Актуальная бесконечность.

[migmit]

Shtorm в сообщении #588347 писал(а):

Каждый профессиональный жулик знаком с этими понятиями. Почему же сейчас, когда так много книг по математике излагаются на языке множеств, актуальная и потенциальная бесконечности не вошли твёрдо в математический аппарат?

Потому что математики эту "проблему", так любимую жуликами, давным-давно закрыли и проехали.

[Апис]

А если бесконечность определить, как отсутствие любых взаимодействий, взаимосвязей между объектами. Останется в каждом конкретном случае искать точку разрыва взаимосвязей. И не надо ничего воображать, бесконечность размещается между двумя объектами, между которыми отсутствуют взаимосвязи.

Цитата:

что к примеру расстояние меньшее размера самой маленькой частицы уже чистый абстракт, который никому ненужен

Если нет взаимосвязей между двумя самыми маленькими частицами, они могут находится, как угодно близко друг от друга, но между ними бесконечность

[Shtorm]

Апис в сообщении #588403 писал(а):

А если бесконечность определить, как отсутствие любых взаимодействий, взаимосвязей между объектами.
....

Если говорить об актуальной бесконечности, скажем расположенной на отрезке $[0,1]$, то разве сам отрезок - его границы не будут являться взаимосвязью между объектами?

[Someone]

Shtorm в сообщении #588347 писал(а):

Актуальная и потенциальная бесконечности - понятия на стыке философии и математики.

В математике нет понятий "актуальная бесконечность" и "потенциальная бесконечность". Для математики безразлично, "существуют" ли изучаемые объекты "все сразу" или "появляются" (или "строятся" при конструктивном подходе) по мере "возникновения" надобности в них. На математических рассуждениях это никак не отражается. Я неоднократно просил рьяных сторонников этих понятий сформулировать их математические определения, но вразумительных ответов ни разу не получил.
Зато околоматематическая "философия" любит паразитировать на этих понятиях.

А два сообщения, предшествующих моему - это уже полный бред.

В общем, смысла в продолжении обсуждения через 4 года после начала не видно.

[Munin]

Someone в сообщении #588461 писал(а):

Для математики безразлично, "существуют" ли изучаемые объекты "все сразу" или "появляются" (или "строятся" при конструктивном подходе) по мере "возникновения" надобности в них.

Как раз в конструктивном подходе - не безразлично.

[Shtorm]

Munin в сообщении #588364 писал(а):

Гуглить по ключевым словам "теория множеств", "конструктивизм", "аксиома выбора".

Вы хотите сказать, что погуглив, я найду спецсимволы в математике для обозначения актуальной и потенциальной бесконечности?

Даже у участников научного форума нет единого мнения по данному вопросу. Что уж там говорить о целом мире.

[Munin]

Shtorm в сообщении #588539 писал(а):

Вы хотите сказать, что погуглив, я найду спецсимволы в математике для обозначения актуальной и потенциальной бесконечности?

Я не сказал, что вы найдёте спецсимволы. Я подразумевал, что погуглив, вы поймёте, что ищете не то, а спецсимволы бессмысленно искать.

[Someone]

Shtorm в сообщении #588539 писал(а):

Вы хотите сказать, что погуглив, я найду спецсимволы в математике для обозначения актуальной и потенциальной бесконечности?

Гарантирую, что не найдёте (если только у околоматематических "философов"). В математике нет обозначений для понятий, которые нафиг никому не нужны.

Munin в сообщении #588485 писал(а):

Как раз в конструктивном подходе - не безразлично.

Ну да, некоторые сторонники конструктивизма талдычат, что, дескать, в классической математике подразумевается актуальная бесконечность, а в конструктивной - потенциальная. Но пока что никто не смог сформулировать различие на математическом языке.

Существуют, кстати, существенно разные виды конструктивизма. Например, финитизм вообще запрещает использование бесконечных множеств. Поэтому оставим это направление в покое и возьмём что-нибудь не столь экстремистское. Например, направление конструктивизма, разрабатывавшееся в СССР - конструктивный рекурсивный анализ. Отличия от классической математики начинаются с логики: отвергается закон исключённого третьего, несколько иначе интерпретируются логические формулы; например, утверждая существование объекта, мы должны его предъявить в явном виде. Основными понятиями являются алгоритмы (нормальные алгорифмы Маркова), работающие со словами в заданном алфавите. Исполнитель алгоритма умеет находить в заданном слове первое вхождение указанного подслова и заменять его другим подсловом (детали можно посмотреть в книге Б.А.Кушнера "Лекции по конструктивному математическому анализу"). Всевозможные математические объекты, которые мы хотим изучать, кодируются словами; способ кодирования, естественно, зависит от природы объекта. В частности, кодировать можно и алгоритмы, и существует универсальный алгоритм, который, получив на входе слово, содержащее код некоторого алгоритма и данные к нему, может смоделировать работу закодированного алгоритма с этими данными.
Например, конструктивное действительное число кодируется словом, содержащим коды двух алгоритмов, из которых один вычисляет последовательность рациональных чисел, а другой указывает номер члена этой последовательности, приближающего рассматриваемое КДЧ с заданной погрешностью (точнее можно посмотреть в указанной книге). Множество конструктивных действительных чисел счётно с классической точки зрения, но "несчётно" (конструктивисты говорят - неперечислимо) с конструктивной точки зрения: существует алгоритм, который для каждой конструктивной последовательности КДЧ (которая задаётся, разумеется, кодом алгоритма, вычисляющего члены этой последовательности) строит код КДЧ, не принадлежащего этой последовательности.
Коды множеств (как конечных, так и бесконечных) также являются словами, с которыми могут работать алгоритмы.

