

Вы опять подменяете задачу. Всё, что мы знаем - это то, что нужных нам объектов - конечное число. Готового списка объектов у нас нет:

epros в сообщении #194736 писал(а):

Предположение о том, что их конечное количество, легко сводится к противоречию: Находим среди них максимальное, оно и есть максимальное совершенное число, что противоречит условию о том, что такового не существует. Сведение к противоречию есть доказательство отрицания.

Речь шла о гипотетическом доказательстве конечности множества совершенных чисел, которое только сообщает нам, что таких чисел не может быть бесконечно много (или даже даёт какую-нибудь оценку сверху для их числа, но не точное количество; такое доказательство может быть совершенно конструктивным).

epros в сообщении #195753 писал(а):

Нам не нужно ловить момент для того, чтобы остановить перебор. По условию искомых чисел конечное количество и до каждого из них мы доберёмся за конечное количество шагов. Это ведь теоретический вывод: Нам-то может быть и не сказали, сколько имеется искомых чисел, но тот, кто это утверждает, должен иметь возможность вычислить их количество, а значит он узнает, когда перебор закончится.

Тот, кто это утверждает, доказал, что нужных нам чисел не более 100 штук. Он, однако, не смог определить точного количества. Может быть, их всего 99. Или даже меньше.

Я не пойму, Вы действительно этого не понимаете или придуриваетесь?

[Nxx]

Цитата:

Это Вы почему-то решили, что вариантов именно три. Неверно.

Я прекрасно понимаю, какие варианты есть в интуицинистской логике (невозможно доказать, что невозможно доказать... и т.д.). Но при этом число m есть только в первых двух вариантах, когда его можно вычислить.

Вот ваш вопрос:

Цитата:

Что не соответствует? В обоих случаях - (a) или (b) - число $x$ будет рациональным.

С чего вы решили, что случаев только два? С чего вы решили, что случай (с) противоречив?

Давайте с этого начнем. Я вам доказал, что в варианте (с) число х не будет рациональным. Вы после этого стали утверждать, что вариант (с) противоречив, потому что число х, якобы, рациональное по условию задачи. Но в условии задачи говорится только, что оно рационалдьное в случаях (а) и (b).

[epros]

Someone писал(а):

epros в сообщении #195753 писал(а):

Между прочим, утверждение: "Множество называется бесконечным, если его мощность $\ge \aleph_0$", есть и в указанной статье википедии.

Начхать на Википедию. Есть два существенно разных определения бесконечных множеств.
1) Множество $A$ бесконечно, если оно не равномощно никакому натуральному числу (требуется предварительно определить натуральные числа в теории множеств).
2) Множество $A$ бесконечно по Дедекинду, если оно содержит собственное подмножество $B$, равномощное самому $A$.
Если справедлива аксиома выбора, то оба определения равносильны. Без аксиомы выбора они, однако, не равносильны.
Существование множества, бесконечного по Дедекинду, насколько я знаю, равносильно обычной аксиоме бесконечности (П.Дж.Коэн. Теория множеств и континуум-гипотеза. "Мир", Москва, 1969. Это упоминается в примечании 2 к странице 117).

А моё определение, которое удивительным образом совпало с формулировкой из википедии, чем Вас не устраивает? Я так полагаю, что оно равносильно Вашему 1-ому, хотя это, конечно, нужно доказать (на что я, признаться, никакой мотивации не имею).

Someone писал(а):

Открыв книгу Кушнера, легко убедиться, что в конструктивном анализе они существуют. Что дальше?

Из приведённой Вами цитаты я в этом "убедиться" не могу. Это всего лишь некоторые общие слова, призванные объяснить, с каким объектами мы далее собираемся иметь дело (и обозначить их как-то).

Someone писал(а):

epros в сообщении #195753 писал(а):

Я могу говорить о каких-то совокупностях натуральных чисел, даже называть их "множествами" и обозначать специальными буквами. Но это не значит, что я утверждаю, что существует множество, включающее их все.

