Актуальная бесконечность.

[Someone]

Shtorm в сообщении #588663 писал(а):

Если бы они были никому не нужны, то такие понятия вообще бы не возникли, не были бы описаны в книгах и не вызывали бы споры у учёных мужей.

У кого именно? Имена, пароли, явки!

Munin в сообщении #588676 писал(а):

Но я-то смотрю со своей точки зрения, а не с его. Значит, могу различать.

Без разницы. У Вас ведь всё равно где-то есть определение этого множества, просто Вам удобно пользоваться кратким обозначением. Ну, а алгоритм в качестве имени может использовать само это определение. Разумеется, объект и его имя нужно различать, но это различие не имеет никакого отношения к потенциальной и актуальной бесконечности.

Munin в сообщении #588676 писал(а):

Почему не годятся? Пусть вы читаете какое-то рассуждение, и делаете это, естественно, по шагам. У вас будет какое-то последовательное создание прочитанного текста.

Да при желании можно, но опять же - что с этим временем делать? Можно вообразить, что по шагам рассуждения количество "существующих" элементов бесконечного множества растёт, поскольку "осуществляются" элементы, упоминаемые в рассуждении, но тут будет проблема с использованием аксиом индукции: такая аксиома за конечное число шагов "осуществляет" весь натуральный ряд, и получается актуально бесконечное множество... Если Вы думаете, что конструктивисты отказываются от аксиом индукции, то Вы ошибаетесь. Поэтому не понимаю я разницы между актуальной и потенциальной бесконечностью в математике, и никто эту разницу объяснить не может.

[Shtorm]

master в сообщении #588681 писал(а):

Shtorm в сообщении #588663 писал(а):

если геометрические объекты бесконечны на ограниченном интервале

Например?

Например, семейство параллельных плоскостей.

-- Вс июн 24, 2012 23:12:13 --

Someone в сообщении #588685 писал(а):

Shtorm в сообщении #588663 писал(а):

Если бы они были никому не нужны, то такие понятия вообще бы не возникли, не были бы описаны в книгах и не вызывали бы споры у учёных мужей.

У кого именно? Имена, пароли, явки!

А форума dxdy Вам не достаточно?

[Munin]

Someone в сообщении #588685 писал(а):

Без разницы. У Вас ведь всё равно где-то есть определение этого множества, просто Вам удобно пользоваться кратким обозначением. Ну, а алгоритм в качестве имени может использовать само это определение.

Нет. Определение "для меня" - это такое, которое я могу прочитать и понять, на естественном языке. Определение "для алгоритма" - это такое, которое он может прочитать (в смысле формального разбора) и исполнить. Поскольку я - не формальная машина (в одних аспектах я слабее, чем Turing complete, а в других, смею надеяться, сильнее), то это вещи разные, и моё определение, процитированное из учебника матанализа, алгоритм может и не схавать.

Someone в сообщении #588685 писал(а):

Да при желании можно, но опять же - что с этим временем делать?

Да ничего, просто кайфовать от его наличия и конечности. И смотреть, как привязка к нему приводит к изменению других оснований математики - рассуждений, множеств.

Someone в сообщении #588685 писал(а):

Если Вы думаете, что конструктивисты отказываются от аксиом индукции, то Вы ошибаетесь. Поэтому не понимаю я разницы между актуальной и потенциальной бесконечностью в математике, и никто эту разницу объяснить не может.

Вроде бы, вы говорили, что конструктивисты бывают разные. И некоторые - таки отказываются.

[Someone]

Shtorm в сообщении #588690 писал(а):

А форума dxdy Вам не достаточно?

А причём тут наш форум? Вы писали:

Shtorm в сообщении #588663 писал(а):

Если бы они были никому не нужны, то такие понятия вообще бы не возникли, не были бы описаны в книгах и не вызывали бы споры у учёных мужей.

Вот и рассказывайте: в каких научных математических монографиях и статьях Вы видели эти понятия, кто из профессиональных математиков поимённо тратит время на споры об этих понятиях. Давайте, колитесь, иначе буду считать Вас пустозвоном. Псевдофилософские околоматематические споры меня не интересуют.

Munin в сообщении #588695 писал(а):

Да ничего, просто кайфовать от его наличия и конечности. И смотреть, как привязка к нему приводит к изменению других оснований математики - рассуждений, множеств.

Кайфовать можно, но к основаниям математики это никакого отношения не имеет.

Munin в сообщении #588695 писал(а):

И некоторые - таки отказываются.

Я писал: запрещается использовать бесконечные множества (а из конечных допускаются только такие, элементы которых явно перечислены). Это финитизм, придуманный Гильбертом с целью надёжного обоснования математики. Но у него ничего не вышло.
Но если бесконечных множеств нет вообще, то вопрос об актуальной или потенциальной бесконечности становится бессмысленным. Нету её. Естественно, о натуральном ряде как математическом объекте они не говорят. Но от аксиом индукции финитизм не отказывается, без них арифметика уж больно убогая будет, с её помощью ничего интересного не обоснуешь.

[Shtorm]

Someone в сообщении #588701 писал(а):

Вот и рассказывайте: в каких научных математических монографиях и статьях Вы видели эти понятия, кто из профессиональных математиков поимённо тратит время на споры об этих понятиях.

Под учёными мужами я понимаю не только математиков, но и учёных других направлений. В частности - философов. А все философские понятия возникают не на пустом месте. Это во-первых.
А во-вторых, я уже писал, что Георг Кантор - математик, рассматривал понятие актуальной бесконенчости, при разработке своей теории множеств.

[Munin]

Someone в сообщении #588701 писал(а):

запрещается использовать бесконечные множества... Но от аксиом индукции финитизм не отказывается

Забавное сочетание :-) Может быть, это "потенциальная бесконечность" и есть: то, что можно построить только индукцией (в смысле, не меньше чем ей), но бесконечных множеств не привлекает?

[migmit]

Shtorm в сообщении #588705 писал(а):

А все философские понятия возникают не на пустом месте.

Современная философия представляет собой одно большое жульничество. Философия науки — жульничество вдвойне. Все философские понятия, вопросы, проблемы и те де возникают только и исключительно на пустом месте, ибо больше им возникать не на чем, нету ничего.

[Shtorm]

migmit в сообщении #588722 писал(а):

Shtorm в сообщении #588705 писал(а):

А все философские понятия возникают не на пустом месте.

Современная философия представляет собой одно большое жульничество. Философия науки — жульничество вдвойне. Все философские понятия, вопросы, проблемы и те де возникают только и исключительно на пустом месте, ибо больше им возникать не на чем, нету ничего.

Можете привести какой-нибудь яркий образный пример, чтобы не быть голословным?

[migmit]

Shtorm в сообщении #588723 писал(а):

migmit в сообщении #588722 писал(а):

Shtorm в сообщении #588705 писал(а):

А все философские понятия возникают не на пустом месте.

Современная философия представляет собой одно большое жульничество. Философия науки — жульничество вдвойне. Все философские понятия, вопросы, проблемы и те де возникают только и исключительно на пустом месте, ибо больше им возникать не на чем, нету ничего.

Можете привести какой-нибудь яркий образный пример, чтобы не быть голословным?

Элементарно. Проблема "актуальной бесконечности".

[Sonic86]

migmit в сообщении #588742 писал(а):

Элементарно. Проблема "актуальной бесконечности".

Этих проблем навалом: "Ахиллес и черепаха", "стрела Зенона" и т.п.

[master]

Shtorm в сообщении #588690 писал(а):

Например, семейство параллельных плоскостей.

таки это "безмощное" или "безразмерное" множество

[Профессор Снэйп]

Someone в сообщении #588572 писал(а):

Например, направление конструктивизма, разрабатывавшееся в СССР...

О! Вспомнил, что у меня на компе валяется реферат по философии, писанный мною в 1996 году. Тема реферата называлась "Философско-методологические проблемы математики в работах А. А. Маркова". Там есть довольно забавные места

Маленький Северус Снэйп писал(а):

И всё же, конструктивен ли принцип конструктивного подбора? По-видимому, ставить вопрос таким образом просто бессмысленно. То, что мы называем принципом конструктивного подбора, не является ни математическим объектом, ни вычислительным процессом. Правильнее всего было бы сказать, что ПКП является аксиомой конструктивной математики. Последовательный конструктивист должен принимать эту аксиому на веру: то рассуждение, которое обосновывает ПКП, для конструктивиста доказательством не является.

Но даже и это не совсем верно. Для полной ясности в этом вопросе хотелось бы понять, чем же всё-таки занимаются конструктивисты: сознательно и целенаправленно обкрадывают свой ум или пытаются вылечить математиков от сумасшествия, именуемого "доказательство от противного"? Методы классической математики кажутся им сомнительными? Превосходно. Но зачем тогда класть в основание своей науки утверждение, в истинности которого можно убедиться лишь этими самыми сомнительными методами?

Интересно, способен ли прийти к идее принципа конструктивного подбора ортодоксально мыслящий конструктивист? Не тот, который пытается доказать неконструктивными методами конструктивность некоторых из существующих объектов, а тот, для которого конструктивность равносильна существованию. Мне кажется, что нет, не сможет. Для ортодоксального конструктивиста понятия конструктивности не существует. Если же он попытается его ввести, то оно окажется равносильным таким понятиям, как "Сущее", "Мир", "Вселенная". Неконструктивный - значит абсурдный. Абсурдный - значит способный существовать лишь в воображении. В больном воображении. В мире конструктивистов нет места таким понятиям, как принцип конструктивного подбора: люди, отвергающие по идейным соображениям абстракцию актуальной бесконечности, обязаны мыслить более конкретно.

Таким образом, по интересующему нас вопросу существуют следующие мнения:

Представитель классической математики: Принцип конструктивного подбора верен, потому что он чётко и логично обоснован.

Конструктивист: Не понимаю, о чём тут, собственно, идёт речь.

А. А. Марков: "Я настаиваю на том, чтобы …"

Автор реферата, I: По-видимому, из чисто практических соображений принять ПКП всё же придётся. Но при этом не следует забывать о том, что мир математиков — не тоталитарное государство. В этом мире свобода — это возможность сказать: "2+2=5", всё остальное следует из этого.

Автор реферата, II: Принять ПКП можно, но нечестно. Зато весьма практично. Немного неэтично. Неэстетично. Пусть каждый решает этот вопрос для себя лично.

David Bowie: Some say the view is crazy but you may adopt another point of view. So if it’s much too hazy you can leave my friend and me with fond adieu.

[VPopov]

Апис в сообщении #588403 писал(а):

А если бесконечность определить, как отсутствие любых взаимодействий, взаимосвязей между объектами. Останется в каждом конкретном случае искать точку разрыва взаимосвязей. И не надо ничего воображать, бесконечность размещается между двумя объектами, между которыми отсутствуют взаимосвязи.

Интересная мысль. Это арифметический парадокс действительных чисел, а истоки его уходят вглубь закона тождества - первого начала логики. А именно: каждый элемент мира, как и мир в целом, тождественны только себе. В пугающем воображение учении Лейбница о монадах каждая монада является миром, и при этом никакой связи между ними нет (монада "не имеет окон", она "лишена права переписки"). Лично для меня это учение не выступает привлекательным, но современное математическое учение о континууме исповедует именно эту идею. Для разрешения этого парадокса существует лишь один способ: дополнить закон тождества законом противоречия.

Someone в сообщении #588461 писал(а):

В математике нет понятий "актуальная бесконечность" и "потенциальная бесконечность". Для математики безразлично, "существуют" ли изучаемые объекты "все сразу" или "появляются" (или "строятся" при конструктивном подходе) по мере "возникновения" надобности в них. На математических рассуждениях это никак не отражается. Я неоднократно просил рьяных сторонников этих понятий сформулировать их математические определения, но вразумительных ответов ни разу не получил.

В книге "История западной философии", в гл. о Пифагоре Б. Рассел пишет: "Я полагаю, что математика является главным источником веры в вечную и точную истину... Геометрия (я бы сказал - аналитическая геометрия) имеет дело с точными окружностями, но ни один круглый предмет не является точно круглым... Чистая математика также льет воду на мельницу мистических доктрин об отношении времени к вечности, ибо математические объекты, например числа (если они вообще реальны) являются вечными и вневременными. Отсюда платоновская доктрина, согласно которой Бог является геометром, а также представление сэра Д. Джинса о том, что Бог предается арифметическим занятиям" (с. 56)

Различие и, следовательно, противоречие между понятиями потенциальной и актуальной бесконечности кроется в различии между методами построения эмпирического и теоретического знания. Упрощенно это можно выразить так: потенциальная бесконечность - это становящаяся (создаваемая инженером, экономистом или физиком) сумма каких-то единиц (секунд, метров, $ или €), к которой всегда можно прибавить (или отнять) одну или несколько указанных единиц, а актуальная бесконечность - это дискретное (континуальное) количество указанных единиц, существующее вне нашего сознания в какой-то безграничной емкости. Или по-другому: потенциальная бесконечность всегда ограничена пределом, а актуальная - предела не имеет, так как "монады" не "переписываются" друг с дружкой. Поэтому в рамках абстракции потенциальной бесконечности закон исключенного третьего действует (обеспечивает его принцип дихотомии - сечение любого целого на две части, в одной из которых находится истина, тогда в противоположной - пребывает ложь, или наоборот), а в открытом пространстве актуальной бесконечности tertium non datur неприменим, сечение всегда будет попадать в "пустоту" между "монадами". Но поскольку (кажется Гильберт это сказал, точно не помню) - "отнять у математиков закон исключенного третьего- то же самое, что запретить боксерам пользоваться кулаками", то классические математики предпочитают не ввязываться в дискуссию по поводу "потенциальной и актуальной", ибо это сразу лишит их "кулаков" (метод доказательства от противного). Конструктивисты тем более не ввязываются в эти дискуссии (они их закончили на Вейле, Гейтинге, Брауэре и др.), потому что этот вопрос для них решен раз и навсегда: они работают с объектами, которые реально связаны с человеком, но не с Богом, т. е. их математические объекты потенциально бесконечны.

[Munin]

И как у вас в пальце, из которого вы всё это высасываете, столько пустых слов помещается?

[Shtorm]

Sonic86 в сообщении #588748 писал(а):

Этих проблем навалом: "Ахиллес и черепаха", "стрела Зенона" и т.п.

Так эти проблемы давно решены! Кстати решены математиками и физиками. Но философы взяли эти решения и поместили их в свои книжки.