Мистика чисел

[Амира]

А вообще, еть пятитомное издание его дневником. И те, кто осилит прочитать порядка 3500 стр на английском, скажут нам - каков он на сомом деле. Я возможно наивно полагая, что это всё на самом деле написал Рамануджан, потому что смысл математикам с признанием заниматься подобной фальсификацией

[Highwind]

Амира писал(а):

Харди вообще-то был скептиком и отмечал, что Рамануджан не является профессионалом (хотя бы в плане работоспособности). Скорее он был игроком в математику. И умер от туберкулёза.

Да, это верно, что Харди много говорил о его непрофессионализме, но тем самым, как мне кажется, он пытался подчеркнуть его гениальность.

А хто был игроком в математику? Харди или Рамануджан

Про то, что он умер от скромности, я сказал образно. А причина не важна - он все равно хотел умереть

[Амира]

Рамануджан занимался математикой как искусством, а не как наукой. Я это имела в виду.

[juna]

Возьмем последовательность треугольных чисел $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$. Первые ее члены: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ....
Рассмотрим число, образованное последними цифрами треугольных чисел. Оказывается, что через 20 цифр последовательность будет повторяться, а сама последовательность читается одинаково слева направо и справа налево 01360518655681506310 и т.д.

[juna]

$\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$
$\frac{19}{95}=\frac{1}{5}$
$\frac{2}{5}=\frac{26}{65}=\frac{266}{665}=\frac{2666}{6665}=\frac{26666}{66665}=....$
$\frac{143185}{17018560}=\frac{1435}{170560}$

[Alik]

Вот статьи о Harshad (Niven) numbers, которые делятся на сумму цифр их составляющих
http://en.wikipedia.org/wiki/Harshad_number
http://mathworld.wolfram.com/HarshadNumber.html
http://www.math-cs.cmsu.edu/~curtisc/ar ... kniven.pdf

[juna]

$e^{\pi\cdot \sqrt{427}}-5280^3\cdot (236674+30303\cdot \sqrt{61})^3=743.9999999999999999999999...$ - $22$ цифры девятки

[AD]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Предлагаю участникам форума высказываться здесь о найденных интересных - экзотических свойствах чисел.

Вот когда такие штуки вижу - вспоминаю классику:

Цитата:

Доказываем, что все натуральные числа - интересные. Пусть не все, тогда среди неинтересных натуральных чисел есть наименьшее. Но наименьшее неинтересное натуральное число - ооо, это интереесно! Противоречие.

Хотя полезно конечно иногда в таких штуках копаться; Арнольд вот учит, что математика - экспериментальная наука.

[juna]

Вообще-то, последний факт, приведенный мной, очень нетривиален
http://mathworld.wolfram.com/ClassNumber.html

[geomath]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

$e^{\pi\cdot \sqrt{427}}-5280^3\cdot (236674+30303\cdot \sqrt{61})^3=743.9999999999999999999999...$ - $22$ цифры девятки

Посчитал на калькуляторе, получилось 744.000000009.

[juna]

geomath писал(а):

Посчитал на калькуляторе, получилось 744.000000009.

Если на калькуляторе, что встроен в Windows, то он в данном случае мало отличается от обычных счет.

evalf(exp(Pi*sqrt(427))-5280^3*(236674+30303*sqrt(61))^3,100);
743.99999999999999999999998738849174940439116861289493874292371456931065812

[worm2]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Вообще-то, последний факт, приведенный мной, очень нетривиален
http://mathworld.wolfram.com/ClassNumber.html

Наверное, вот эта ссылка немножко понятнее:
http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html
Там хоть это "почти равенство" приведено (63)

[juna]

$1+6+7+17+18+23=2+3+11+13+21+22$
$1^2+6^2+7^2+17^2+18^2+23^2=2^2+3^2+11^2+13^2+21^2+22^2$
$1^3+6^3+7^3+17^3+18^3+23^3=2^3+3^3+11^3+13^3+21^3+22^3$
$1^4+6^4+7^4+17^4+18^4+23^4=2^4+3^4+11^4+13^4+21^4+22^4$
$1^5+6^5+7^5+17^5+18^5+23^5=2^5+3^5+11^5+13^5+21^5+22^5$

[Someone]

Б.А.Кордемский. Математическая смекалка. "Государственное издательство технико-теоретической литературы", Москва, 1957.

Эти равенства приведены в задаче 351, пункт VI. Там же приведено тождество
$a^n+(a+4b+c)^n+(a+b+2c)^n+(a+9b+4c)^n+(a+6b+5c)^n+(a+10b+6c)^n=$
$=(a+b)^n+(a+c)^n+(a+6b+2c)^n+(a+4b+4c)^n+(a+10b+5c)^n+(a+9b+6c)^n$,
верное при $n\in\{1,2,3,4,5\}$.

А для бóльшего числа равенств чего-нибудь похожего нет?

[juna]

Меня тоже интересует этот вопрос, поэтому поместил здесь.
Я это тоже из Кордемского взял.
В задаче 339 приведена другая параметризация:
$\forall m\in \mathbb N,n\in \{1,2,3,4,5\}: (m-11)^n+(m-6)^n+(m-5)^n+(m+5)^n+(m+6)^n+(m+11)^n=$
$(m-10)^n+(m-9)^n+(m-1)^n+(m+1)^n+(m+9)^n+(m+10)^n$