"Их" - это кого? Множества или натуральные числа?

Совокупности натуральных чисел.

Someone писал(а):

В каком смысле множество натуральных чисел $\mathscr H$, определённое Кушнером, содержит не все натуральные числа?

В том смысле, что прямо об этом никто не заявил. Вот аксиома бесконечности в теории множеств прямо заявляет, что множество включает всех последователей. Есть такое же прямое утверждение где-то, например, у того же Кушнера?

Someone писал(а):

Но мы не знаем, что утверждение неразрешимо. Вы же сами писали, что это невозможно доказать средствами нашей теории (даже и вопрос-то такой нельзя сформулировать).

Мы рассматривали не такой случай, когда очередной шаг перебирающего алгоритма может оказаться неразрешимым. Эту возможность Вы сами домыслили.

Someone писал(а):

Речь шла о гипотетическом доказательстве конечности множества совершенных чисел, которое только сообщает нам, что таких чисел не может быть бесконечно много

Речь шла о гипотетическом конструктивном доказательстве, которое сообщает нам, что таких чисел конечное количество. Не "не может быть бесконечно", а именно "конечно", ибо это не одно и то же. В последнем случае мы можем быть уверены в том, что доказавший располагает способом вычислить конкретное значение, которым ограничено количество объектов.

Someone писал(а):

Тот, кто это утверждает, доказал, что нужных нам чисел не более 100 штук. Он, однако, не смог определить точного количества. Может быть, их всего 99. Или даже меньше.

Я не пойму, Вы действительно этого не понимаете или придуриваетесь?

Вы исходите из того, что перебирающий "будет ждать" пока не наберётся ровно 100 штук, а поэтому если их меньше, то не дождётся. Но очевидно, что разумные условия перебора не могут быть таковыми. Когда перебор закончится и в ящике не останется больше предметов, алгоритм остановится и об этом нам станет известно.

Я понимаю, что Вы думаете, что с поиском совершенных чисел ситуация может быть иной, т.е. мы будем ждать 100-того числа. Так могло бы случится, если бы предъявленное нам доказательство того, что чисел не более 100, было неконструктивным. Но если оно конструктивно, то значит, что в алгоритм перебора будет заложен какой-то способ определения того, что числа закончились.

Добавлено спустя 1 час 4 минуты 19 секунд:

Nxx писал(а):

Я прекрасно понимаю, какие варианты есть в интуицинистской логике (невозможно доказать, что невозможно доказать... и т.д.). Но при этом число m есть только в первых двух вариантах, когда его можно вычислить.

Варианты не совсем такие. "Невозможно доказать" может быть доказуемо в самой теории (без привлечения мета-теоретических средств) и в таком случае является просто опровержением. Вот "неразрешимость" в теории доказана быть не может, а поэтому, если она имеет место, то это - новый "случай".

Nxx писал(а):

С чего вы решили, что случаев только два?

Я этого не говорил.

Nxx писал(а):

С чего вы решили, что случай (с) противоречив?

Я Вам уже объяснял. Это связано с тем, что стоящий перед нами вопрос - о существовании. Поэтому в какой бы теории мы ни рассуждали, доказательство того, что существование объекта с помощью легальных средств недоказуемо, является доказательством его несуществования. Таким образом, в данной теории вопрос сущестования объекта разрешён, т.е. утверждение в той же теории о его неразрешимости было бы неверным.

Кстати, именно так Гёделевское $G$ понимает мета-теория. Это высказывание имеет вид:
$G \equiv (\not\exists x)(P(x))$ или $G \equiv (\forall x)(\neg P(x))$, где $P(x)$ - некий арифметический предикат.