Алгоритм занимается просто преобразованием (заведомо конечных) слов, и ему безразлично, как мы эти слова интерпретируем - как множества или как-то иначе. Может быть, Вы объясните, каким образом здесь "не безразлично" различие между актуальной и потенциальной бесконечностью, и как это различие сформулировать на математическом языке?

[Munin]

Someone в сообщении #588572 писал(а):

Может быть, Вы объясните, каким образом здесь "не безразлично" различие между актуальной и потенциальной бесконечностью, и как это различие сформулировать на математическом языке?

Думаю, это различие между $\mathbb{N}$ и его кодом. (Я надеюсь, не возникает проблем рассматривать всю эту конструкцию с кодами и алгоритмами с традиционной точки зрения?)

[Someone]

Munin в сообщении #588577 писал(а):

Я надеюсь, не возникает проблем рассматривать всю эту конструкцию с кодами и алгоритмами с традиционной точки зрения?

Существует параллельная дисциплина - рекурсивный анализ, где используется классическая логика. Некоторые отличия от конструктивного рекурсивного анализа всё-таки наличествуют.

Munin в сообщении #588577 писал(а):

Думаю, это различие между $\mathbb{N}$ и его кодом.

??? Код множества - это, с точки зрения алгоритма, такое же обозначение (имя) множества, как и буковка $\mathbb{N}$ с Вашей точки зрения. Вы работаете с именами объектов, и алгоритм работает с именами объектов. Какое это имеет отношение к актуальной или потенциальной бесконечности? Имена в любом случае являются конечными последовательностями символов некоторого алфавита.

В околоматематической "философии" бесконечное множество (например, натуральный ряд) считается актуально бесконечным, если все его элементы существуют "одновременно", и потенциально бесконечным, если в каждый "момент" существует только конечное число элементов, но "со временем" оно неограниченно увеличивается. Должен сказать, что я понимаю эти "определения" на бытовом уровне, но перестаю понимать сразу же, как только вспоминаю, что я математик. В математике нет времени. Я не понимаю, что такое "одновременно" и что такое "момент". Любое математическое рассуждение является конечным, как в конструктивной математике, так и в классической. Любые объекты считаются неизменными в ходе всего рассуждения. Шаги алгоритма также не годятся на роль "времени". Я не вижу тут математически значимой разницы между этими двумя интерпретациями бесконечности.

[master]

Someone в сообщении #588594 писал(а):

и потенциально бесконечным, если в каждый "момент" существует только конечное число элементов, но "со временем" оно неограниченно увеличивается.

Можно пойти дальше, пусть любое конечное множество для которого определена операция добавления элемента, есть потенциально бесконечное множество, а для которого определена операция удаления элемента, потенциально пустое. Тогда множество монеток в фонтане одновременно потенциально бесконечное и потенциально пустое.

[Someone]

Нет, Вы неправильно понимаете суть дела. Какие элементы принадлежат множеству, определяется в тот момент, когда сформулировано определение множества. Например, множество натуральных чисел. Просто в случае актуально бесконечного множества эти элементы считаются существующими "все сразу". А в случае потенциально бесконечного множества мы считаем, что они существуют не "все сразу", а только конечное число. Но неограниченно увеличивающееся. То есть, некоторые натуральные числа в натуральном ряде есть, но в каком-то смысле не существуют, пока мы их не построим (например, нарисуем соответствующее количество палочек - в случае конструктивной математики) или хотя бы упомянем (в классической математике). Я не вижу принципиальной разницы, поскольку рассуждения, которые мы осуществляем, в обоих случаях протекают одинаково, и нам глубоко начхать, в каком таком смысле элементы существуют "все" или "не все".

[Shtorm]

Someone в сообщении #588572 писал(а):

В математике нет обозначений для понятий, которые нафиг никому не нужны.

Если бы они были никому не нужны, то такие понятия вообще бы не возникли, не были бы описаны в книгах и не вызывали бы споры у учёных мужей.

Вот к примеру, есть у вас какие-нибудь геометрические объекты. В разных ситуациях, в зависимости от условий, количество этих объектов может быть различно. Это количество может быть бесконечно или ограничено. И разница очень важна. Так здесь мне видится очень удобно использовать понятие актуальной бесконечности, если геометрические объекты бесконечны на ограниченном интервале, и потенциальной бесконечности, если объекты ничем не ограничены.

[Munin]

Someone в сообщении #588594 писал(а):

Код множества - это, с точки зрения алгоритма, такое же обозначение (имя) множества

Но я-то смотрю со своей точки зрения, а не с его. Значит, могу различать.

Someone в сообщении #588594 писал(а):

Вы работаете с именами объектов, и алгоритм работает с именами объектов. Какое это имеет отношение к актуальной или потенциальной бесконечности?

У нас имена разных объектов. Не зацикливайтесь на именах. У алгоритма объект - это некий код, у меня - множество $\mathbb{N},$ с которым я, предполагаю, что знаю как работать.

Someone в сообщении #588594 писал(а):

Любое математическое рассуждение является конечным, как в конструктивной математике, так и в классической. Любые объекты считаются неизменными в ходе всего рассуждения. Шаги алгоритма также не годятся на роль "времени".

Почему не годятся? Пусть вы читаете какое-то рассуждение, и делаете это, естественно, по шагам. У вас будет какое-то последовательное создание прочитанного текста.

[master]

Shtorm в сообщении #588663 писал(а):

если геометрические объекты бесконечны на ограниченном интервале

Например?