Гауссова и средняя кривизна поверхности - ноль -> плоскость

[neo66]

Похоже, классическое утверждение: если Гауссова и средняя кривизна поверхности - $0$, то это - плоскость.

Не могу сообразить, как это доказать. Ясно, что вторая квадратичная форма - нулевая. И, что с того?

[Утундрий]

Ну а теперь вспомните, что второй квадратичной формой описывается отклонение поверхности от касательной плоскости. Форма нулевая $\[ \Rightarrow \]$ отклонения нет $\[ \Rightarrow \]$ поверхность есть плоскость.

[neo66]

Как у Вас все просто . Неубедительно.

[Утундрий]

$\[R_{\alpha \beta \mu \nu } = b_{\alpha \mu } b_{\beta \nu } - b_{\alpha \nu } b_{\beta \mu } \]$
так убедительнее?

[neo66]

Так я просто ничего не понял. Может, дадите ссылку на доказательство?

[Утундрий]

Тензор кривизны выражается через вторую квадратичную, что непонятного-то... оО

P. S. Судя по терминологии речь идет о классическом случае двумерных поверхностей, вложенных в трехмерное Евклидово пространство? Тогда гуглите на тему "теорема эгрегиум Гаусса"

Добавлено спустя 5 минут 48 секунд:

Хотя можно еще вот так:

$\[{\mathbf{r}}_{\mu \nu } = \Gamma _{\mu \nu }^\sigma \cdot {\mathbf{r}}_\sigma + {\mathbf{n}} \cdot b_{\mu \nu } \]$

Если все $\[b_{\mu \nu } =0 \]$, то производные от касательных векторов $\[{\mathbf{r}}_\mu \]$ выражаются через них же и поверхность "не покидает" касательной плоскости при любых сдвигах.

P.S. Обозначения стандартные, если хоть что-то непонятно - усиленно читать книжки по дифгему.

[neo66]

Цитата:

Cудя по терминологии речь идет о классическом случае двумерных поверхностей, вложенных в трехмерное Евклидово пространство? Тогда гуглите на тему "теорема эгрегиум Гаусса"

Речь, действительно идет о двумерных поверхностей, вложенных в трехмерное пространство. Только "теорема эгрегиум" тут совсем ни при чем.

Цитата:

Хотя можно еще вот так:

$\[{\mathbf{r}}_{\mu \nu } = \Gamma _{\mu \nu }^\sigma \cdot {\mathbf{r}}_\sigma + {\mathbf{n}} \cdot b_{\mu \nu } \]$

Если все $\[b_{\mu \nu } =0 \]$, то производные от касательных векторов $\[{\mathbf{r}}_\mu \]$ выражаются через них же и поверхность "не покидает" касательной плоскости при любых сдвигах.

Это уже ближе. Осталось понять, почему у этой системы дифференциальных уравнений только линейные решения.

PS: Мне, почему-то кажется, что у этой проблемы есть какое-то совсем простое решение.

[Утундрий]

А линейность и не нужна. Достаточно того, что касательные векторы остаются в одной и той же плоскости, а уж как они в ней крутятся - линейно или не линейно - не важно.

neo66 писал(а):

Мне, почему-то кажется, что у этой проблемы есть какое-то совсем простое решение.

Еще проще? Дык, по-моему уже не куда)

[neo66]

Утундрий в сообщении #189661 писал(а):

А линейность и не нужна. Достаточно того, что касательные векторы остаются в одной и той же плоскости, а уж как они в ней крутятся - линейно или не линейно - не важно.

Наверно, я непроходимо глуп или невежествен. Интуитивно, все очевидно и без уравнений, но строгого доказательства я пока не вижу. Вероятно, у нас разные понятия о строгости.

[Утундрий]

На мой взгляд доказательство вполне строгое. На язык $\[\varepsilon -\delta \]$ переводите уж как-нибудь сами )

[neo66]

Утундрий писал(а):

На мой взгляд доказательство вполне строгое. На язык $\[\varepsilon -\delta \]$ переводите уж как-нибудь сами )

При чем тут $\[\varepsilon -\delta \]$? Я тут ввобще никакого доказательства пока не вижу.

PS: Утундрий: в любом случае, спасибо. Я вижу, Вы сделали все возможное, чтобы мне помочь. Больше не трудитесь.

[Утундрий]

neo66 писал(а):

Утундрий писал(а):

На мой взгляд доказательство вполне строгое. На язык $\[\varepsilon -\delta \]$ переводите уж как-нибудь сами )

При чем тут $\[\varepsilon -\delta \]$? Я тут ввобще никакого доказательства пока не вижу.

А думать не пробовали? Попробуйте, может и увидеть получится.

neo66 писал(а):

PS: Утундрий: в любом случае, спасибо. Я вижу, Вы сделали все возможное, чтобы мне помочь. Больше не трудитесь.

Договорились.

[Brukvalub]

Может быть, рассуждать так: из равенства 0 средней и Гауссовой кривизн поверхности следует, что обе главные кривизны - минимальная и максимальная - в каждой точке равны 0. Но тогда равны 0 и кривизны всех нормальных сечений пов-сти в каждой точке. Это означает, что в каждой точке поверхность локально плоская. Если теперь вырезать из поверхности большой компактный кусок и отобрать для него конечное подпокрытие построенными плоскими кусочками, то получится, что и весь этот кусок - плоский....

[ewert]

Brukvalub в сообщении #189704 писал(а):

Это означает, что в каждой точке поверхность локально плоская. Если теперь вырезать из поверхности большой компактный кусок и отобрать для него конечное подпокрытие построенными плоскими кусочками,

Вы же не построили никаких кусочков.

[Brukvalub]

Ладно, тогда локальную плоскостность можно совсем уж строго доказать, рассмотрев систему деривационных уравнений поверхности....(нечто подобное уже предлагалось выше).