Приложения кратных интегралов (объем, масса и т.д.)

[Someone]

Вроде бы, правильно. Вычисления не проверял, конечно, но интегралы написаны правильно (если Вы определяете сферические координаты так же, как и я; Вы ведь формулы перехода не написали).

[Ворон]

Формулы перехода к сферическим координатам таковы:

$$ x = \rho \cos \varphi \sin \theta $$

$$ y = \rho \sin \varphi \sin \theta $$

$$ z = \rho \cos \theta $$

Мне просто интуитивно кажется, что координата ц.т. по оси $z$ должна находиться ниже середины радиуса...... Хотя может я и ошибаюсь

[Someone]

Ворон писал(а):

Мне просто интуитивно кажется, что координата ц.т. по оси $z$ должна находиться ниже середины радиуса.

Да, это Вы молодец, что обратили на это внимание.
Зря я не посмотрел внимательно на Ваше вычисление.

Ворон писал(а):

$$ V = \int\limits_{0}^{2\pi} d\varphi \int\limits_{0}^{\pi} \sin \theta d\theta \int\limits_{0}^{a} \rho^2 d\rho = \frac{2 \pi a^3}{3}$$

...

$$ S_{xy} = \int\limits_{0}^{2\pi} d\varphi \int\limits_{0}^{\pi} \cos \theta \sin \theta d\theta \int\limits_{0}^{a} \rho^3 d\rho = \frac{\pi a^4}{4} $$

В интеграле по $\theta$ неправильно написан верхний предел интегрирования (вероятно, опечатка, так как значения интегралов правильные).

Ворон писал(а):

Ну и если подставить всё это в формулу для центра тяжести, то:

$$ z_c = \frac{3a}{4} $$

А вот поделили одно на другое неправильно.

[Ворон]

Большое спасибо! Действительно там с верхнем пределом была опечатка и действительно неправильно произвёл деление в конечной формуле.

Ответ:

$$ z_c = \frac{3}{8}a = 0.375 a $$

, что уже даже очень похоже на правду

[vvvv]

У первой задачи ответ неверен.
Вот элементарная проверка:

[Someone]

vvvv, Вы не понимаете задачу. Там не надо прибавлять объём тела, ограниченного только двумя поверхностями (параболоидом и конусом). Требуется только объём тела, ограниченного всеми тремя поверхностями, без кусков, ограниченных меньшим числом поверхностей.

[Ворон]

Совершено верно, кусочек который находитьтся ниже $0.5$ по $z$ нам не нужен.

$$V=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_{\frac 12}^1r\,dr\int_r^{2r^2}dz+\int_0^{2\pi}d\varphi\int_1^2r\,dr\int_r^2dz = 1.6875 \pi$$

По этой формуле ответ получился тотже, что не удивительно

Добавлено спустя 2 часа 20 минут 51 секунду:

Следующая задача.

Условие.
Найти массу пластины, ограниченной указанными линиями, если $\sigma(x,y)$ - поверхностная плотность.

$$\sigma(x,y) = x^2 + y^2$$

$x^2 + y^2 = ax$
$x^2+y^2 = 2ax$

$$y = 0, (y \geqslant 0)$$

Решение.

$$m = \int\limits_{}^{} \int\limits_{}^{} \sigma(x,y) dxdy = \int\limits_{}^{} \int\limits_{}^{} (x^2 + y^2)dxdy $$

Тогда перейдя к полярным координатам мы получим:

$ r = a \cos \varphi $
$ r = 2a \cos \varphi $
$ x^2 + y^2 = r^2$

Это две окружности, одна в другой


Тогда интегшрал примит вид:

$$ m = \int\limits_{0}^{\pi /2}d \varphi \int\limits_{a \cos \varphi }^{2a \cos \varphi} r^3dr = .....$$

Нигде не напортачил в пределах?

[GAA]

Т.к. $y \ge0$, то $0 \le\varphi \le \pi/2$.

