Приложения кратных интегралов (объем, масса и т.д.)

[vvvv]

Если взять радиусь большей сферы равным двум, то объем полушара радиуса
два равен 16.755 , а у Вас объм,высекаемого тела, получается больше этого числа, чего не может быть.
И еще, неясно:конус-то имеет две полости, а ничего в условии задачи не говорится на этот счет.
Вот четвертушка (или восьмушка), высекаемого тела.

[Ворон]

Да, действительно чтото не то
Вроде как интеграл правильный... Чтото с пределами по ходу...
У меня сомнения на счёт предела по $\theta$. Он правильно определён?

[ИСН]

Конус, товарищи, рассекает эту штуку на три части - две круглые и одна с дыркой. Если условно обозначить круглую часть - "Фома", а часть с дыркой - "Ерёма", то мы воспроизведём ситуацию известной пословицы.

[Ворон]

Ага, я в ответ пословицу напишу

Вобщем я подумал, что правильно будет изменить предел по $\theta$....

$$ V = \int\limits_{0}^{2\pi} d \varphi \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\pi /2}}\sin \theta d \thete \int\limits_{a}^{b}r^2 d r \approx \frac{\pi (b^3 - a^3)}{2} $$

Уже лучше

[Someone]

Ворон в сообщении #174183 писал(а):

Вобщем я подумал, что правильно будет изменить предел по $\theta$

Зачем суетиться и исправлять что попало?

Вы объём какой части вычисляете - "Фомы" или "Ерёмы"?

P.S. Приближённые вычисления в таких задачах обычно не используются, если об этом прямо не сказано в условии задачи.

[Ворон]

Судя по всему нужна та, которую назвали Фома..
(кусочек этой фигуры показанна на рисунке товарища vvvv)...

[Danila88]

Ворон писал(а):

Следовательно угол

$$\theta$$

меняется от

$$ \frac{\pi}{4} $$

до

$$ \frac{3 \pi}{4} $$

.

Тогда объём равен:

$$ V = \int\limits_{0}^{2\pi} d \varphi \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}}\sin \theta d \thete \int\limits_{a}^{b}r^2 d r = .... $$

С пределами всё правильно?

Ответ:

$$ V = 2 \pi \cdot 1,4142 \cdot \frac{b^3 - a^3}{3} \approx \pi (b^3 - a^3) $$

Проверте пожалуйста

Угол, скорее, меняется от $\frac 3 4 \pi $ до $\pi $,

(Полученный ответ для объёма надо уменьшить в два раза)

[Ворон]

Всётаки посмотрев в книжку я пришёл к выводу, что да, действительно угол $\theta$ меняется от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$....

($\frac{3 \pi}{4}$ вроде не катит, ибо тогда объём получиться отрицательным..)

$$ V = \int\limits_{0}^{2\pi} d \varphi \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\pi /2} \sin \theta d \theta \int\limits_{a}^{b}r^2 d r = \frac{2 \pi \cos (\frac{\pi}{4}) (b^3 - a^3)}{3} $$

[GAA]

Ворон писал(а):

Всётаки посмотрев в книжку я пришёл к выводу, что да, действительно угол $\theta$ меняется от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$....

Неправильно.
К слову, как правило, вместо $\cos(\pi/4)$ пишут $\frac {\sqrt 2}{2}$.

[Jnrty]

Ворон в сообщении #174272 писал(а):

($\frac{3 \pi}{4}$ вроде не катит, ибо тогда объём получиться отрицательным..)

Это как же интеграл от положительной функции оказался отрицательным?

[Ворон]

Я опять невнимательно прочитал определение
Если верить Википедии ( http://ru.wikipedia.org/wiki/Сферические_координаты )..

Цитирую:

Цитата:

0 ≤ θ ≤ 180° — угол между осью Z и отрезком, соединяющим начало координат и точку P.

Тогда получается, что наш угол изменяется от $0$ до $\pi /4$.

Цитата:

Это как же интеграл от положительной функции оказался отрицательным?

Просто получиться после решения интеграла -

$$\cos \frac{3 \pi}{4}$$

... А косинус в этой четверти - отрицателен.

[GAA]

В данной задаче возможные следующие варианты промежутков интегрирования по $\theta$:
1) от 0 до $\pi/4$; 2) от $\pi/4$ до $3\pi/4$; 3) от $3\pi/4$ до $\pi$.
Объемы в первом и третьем случае равны. На мой взгляд, ни один из трех перечисленных случаев не «правильнее» остальных [т.е. все три случая «в равной степени» соответствуют условию].

Если Вы хотите изучить кратные интегралы, то возьмите в библиотеке третий том «Курса дифференциального и интегрального исчисления» Фихтенгольца (Скачать можно с EqWorld). В этой книге разобрано большое количество примеров. Если упражнений окажется недостаточно, воспользуйтесь книгой Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

[Ворон]

Спасибо за рекомендации. Сейчас куча экзаменов.. И надо умно распределить свободное время для подготовки, поэтому изучать углублёно никак не получиться
Сейчас основная задача, это прорешать типовики и понять что и зачем.

По этой теме остались только две задачи по которым возникают вопросы...

1 задача.
Вычислить массу отрезка прямой $AB$ если линейная плотность в каждой его точке

$$\gamma (x,y) = \frac{1}{x - z}$$

, $A(0;0;-2), B(4;0;0)$

Решение:
Тут я так полагаю надо написать:

$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1} = t $$

Откуда найдём уравнение прямой:
$x = 4t$
$y = 0$
$z =2t - 2$

$$m = \int\limits_{0}^{1} \frac{dl}{x-z} = ....$$

Вот ума не приложу, что надо с плотностью сделать

Задача 2.
Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного указанными поверхностями.

$$ az = a^2 - x^2 - y^2 $$

$$ z = 0 $$

В этой задаче непонятно как преобразовать уравнение в нормальный вид

[GAA]

1. Вы неправильно сводите криволинейный интеграл первого рода к «обычному» определенному интегралу.
2. Удобно перейти в цилиндрическую систему координат

Вы бесполезно потратите время в переписке на Форуме. Надеюсь, Вы одумаетесь и начнете читать книги, либо Вам помогут другие участники.

[Someone]

Ворон в сообщении #174287 писал(а):

Просто получиться после решения интеграла -

$$\cos \frac{3 \pi}{4}$$

... А косинус в этой четверти - отрицателен.

У Вас в http://dxdy.ru/post174035.html#174035 было положительное выражение (с учётом неравенства $0<a<b$).

Наверняка там получалось что-нибудь типа $\cos\frac{\pi}4-\cos\frac{3\pi}4$.