Мета-теория $M$ понимает предикат $P(x)$ так: "$x$ является Гёделевским номером доказательства $G$ в теории $T$". В самой теории $T$ высказывание $G$ неразрешимо. А раз $G$ недоказуемо в теории $T$, значит с точки зрения мета-теории $M$ утверждение $(\not\exists x)(P(x))$ верно. Т.е. вопрос существования такого $x$ разрешён в мета-теории $M$, однако неразрешим в теории $T$.

Теперь подумайте: Может ли какая-то из теорий утверждать неразрешимось этого вопроса в ней самой? Нет. В теории $T$ вопрос неразрешим, но она об этом "не знает". А в теории $M$ вопрос разрешён.

Nxx писал(а):

потому что число х, якобы, рациональное по условию задачи.

Я не говорил, что "число $x$ рациональное по условию задачи". Я говорил, что в обоих из двух случаев (a) или (b) оно рациональное. Но в конструктивной логике на двух этих вариантах всё не заканчивается.

Я же Вам продемонстрировал, как предположение о нерациональности $x$ сводится к противоречию. В конструктивной логике, как и в классической, это означает опровержение предположения. Таким образом, имеем доказанным двойное отрицание: невозможность нерациональности $x$. Закона же снятия двойного отрицания в конструктивной логике нет, и не нужно притягивать его за уши, пытаясь перебрать какие-то "случаи" (занятие заведомо бессмысленное, ибо "случаев" этих бесконечно много).

Добавлено спустя 24 минуты 19 секунд:

Xaositect писал(а):

Xaositect в сообщении #194999 писал(а):

Вот мы тут про геделевское утверждение говорим.
Оно имеет вид $G\equiv \forall prf \neg P(prf)$, где предикат $P$ рекурсивен и означает, что доказательство за номером $prf$ является доказательством утверждения $G$.
При этом для каждого конкретного $i$ доказуемо, что $\neg P(i)$, то есть если мы возьмем алгоритм, который выдает число, в $i$-м разряде которого стоит 1, если $P(i)$ и 0, если $\neg P(i)$, то он задает конструктивное число 0, но мы не можем этого доказать.

Nxx, что вы все-таки думаете насчет этого примера конструктивного числа, которое не может не быть равным нулю, потому что доказать равенство мы не можем, а неравенство в $i$-м разряде ведет к противоречию с $\neg P(i)$?
Доказательство рекурсивности $P$ и связанные вопросы можно прояснить в Мендельсоне, гл. 3.

Кстати, Xaositect, это в качестве примера "неснимаемого" двойного отрицания не подходит. В теории мы не можем привести $(\exists i)(P(i))$ к противоречию (можем только привести к противоречию $P(i)$ для любого предварительно выбранного $i$, но общего механизма опровержения для всех $i$ в теории нет). Поэтому теория не может доказать, что это число не может не быть равным нулю. А мета-теория может доказать не только это, но и то, что число равно нулю.

[Nxx]

Цитата:

Варианты не совсем такие. "Невозможно доказать" может быть доказуемо в самой теории (без привлечения мета-теоретических средств) и в таком случае является просто опровержением. Вот "неразрешимость" в теории доказана быть не может, а поэтому, если она имеет место, то это - новый "случай".

Случай (с) подразумевает, что ни доказательство, ни опровержение невозможно.

Цитата:

Поэтому в какой бы теории мы ни рассуждали, доказательство того, что существование объекта с помощью легальных средств недоказуемо, является доказательством его несуществования.

Верно. Поэтому случай (с) подразумевает, что невозможно доказательство того, что существование объекта с помощью легальных средств недоказуемо.

Цитата:

Теперь подумайте: Может ли какая-то из теорий утверждать неразрешимось этого вопроса в ней самой? Нет. В теории $T$ вопрос неразрешим, но она об этом "не знает".

Согласен. Дальше что? То, что неразрешимость вопроса невозможно доказать, не значит, что неразрешимых вопросов не существует.

Цитата:

Я же Вам продемонстрировал, как предположение о нерациональности $x$ сводится к противоречию.

Где противоречие-то? Я его не вижу. Вы только ссылались на условие задачи, из которого, якобы, следует, что х - рациональное.

[epros]

Nxx писал(а):

Случай (с) подразумевает, что ни доказательство, ни опровержение невозможно.

Ещё раз:

epros писал(а):

доказательство того, что существование объекта с помощью легальных средств недоказуемо [это значит "доказательство невозможно"], является доказательством его несуществования

Nxx писал(а):

Верно. Поэтому случай (с) подразумевает, что невозможно доказательство того, что существование объекта с помощью легальных средств недоказуемо.

Нет, это был бы уже "случай (d)". А случай (c) звучал так:

epros писал(а):

c) Вопрос существования нечётного совершенного числа неразрешим

Это значит, что невозможно доказательство (и опровержение) того, что существует нечётное совершенное число.

Nxx писал(а):

Дальше что? То, что неразрешимость вопроса невозможно доказать, не значит, что неразрешимых вопросов не существует.

Дальше то, что ответственный математик имеет право утверждать только то, что он доказал. Если Вы утверждаете неразрешимость вопроса, значит Вы это доказали.

Nxx писал(а):

Цитата:

Я же Вам продемонстрировал, как предположение о нерациональности $x$ сводится к противоречию.

Где противоречие-то? Я его не вижу. Вы только ссылались на условие задачи, из которого, якобы, следует, что х - рациональное.

Ну, см. ещё раз:

epros в сообщении #195562 писал(а):

1. Поскольку по условию из несуществования нечётного совершенного числа следует существование $m$, то из предположения о несуществовании $m$ следует невозможность несуществования нечётного совершенного числа (то, чего Вы не увидели).

2. А поскольку по условию из существования нечётного совершенного числа следует существование $m$, то из предположения о несуществовании $m$ следует несуществование нечётного совершенного числа.

3. Таким образом, из предположения о несуществовании $m$ следует и несуществование нечётного совершенного числа, и невозможность его несуществования.

[Nxx]

Цитата:

Дальше то, что ответственный математик имеет право утверждать только то, что он доказал. Если Вы утверждаете неразрешимость вопроса, значит Вы это доказали.

Я нигде не утверждал, что этот вопрос неразрешим. Я утверждал, что он может быть неразрешимым.

Цитата:

Поскольку по условию из несуществования нечётного совершенного числа следует существование $m$

Я вам на это уже отвечал, что вот это утверждение неверно и из условия никак не следует.

[epros]

Nxx писал(а):

Я нигде не утверждал, что этот вопрос неразрешим. Я утверждал, что он может быть неразрешимым.

У нас тут не модальная логика. Утверждение "может быть $A$" означает, что Вы доказали то, что в теории нельзя опровергнуть $A$ (ибо если оно опровержимо, то "не может быть $A$"). А я Вам уже давно твержу, что неразрешимость существования как раз опровергается, ибо та теория, которая докажет, что вопрос существования нечётного совершенного числа неразрешим в арифметике, автоматически докажет его несуществование, т.е. разрешит вопрос.

Nxx писал(а):

Цитата:

Поскольку по условию из несуществования нечётного совершенного числа следует существование $m$

Я вам на это уже отвечал, что вот это утверждение неверно и из условия никак не следует.

Извините, но это не свидетельствует в пользу Вашей вменяемости, ибо по определению $x$ из несуществования нечётного совершенного числа следует $x=\frac{1}{3}$, и к тому же я Вам это уже двадцать раз повторил.

[Nxx]

Цитата:

У нас тут не модальная логика. Утверждение "может быть $A$" означает, что Вы доказали то, что в теории нельзя опровергнуть $A$

Че за бред? Утверждение может быть $A$ означает только то, что $A$ еще не нашел, не доказал, не вычислил.

