Приложения кратных интегралов (объем, масса и т.д.)

[Ворон]

Спасибо за подсказки.
Угол меняется от $0$ до $2\pi$.
Тогда $z$ будет меняться от уравнениея конуса до уравнения парабалойда. Тоесть от $r$ до $2r^2$.

Радиус вектор меняется от $...$ до $2$
Нужно определить координаты пересечения конуса и парабалойда. Решив систему я определил, что $z = 1/2$. Следует ли из этого, что радиус этой окружности тоже равен $1/2$?

Тогда (если всё верно) интеграл примет вид:

$$ V = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int\limits_{r}^{2r^2}dz \int\limits_{1/2}^{2}rdr $$

АДД:
Я вот хотел уточнить. Если пытаться решить интеграл который я только что написал, то в ответе останется $r$.

Если записать по другому то получиться примерно такой ответ:

$$ V = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int\limits_{1/2}^{2}rdr \int\limits_{r}^{2r^2}dz = 10.68 \pi $$

[Someone]

Нет, так нельзя. Пределы интегрирования по $z$ не могут зависеть от $r$, так как интеграл по $r$ находится внутри, и никакого $r$ после его вычисления не будет. Поскольку от $\varphi$ они тоже не зависят, то они постоянные, которые нужно найти из условий задачи (рисунки vvvv Вам помогут). Зато пределы интегрирования по $r$ могут (и должны, в данном случае) зависеть от $z$.

Второй способ неправильный.

[Ворон]

1. Предел по $z$ - это движение сечение по координате z. В нашем случае сечение двигается от 1/2 до 2.
2. Предел по $r$ - это радиус вектор. Он будет меняться от значения радиуса нижней окружности, до значения радиуса верхней окружности(рис.)

Эти рассуждения верны?

Цитата:

Зато пределы интегрирования по могут (и должны, в данном случае) зависеть от $z$.

Тоесть надо выразить r?

$r = z$ и $r = \sqrt{\frac{z}{2}}$

[Someone]

Да.

[Ворон]

$$ V = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int\limits_{1/2}^{2}dz \int\limits_{\sqrt{\frac{z}{2}}}^{z}rdr = 1.6875 \pi $$

Вот у меня получился такой ответ.. Как проверить верен ли он?

[GAA]

У меня получился другой ответ. Ищите у себя ошибку.

[Ворон]

$$ V = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int\limits_{1/2}^{2}dz \int\limits_{\sqrt{\frac{z}{2}}}^{z}rdr =$$

$$ = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int\limits_{1/2}^{2}dz \left (\frac{r^2}{2}\right ) \right |^z_{\sqrt{z/2}} = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int\limits_{1/2}^{2}dz \left (\frac{z^2}{2}-\frac{z}{4} \right) } =$$

$$ = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int\limits_{1/2}^{2} \left (\frac{z^2}{2}-\frac{z}{4} \right) }dz = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \left( \frac{z^3}{6} - \frac{z^2}{8} \right) \right|^2_\frac{1}{2} = $$

$$= \left( \frac{8}{6} - \frac{4}{8} - \frac{1}{48} + \frac{1}{32} \right)2 \pi = \left( \frac{20}{24} + \frac{1}{96} \right)2 \pi = \frac{81}{96}2\pi$$

Может чтото не так делаю
Ответ тотже получился

[GAA]

Ошибка в последней строке.

[Ворон]

Извините, но в упор не вижу и при пересчёте ничего не вызывает подозрение
Уточните пожалуйста, что конкрертно неверно в последней строке.

ЗЫ: была замечена только опечатка. Исправил её.

[GAA]

1) не упростили 81/96 до 27/32;
2) $27/32\cdot 2 \pi \ne 1.6875\pi$

[Ворон]

1. Согласен, но ответ от этого не может стать другим.
2. Не очень понял Калькулятор показывает равенство.

[GAA]

Да это я разделил с ошибкой. У Вас все правильно.

[Ворон]

Спасибо, бывает )

Добавлено спустя 1 час 3 минуты 29 секунд:

У меня тут возникает вопрос: какие основные отличия этих двух интегралов?

(1)

$$ V = \int\limits_{}^{} d \phi \int\limits_{}^{}dz \int\limits_{}^{}rdr $$

(2)

$$ V = \int\limits_{}^{} d \phi \int\limits_{}^{}rdr \int\limits_{}^{}dz $$

На практике в универе мы всегда писали интеграл (2). И при помощи него чтото высчитывали.
Сейчас же мы применили интеграл (1)... С чем была связана эта замена и можно было бы решить эту задачу через интеграл (2)?

Или такой приём нужно применять для определёного ряда задач?

[Someone]

Порядок интегрирования можно выбирать произвольно, подбирая наиболее удобный для решения задачи. Сложность решения может существенно зависеть от выбранного порядка. В данном случае наиболее удобным был (1). Для (2) надо было бы написать

$$V=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_{\frac 12}^1r\,dr\int_r^{2r^2}dz+\int_0^{2\pi}d\varphi\int_1^2r\,dr\int_r^2dz$$

[Ворон]

Большое спасибо. И этот момент с разбиением тоже нашёлся в книжке.

Давайте решим ещё одну задачу:
Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного заданными поверхностями.

$$ x^2 + y^2 + z^2 = a^2 $$

$$ z = 0, (z \geqslant 0) $$

Очевидно что:
1. Надо перейти к сферическим координатам.
2. Так как тело однородное, то его масса равна обьёму.
3. Нам нужно отыскать только координату ц.т. по оси $z$. Ибо по осям $x$ и $y$ координата ц.т. равна нулю.

Уравнение сферы принимает вид

$$ \rho = a $$

$$ V = \int\limits_{0}^{2\pi} d\varphi \int\limits_{0}^{\pi} \sin \theta d\theta \int\limits_{0}^{a} \rho^2 d\rho = \frac{2 \pi a^3}{3}$$

(Ответ сомнения, впринципе, не вызывает, ибо совпадает с результатом по "школьной формуле")

Теперь надо найти статический момент

$$S_{xy}$$

относительно нужной координатной плоскости

$$Oxy$$

$$ S_{xy} = \int\limits_{0}^{2\pi} d\varphi \int\limits_{0}^{\pi} \cos \theta \sin \theta d\theta \int\limits_{0}^{a} \rho^3 d\rho = \frac{\pi a^4}{4} $$

Ну и если подставить всё это в формулу для центра тяжести, то:

$$ z_c = \frac{3a}{4} $$

Вроде правильно ..... Проверте пожалуйста