"Почти целые" числа

[kthxbye]

$$\pi^{\frac{1}{2\pi+9}}<\pi^{\frac{1}{e^e+\frac{1}{e^2+\frac{1}{e}}}}<\frac{\left\lfloor\pi^4\right\rfloor}{90}$$

$$1,077777729\cdots<1,077777762\cdots<1,077777778\cdots$$

[btoom]

Случайно наткнулся на статью в ТМФ 1974-го года. Связали формулу Эйлера, скорость света, заряд электрона и постоянную Дирака. Получилось почти 137.

$\alpha^{-1}=\frac{hc}{\varepsilon^2}=\frac{e^{2\pi}+2e^{-\pi}+4\pi}{4}=137,0361134938\dots.$

(Оффтоп)

[nnosipov]

btoom в сообщении #1408874 писал(а):

Случайно наткнулся на статью в ТМФ 1974-го года.

Первый раз вижу подобную хрень в академическом журнале А чем редакции не понравилось равенство $e^\pi=i^{-2i}$? Это так физики шутят?

[daniel starodubtsev]

$4013\cdot\sqrt{\frac{\pi}{789\cdot2+6-5}}\approx179+4\cdot10^-^8$. Обратите внимание, что это так называемая "pandigital formula", в левой части каждая цифра от 0 до 9 встречается ровно один раз.

P.S. 179 это номер моей школы, так что не обессудьте за достаточно низкую точность приближения . Я пытался использовать не просто "почти целое" число, а одно конкретное.

[EUgeneUS]

nnosipov в сообщении #1408877 писал(а):

Это так физики шутят?

Типа того. Но в каждой шутке есть доля шутки.

Цитата:

Richard Feynman, one of the originators and early developers of the theory of quantum electrodynamics (QED), referred to the fine-structure constant in these terms:

There is a most profound and beautiful question associated with the observed coupling constant, e – the amplitude for a real electron to emit or absorb a real photon. It is a simple number that has been experimentally determined to be close to 0.08542455. (My physicist friends won't recognize this number, because they like to remember it as the inverse of its square: about 137.03597 with an uncertainty of about 2 in the last decimal place. It has been a mystery ever since it was discovered more than fifty years ago, and all good theoretical physicists put this number up on their wall and worry about it.)

Immediately you would like to know where this number for a coupling comes from: is it related to pi or perhaps to the base of natural logarithms? Nobody knows. It's one of the greatest damn mysteries of physics: a magic number that comes to us with no understanding by humans. You might say the "hand of God" wrote that number, and "we don't know how He pushed His pencil." We know what kind of a dance to do experimentally to measure this number very accurately, but we don't know what kind of dance to do on the computer to make this number come out – without putting it in secretly!

И если будет найдена формула, которая связывает постоянную тонкой структуры с математическими константами точно, то это будет открытие...Всяко круче, чем обнаружение давно предсказанных гравитационных волн.
Причем, точная связь будет иметь предсказательную силу - она будет предсказывать следующие знаки после запятой, которые будут измерены во всё более точных экспериментах.
Формула "от 1974 года", приведенная выше, к сожалению не точная и уже разошлась с экспериментом. Могла ли она считаться точной в 1974 году, не знаю (скорее всего, нет, судя по значению, приведенному Фейнманом).

[amon]

nnosipov в сообщении #1408877 писал(а):

Первый раз вижу подобную хрень в академическом журнале

А это не очень-то хрень. Постоянная тонкой структуры - величина безразмерная, хотя и составлена из размерных мировых констант. Это должно быть чем-то вроде числа $\pi.$ Поэтому попытка получить ее из всяких математических констант и сравнить с измеренной - более-менее осмысленное занятие, в котором отметились вполне почтенные люди.

[zykov]

Например в 81 году Yoshio Koide открыл связь мажде массами лептонов (электрон, мюон, тау-лептон) - Koide formula.
Оказалось, что

$${\frac {m_{e}+m_{\mu }+m_{\tau }}{\left({\sqrt {m_{e}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}}\right)^{2}}}=0.666661(7)\approx {\frac {2}{3}}$$

Могло бы быть любое число от $\frac13$ до $1$. Но оказалось ровно $\frac23$.
Вот теперь надо объяснить, почему.

[lel0lel]

Всё это глупости (поиск формулы для постоянной тонкой структуры и других безразмерных физических констант) и не более чем совпадения.

zykov в сообщении #1534749 писал(а):

Оказалось, что

$${\frac {m_{e}+m_{\mu }+m_{\tau }}{\left({\sqrt {m_{e}}}+{\sqrt {m_{\mu }}}+{\sqrt {m_{\tau }}}\right)^{2}}}=0.666661(7)\approx {\frac {2}{3}}$$

И это тоже совпадение, которое не стоит того, чтобы ему искать объяснение. Даже если бы совпало большее число знаков, ну и что. Из этого ничего бы не следовало. Никто не смог бы сказать, что это отношение равно 2/3. Так как экспериментальная проверка этого невозможна. Другое дело если бы появилась самосогласованная теория, в которой эти константы извлекались бы из некоего математического принципа (симметрии) и при этом они совпадали бы со всеми значащими цифрами экспериментально полученных результатов. А так это просто подгон и угадайка, ничего более.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1534745 писал(а):

Поэтому попытка получить ее из всяких математических констант и сравнить с измеренной - более-менее осмысленное занятие, в котором отметились вполне почтенные люди.

