2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Приложения кратных интегралов (объем, масса и т.д.)
Сообщение26.12.2008, 21:35 
Добрый день. Мне нужно прорешать типовой расчёт по высшей математике.
По мере буду спрашивать в этой теме вопросы и показывать решения. Зарание спасибо.

Задача 1.
Найти обьём тела, ограниченной указанными поверхностями с помощью 3-ого интеграла.

$$ z^2 = x^2+y^2 $$ - конус
$$ z = 2x^2 + 2y^2 $$ - парабалойд
$$ z = 2 $$ - плоскость
"Между парабалойдами" - так почемуто написали в условии, хотя парабалойд только один.

Решение.
Судя по всему нужно вычислить обьём конуса и обьём параболойда, а затем найти разность этих обьёмов.

Для конуса:
Перейдём к цилиндрическим координатам....
$$ x = r \cos \phi $$
$$ y = r \sin \phi $$
$$ z = z $$
$$dxdydz = rdrd \phi dz $$
Тогда уравнение конуса примет вид: $$ z = r $$
Тогда обьём конуса:
$$ V = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int\limits_{0}^{\sqrt{2}} rdr \int\limits_{r}^{1} zdz = \pi $$

Для парабалойда:
$$ x = r \cos \phi $$
$$ y = r \sin \phi $$
$$ z = z $$
$$dxdydz = rdrd \phi dz $$
Тогда уравнение парабалойда примет вид: $$ z = 2r^2 $$
Тогда обьём парабалойда:
$$ V = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int\limits_{0}^{1} rdr \int\limits_{2r^2}^{1} zdz = ..... $$

Пока только возникают сомнения в правильности составленого интеграла и расставлению пределов.... :?:
В частности я не очень понимаю куда надо вставлять полученое уравнение парабалойда $$ z = 2r^2 $$...

 
 
 
 
Сообщение26.12.2008, 21:41 
В предел интегрирования, очевидно...

 
 
 
 
Сообщение26.12.2008, 21:50 
Пока я туда и подставил....

адд: просто обьём парабалойда у меня получается отрицательным и равен $$- \pi / 6 $$

 
 
 
 
Сообщение26.12.2008, 22:18 
интегрирование от:парабалоид до:конус?

 
 
 
 
Сообщение26.12.2008, 22:41 
Аватара пользователя
Пределы интегрирования по r поставлены неверно.

 
 
 
 
Сообщение26.12.2008, 23:11 
Цитата:
Пределы интегрирования по r поставлены неверно.

Хм... Для того чтоб расставить этот предел нужно спроэцировать на координатную плоскость....

Получаем два кольца... Бублик. Малое кольцо это кольцо парабалойда радиусом 1...... А второе кольцо это кольцо конуса, радиусом корень из двух....

А у меня неправильно в одном интеграле, или неправильно сразу в двух?

 
 
 
 
Сообщение26.12.2008, 23:15 
Аватара пользователя
Ворон в сообщении #171835 писал(а):
Получаем два кольца... Бублик. Малое кольцо это кольцо парабалойда радиусом 1...... А второе кольцо это кольцо конуса, радиусом корень из двух....
Нет.

 
 
 
 
Сообщение26.12.2008, 23:22 
Уточнил в книжке. Предел r в двух этих интегралах от 0 до 2?

 
 
 
 
Сообщение27.12.2008, 10:32 
Аватара пользователя
Ворон в сообщении #171845 писал(а):
Уточнил в книжке.
:D
Ворон в сообщении #171845 писал(а):
Предел r в двух этих интегралах от 0 до 2?
Да.

 
 
 
 
Сообщение27.12.2008, 13:57 
Изображение

 
 
 
 
Сообщение27.12.2008, 23:06 
Спасибо за картинку.
Кстати, а предел для z разве не от r до 2?
Обьём конуса:
$$ V = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int\limits_{0}^{2} rdr \int\limits_{r}^{2} zdz = 4 \pi $$

 
 
 
 
Сообщение28.12.2008, 00:58 
Советую найти объем другим способом.
Для конуса-по элементарной формуле.
Для параболоида - как для объема для тела вращения
или через двойной интеграл.
Затем использовать тройной интеграл и сравнить результаты.
На картинке обращено внимание на то, что в нижней части
кнус лежит внутри параболоида, а в верхней -наоборот.
Это нужно учесть при вычисления абъема полости, лежащей между конусом и параболоидом.

 
 
 
 
Сообщение28.12.2008, 01:46 
Спасибо, давайте попробуем.

Убрал картинки.

Интегралом и по "простой формуле"....

Цитата:
На картинке обращено внимание на то, что в нижней части
кнус лежит внутри параболоида, а в верхней -наоборот.

Это надо будет найти обьём этого маленького кусочка и потом вычесть? Судя по всему точно такимже способом.

АДД:
Мне вот неочень понятно как написать уравнение окружности для парабалойда.. Оно выходит таким:

$$ \sqrt{2}^2 = 2x^2 + 2y^2 $$
Что с двойками делать? Или так оставить можно??

 
 
 
 
Сообщение28.12.2008, 02:49 
Изображение

Добавлено спустя 15 минут 46 секунд:

Радиус в месте пересечения конуса и парабалоида
можно подсчитать так:
Изображение

 
 
 
 
Сообщение28.12.2008, 14:20 
 !  Jnrty:
Ворон, не разрешается заменять формулы картинками. Исправьте, пока не отправил тему в "Карантин".


Формулу для вычисления объёма Вашего тела удобнее записать так:
$$V=\int d\varphi\int dz\int r\,dr\text{;}$$
Только пределы интегрирования надо правильно расставить. И не надо вычислять объёмы конуса и параболоида.

 
 
 [ Сообщений: 81 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group