[Ворон]

Кстати да. Предел по $\varphi$ исправил..

$$ m = \int\limits_{0}^{\pi /2}d \varphi \int\limits_{a \cos \varphi }^{2a \cos \varphi} r^3dr = \int\limits_{0}^{\pi /2} \frac{15a^4 \cos^4 \varphi}{4} d \varphi $$

А вот тут вот получается интеграл от косинуса 4-ой степени.. Как его решать?

[GAA]

Полезно вывести рекуррентную формулу для вычисления интеграла $\int\limits \cos^n x \,dx$.
Причем, было бы неплохо, для тренировки, вывести и для $\int\limits\sin^n x \,dx$.

Добавлено спустя 13 минут 17 секунд:

В [*] это задача 2011.

ref
[*] Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — М.: Наука, 1997.

[vvvv]

Это становится уже иньересно! Имеется ввиду первая задача.Кто укажет мне слоав в условии задачи, из которых следует, что нижнюю часть объема включать в решение не нужно?

[Ворон]

Я думаю, что эта фраза (я её выделил) как раз и указывают на этот ньюанс:

"Найти обьём тела, ограниченной указанными поверхностями с помощью 3-ого интеграла."

Тоесть нам нужна поверхность, которая граничит со всеми тремя поверхностями... Нижняя не граничит с плоскостью $z = 2$ и поэтому не учитывается..

В любом случае я могу прям "не отходя от препода" написать:

$$ V = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int\limits_{0}^{1/2}dz \int\limits_{\sqrt{\frac{z}{2}}}^{z}rdr = \frac{32}{1536} \pi $$

И прибавить к уже полученому ранее обьёму. Тоесть учесть этот кусочек...

Добавлено спустя 33 минуты 32 секунды:

GAA писал(а):

Полезно вывести рекуррентную формулу для вычисления интеграла $\int\limits \cos^n x \,dx$.
Причем, было бы неплохо, для тренировки, вывести и для $\int\limits\sin^n x \,dx$.

Добавлено спустя 13 минут 17 секунд:

В [*] это задача 2011.

ref
[*] Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — М.: Наука, 1997.

Я сомневаюсь, что мне под силу такие вещи
Я воспользуюсь книжкой

$$ \int\limits\ \cos^nxdx = \frac{\cos^{n-1}x}{n}\sin x + \frac{n-1}{n} \int\limits\ \cos^{n-2}xdx $$

Тогда наш интеграл будет решаться так:

$$ \int\limits\ \cos^4xdx = \frac{\cos^{3}x}{3}\sin x + \frac{3}{4} \left( \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x \right) $$

Вот только мне не нравиться то, что я тут написал.. Ибо если подставить пределы, то выходит ноль

[GAA]

Приведу идею вывода формулы для $I_n = \int \sin^n x \, dx$.
$I_n = \int \sin^{n-2} x (1-\sin^2x)\, dx = I_{n-2} - \int \cos x \sin^{n-2} x \, d\sin x$.
Интегрируя по частям, приходим к уравнению относительно $I_n$
$ I_n = I_{n-2} - \frac {\sin^{n-1}x}{n-1}\cos x - \frac{1}{n-1} I_n$.

Добавлено спустя 3 минуты 7 секунд:

Ворон писал(а):

Вот только мне не нравиться то, что я тут написал.. Ибо если подставить пределы, то выходит ноль

Нет, не выходит ноль.

Добавлено спустя 12 минут 28 секунд:

Однако, это не означает, что ответ правильный. Можно проверить, используя формулу «понижения степени»: $\cos^2 x = \frac {1+\cos 2x}{2}$.

[Ворон]

Кстати да, ноль там не получиться...
Вот есть ещё одна формула(нашёл в интернете):

$$\cos^4 \varphi = \frac{1}{8}(3+4 \cos 2 \varphi + \cos 4 \varphi) $$

Если аккуратненько подставить пределы, то в обоих случаях получаем:

$$ \int\limits_{0}^{\pi /2} \cos^4xdx = \frac{\cos^{3}x}{3}\sin x + \frac{3}{4} \left( \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x \right) = \frac{3 \pi}{16}$$

Тогда окончательный ответ к задаче выглядит так:

$$ m = \frac{45a^4}{64} $$

[vvvv]

К задаче №1: