Помогите разобраться с рядами

[LLIAMAH]

I. Вообщем дан ряд, который нужно исследовать на сходимость.

oo
--
\
sin(п/2^n)/n*(3+sin(пn/4))
/
--
n=1

Я пробую исследовать по признаку Даламбера. После различных упрощений и сокращений получаю следующее:

0,5*lim[(n*(3+sin(пn/4))/(n+1)*(3+sin(пn/4 + п/4))]
n->oo
Есть какие-нибудь соображения как действовать дальше ?


II. Найти область сходимости ряда

oo
--
\
(n+1)^0,5/(3^n*(x+3)^n)
/
--
n=1

Исследуем по обобщенному признаку Даламбера. После нахождения предела я получил следуее: |1/3*(x+3)|<1. Данное неравенство представляет собой систему из двух неравенств, решив котору получил это:
x<-10/3 и x>-8/3. Это получается, что данный ряд расходится при любом x ?.

[GAA]

Как набирать формулы см. в теме Первые шаги в наборе формул и Краткий ФАК по тегу [math].

[Nikita.bsu]

Уважаемый LLIAMAH, это ваши ряды
$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin \frac{\pi }{{2^n }}}}{{n\left( {3 + \sin \frac{{\pi n}}{4}} \right)}}} \hfill $
$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sqrt {n + 1} }}{{3^n }}\left( {x + 3} \right)^{-n} } \hfill $

В первом полученный вами предел не существует, проще воспользоваться признаком Коши

Во втором вы неверно решили неравенство с модулем. Когда его решите верно необходимо будет провереть в граничных точках

[ewert]

LLIAMAH писал(а):

I.
oo
--
\
sin(п/2^n)/n*(3+sin(пn/4))
/
--
n=1

Я пробую исследовать по признаку Даламбера.

Не надо Даламбера -- он не сработает из-за нерегулярного поведения знаменателя. Надо просто по признаку сравнения оценить через сходящуюся геометрическую прогрессию (синус в числителе именно как геометрическая прогрессия себя и ведёт).

[Sonic86]

Для второго ряда можете теорию степенных рядов посмотреть - очень удобная вещь.

[LLIAMAH]

Nikita.bsu писал(а):

это ваши ряды

Второй ряд не совсем верно. Я немного не так напечатал (там (х+3)^n тоже должно быть в знаменателе). Виноват, моя ошибка (поправил)

Nikita.bsu писал(а):

В первом полученный вами предел не существует, проще воспользоваться признаком Коши

Нет, признак Коши здесь точно не сработает

ewert писал(а):

Не надо Даламбера -- он не сработает из-за нерегулярного поведения знаменателя. Надо просто по признаку сравнения оценить через сходящуюся геометрическую прогрессию (синус в числителе именно как геометрическая прогрессия себя и ведёт).

Хорошо, допустим сравним с рядом п\2^n. Возможно два варианта развития событий и в обоих предел не существует.

[ewert]

LLIAMAH писал(а):

ewert писал(а):

Не надо Даламбера -- он не сработает из-за нерегулярного поведения знаменателя. Надо просто по признаку сравнения оценить через сходящуюся геометрическую прогрессию (синус в числителе именно как геометрическая прогрессия себя и ведёт).

Хорошо, допустим сравним с рядом п\2^n. Возможно два варианта развития событий и в обоих предел не существует.

Без вариантов. Геометрическая прогрессия сходится абсолютно, а ограниченные множители на этом фоне никакого значения не имеют.

[LLIAMAH]

ewert писал(а):

LLIAMAH писал(а):

ewert писал(а):

Не надо Даламбера -- он не сработает из-за нерегулярного поведения знаменателя. Надо просто по признаку сравнения оценить через сходящуюся геометрическую прогрессию (синус в числителе именно как геометрическая прогрессия себя и ведёт).

Хорошо, допустим сравним с рядом п\2^n. Возможно два варианта развития событий и в обоих предел не существует.

Без вариантов. Геометрическая прогрессия сходится абсолютно, а ограниченные множители на этом фоне никакого значения не имеют.

Погоди. В первом случае получается lim[n*(3+sin(xn/4))], а во втором lim[1/(n*(3+sin(xn/4)))]. В первом и во втором случаях при подстановке вместо n бесконечности оба предела не существуют.

[ewert]

и неправда. Вы невнимательны. Речь шла о том, что числитель обеспечивает абсолютную сходимость, а конкретное поведение знаменателя после этого уже и не существенно, т.к. он с обеих сторон ограничен.

[LLIAMAH]

ewert писал(а):

и неправда. Вы невнимательны. Речь шла о том, что числитель обеспечивает абсолютную сходимость, а конкретное поведение знаменателя после этого уже и не существенно, т.к. он с обеих сторон ограничен.

Знаменатель был бы ограничен с обеих сторон если бы там не было n

[ewert]

Логика неправильная. "Эн" дополнительно усиливает сходимость, а всё остальное в знаменателе -- никак на неё не влияет.

[LLIAMAH]

ewert писал(а):

Логика неправильная. "Эн" дополнительно усиливает сходимость, а всё остальное в знаменателе -- никак на неё не влияет.

Мммда, в мои годы да меня туго доходит. Можешь решение написать ?

[ewert]

нет, не можу. Просто подумайте. Ситуация тривиальна: числитель оценивается геометрической прогрессией, всё остальное ограничено некоторой константой (и неважно какой), после чего достаточно всего-навсего первого признака сравнения.

[LLIAMAH]

ewert писал(а):

нет, не можу. Просто подумайте. Ситуация тривиальна: числитель оценивается геометрической прогрессией, всё остальное ограничено некоторой константой (и неважно какой), после чего достаточно всего-навсего первого признака сравнения.

А черт подери, все оказалось даже проще чем я думал. Спасибо, с этим рядом разобрались.
Теперь надо разбираться со вторым. Nikita.bsu утверждает, что в моем решении ошибка, и навернека при смене знака при переходе к обратным дробям.

[Nikita.bsu]

LLIAMAH писал(а):

Nikita.bsu писал(а):

это ваши ряды

Второй ряд не совсем верно. Я немного не так напечатал (там (х+3)^n тоже должно быть в знаменателе). Виноват, моя ошибка (поправил)

Исправил

LLIAMAH писал(а):

Nikita.bsu писал(а):

В первом полученный вами предел не существует, проще воспользоваться признаком Коши

Нет, признак Коши здесь точно не сработает

Почему нельзя?
$c = \mathop {\overline {\lim } }\limits_{n \to \infty } \root n \of {a_n }=\mathop \overline {\lim } }\limits_{n \to \infty } \root n \of {\frac{{\sin \frac{\pi }{{2^n }}}}{{n\left( {3 + \sin \frac{{\pi n}}{4}} \right)}}} = \frac{1}{2} < 1$

Добавлено спустя 8 минут 39 секунд:

LLIAMAH писал(а):

Nikita.bsu утверждает, что в моем решении ошибка, и навернека при смене знака при переходе к обратным дробям.

Я не понял что это все в знаменатели. А в случае если это в знаменатели то получим не систему а совокупоность, т.е. $x \in \left( { - \infty ; - \frac{{10}}{3}} \right) \cup \left( { - \frac{8}{3}; + \infty } \right)$