Цитата:

по определению $x$ из несуществования нечётного совершенного числа следует $x=\frac{1}{3}$

Каким образом это может следовать, если функция, переводящая х в m невычислима? Если х - это предел некой последовательности рациональных чисел, то вычислить по этой последовательности m невозможно. Нет такого алгоритма. Если только вы не обладаете возможностью за конечное время проверить бесконечное количество чисел. Вот если мы запустим программу, которая останавливается, как только найдет нечетное совершенное число, и обнаружим, что эта программа никогда не останавливается, тогда да, мы сможем вычислить m. Но для этого нужно решить проблему останова, которая нерешаема.

Вы утверждаете, что есть функция m(x), определенная на всех вычислимых действительных числах, и возвращающая знаменатель несократимой дроби, равной этому числу, если число x - рациональное. Но такой функции не существует!

[epros]

Nxx писал(а):

Че за бред? Утверждение может быть $A$ означает только то, что $A$ еще не нашел, не доказал, не вычислил.

С каких это пор и на каком языке "может быть" означает "не нашёл"? "Может быть" обычно означает, что нас не удивит, если есть. Т.е. у нас нет никаких принципиальных соображений, согласно которым оно невозможно.

Nxx писал(а):

Если х - это предел некой последовательности рациональных чисел, то вычислить по этой последовательности m невозможно.

Согласно условию, что нечётного совершенного числа не существует, предел этой последовательности равен $\frac{1}{3}$, не забыли?

Nxx писал(а):

Но для этого нужно решить проблему останова, которая нерешаема.

Неужели? Прямо-таки никогда нерешаема? А если я попрошу Вас методом последовательного перебора найти максимальное натуральное число, то Вы тоже скажете, что проблема останова этого алгоритма нерешаема?

Оххх, я вижу что пример двойного отрицания с числом, которое не может не быть рациональным, для Вас сложноват. Ладно, давайте попробую придумать пример на уровне "детского сада".

Скажем, у нас есть "полуформализованная" теория, в которой имеются следующие четыре аксиомы:
A) Маша старше 20-ти лет.
B) Маша не старше 30-ти лет.
C) Если Маша старше 25-ти лет, значит она вышла замуж за Васю.
D) Если Маша не старше 25-ти лет, значит она вышла замуж за Колю.

Больше ничего про Машу, Васю и Колю и про всё с ними связанное в рамках этой теории неизвестно.

Вот пример доказуемого в теории высказывания:
- Маша старше 10-ти лет.

Вот пример опровержимого в теории высказывания:
- Маша старше 30-ти лет.

Вот пример неразрешимых в теории высказываний:
- Маша старше 25-ти лет.
- Маша замужем за Васей.
- Маша замужем за Колей.

А вот пример неопровержимого, но конструктивно не доказанного в теории высказывания:
- У Маши есть муж (Коля или Вася).

Классическая логика, пользуясь законом исключённого третьего, доказав неопровержимость последнего высказывания, автоматически считает его доказанным.

Угадайте, почему конструктивный анализ тем не менее не считает последнее высказывание доказанным?

[Nxx]

Цитата:

С каких это пор и на каком языке "может быть" означает "не нашёл"? "Может быть" обычно означает, что нас не удивит, если есть. Т.е. у нас нет никаких принципиальных соображений, согласно которым оно невозможно.

Например, предел какой-нибудь последовательности, который неизвестен, может быть, равен нулю. Что тут такого сложного?

Цитата:

Согласно условию, что нечётного совершенного числа не существует, предел этой последовательности равен $\frac{1}{3}$, не забыли?

Вовсе нет, этот предел может быть равен 1/3, а можети не быть.

Как вы знаете, задача сравнения заданных таким образом чисел, алгоритмически неразрешима. Далеко не всегда вы можете сравнить предел этой последовательности с 1/3.

Сделаю вам подсказку. Вы приводили два определения числа: одно определение - для рациональных чисел (рациональным является то число, которое можно записать в виде несократимой дроби). Второе определение вы давали для действительных чисел: это предел последовательности рациональных чисел.