Статья похожа на розыгрыш. У этого А.К.Лоренца другие публикации есть?

[amon]

Red_Herring в сообщении #1534768 писал(а):

Статья похожа на розыгрыш. У этого А.К.Лоренца другие публикации есть?

Если честно, не знаю, но в 1974 году это была относительно модная деятельность, не давшая никакого результата.

[EUgeneUS]

lel0lel в сообщении #1534760 писал(а):

Всё это глупости (поиск формулы для постоянной тонкой структуры и других безразмерных физических констант) и не более чем совпадения.

Законы Кеплера тоже были "глупостью и просто совпадениями" до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Потому что были выведены исключительно эмпирически и не объясняли "почему так".

А сам закон всемирного тяготения был "глупостью и просто совпадением" до Гаусса и его теоремы.

Кстати, хорошенькое совпадение - угадал 5 цифр из 50 (это про формулу Коиде).

-- 13.10.2021, 10:23 --

Red_Herring в сообщении #1534768 писал(а):

Статья похожа на розыгрыш

Это однозначно розыгрыш, так как по этой формуле не получается число хоть как-то близкое к 137. А в тексте встречается оборот "непонятная формула Эйлера".
Видимо, стеб над деятельностью, о которой писал уважаемый amon

[lel0lel]

EUgeneUS в сообщении #1534796 писал(а):

Законы Кеплера тоже были "глупостью и просто совпадениями" до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Потому что были выведены исключительно эмпирически и не объясняли "почему так".

Путаете аппроксимацию законов и угадывание безразмерных констант. Это разные уровни содержательности. Можно бы ещё согласиться, что это имеет некий смысл, если бы эксперимент показал, что постоянная тонкой структуры с достижимой на текущий момент точностью совпадает с числом $\pi$ или каким-либо другим числом, выражение которого имеет элементарную природу. Всё остальное это именно глупости. Подбирать какое-то сложное выражение, чтобы совпали с экспериментом пусть не все, а знаков хотя бы 5,6. Как это можно назвать разумной деятельностью. Если заведомо известно, что таких аппроксимаций с любой наперёд заданной точностью существует бесконечно много, хочешь апроксимируй радикалами, хочешь комбинацией известных констант, хочешь гармоническими рядами, хочешь что хочешь. И нет совершенно никакого критерия правильности, кроме субъективного чувства красоты и компактности представления. С физическими законами дело другое, там хотя бы аппроксимации оказываются полезными в приложениях и выбор наиболее простой обусловлен удобством применения.

Так в чем заслуга, что кто-то подобрал формулу "угадывающую" 5 цифр?

[Red_Herring]

Дух Бартини воодушевил А.К.Лоренца.

[Mikhail_K]

lel0lel в сообщении #1534801 писал(а):

Так в чем заслуга, что кто-то подобрал формулу "угадывающую" 5 цифр?

Сама по себе формула действительно бесполезна, но её вид мог бы подсказать (гипотетически возможную) более фундаментальную теорию, в рамках которой эта формула имеет объяснение.

[lel0lel]

Mikhail_K
Вероятность этого бесконечно мала. Во-первых, существует бесконечное число подобных формул более или менее симметричных. Во-вторых, даже если вдруг удалось угадать формулу для константы, причём она оказалась достаточно компактной (иначе просто её не найдём), то информации в этой компактной формуле слишком мало, чтобы это стало отправным пунктом для построения новой теории. Пусть у нас получилось (знаем достоверно), что константа равна $\pi/e$, какие отсюда можно сделать выводы. Да никаких, просто скажем, что прикольно вышло. Для проверки полноты появляющихся теорий этот факт, конечно, мы бы могли использовать, но не как отправной пункт для построения новой теории. В-третьих, не факт, что вообще существует какая-то формула. Например, отношение массы Земли к массе Луны. Предположим, что эти массы были известны в древности, можно долго искать формулу, описывающую и объясняющую эту константу.

Касательно пользы от знания любого числа знаков константы, тоже сомнительно, что это прямо так уж полезно, что даже умение регистрировать грав. волны (то есть достижение технологий) не сравнится с этим великим открытием -- знанием ста знаков после запятой постоянной тонкой структуры. Ну представьте, нашли мы золотую книгу, на страницах которой выгравированы первые сто знаков, более того, указано, что это число иррациональное. Что это поменяет? Да ничего. Нет, я не спорю, что польза есть, например проверка точностей достигнутых в экспериментах, или более точные расчёты процессов в КЭД, но не более.

В завершении, хочу сказать, что я не противник такой деятельности -- угадывания констант, подбор для них каких-то формул. Считаю это даже необходимым занятием для некоторых людей. Потому как если у человека душа просит, то пусть занимается на здоровье. Это и успокоение даёт, и ощущение творчества. Считают же люди иногда ворон, а это не менее полезно. К тому же такой человек занят, значит не полезет в другие разделы физики и математики, что тоже очень хорошо.