Так вот, эти два определения, как бы это сказать, не очень дружат между собой. Другими словами, может быть действительное число, про которое неизвестно, является ли оно рациональным.

В нашем случае получается, что предел вашей последовательности всегда удовлетворяет вашему определению действительного числа, но может не удовлетворять первому определению.

Цитата:

Неужели? Прямо-таки никогда нерешаема? А если я попрошу Вас методом последовательного перебора найти максимальное натуральное число, то Вы тоже скажете, что проблема останова этого алгоритма нерешаема?

Она нерешаема в общем случае. Про натуральные числа мы знаем, что их бесконечно много, если про нечетные совершенные числа невозможно доказать, бесконечно ли их много, то проблема нерешаемая.

[epros]

Nxx, Вы опять выдаёте причудливую смесь правильных высказываний с весьма глупыми логическими ошибками. Я уже устал всё это разбирать, поэтому лучше ответьте на вопрос в моём предыдущем посте:
Как Вы думаете, почему конструктивный анализ не считает доказанным, что "У Маши есть муж"?

[Nxx]

epros писал(а):

Nxx, Вы опять выдаёте причудливую смесь правильных высказываний с весьма глупыми логическими ошибками. Я уже устал всё это разбирать, поэтому лучше ответьте на вопрос в моём предыдущем посте:
Как Вы думаете, почему конструктивный анализ не считает доказанным, что "У Маши есть муж"?

Если честно, мне это не очень интересно, но я думаю потому что функция Муж(Маша) невычислима/неопределена.

Можно рассмотреть такую теорию, состоящую из одной аксиомы:

А к с и о м а 1. Существует число х.

С точки зрения классической математики, данное число существует, потому что так утверждает аксиома 1. С точки зрения конструктивистской математики, числа х "не может не быть". А я считаю, что его просто не существует и аксиома просто самопротиворечива, так как не задает никаких свойств числа, а любое число определяется его свойствами.

Добавлено спустя 27 минут 26 секунд:

Между прочим, я тут на днях попросил систему Mathematica посчитать мне предел

$$\lim_{x\to\infty} \sin x$$

. И как же я был удивлен, когда увидел, что она выдала мне ответ "Interval [-1,1]". А ведь я думал, что такого предела нет. Но на самом деле и я был прав, и машина: предел не является числом, значит, такого числа и правда, нет.

Но вернемся к Маше. Если говорить о функции Супруг(Маша), то ее значением не является мужчина, поэтому можно сказать, что определенного мужа у нее нет, значением этой функции является совокупность из двух мужчин:

$$\frac{[ \text{Вася}, \text{Коля}]}{2}$$

.

[Pi]

Nxx писал(а):

Между прочим, я тут на днях попросил систему Mathematica посчитать мне предел

$$\lim_{x\to\infty} \sin x$$

. И как же я был удивлен, когда увидел, что она выдала мне ответ "Interval [-1,1]". А ведь я думал, что такого предела нет. Но на самом деле и я был прав, и машина: предел не является числом, значит, такого числа и правда, нет.

Mathematica абсолютно права, ибо это есть неоднозначная функция. Просто классическое образование настолько привязывает нас к однозначным функциям, что другие на просто удивляют.

[Nxx]

Pi писал(а):

Nxx писал(а):

Между прочим, я тут на днях попросил систему Mathematica посчитать мне предел

$$\lim_{x\to\infty} \sin x$$

. И как же я был удивлен, когда увидел, что она выдала мне ответ "Interval [-1,1]". А ведь я думал, что такого предела нет. Но на самом деле и я был прав, и машина: предел не является числом, значит, такого числа и правда, нет.

Mathematica абсолютно права, ибо это есть неоднозначная функция. Просто классическое образование настолько привязывает нас к однозначным функциям, что другие на просто удивляют.

Вот "муж Маши" - тоже многозначная величина. В общем, для этого не нужно изобретать какую-то специальную логику.