Что такое обобщённая сумма ряда?

[пианист]

B3LYP в сообщении #1735051 писал(а):

Что мешает ввести понятие суммы ряда на p-адических числах и рассмотреть его в ракурсе изоморфизма с суммой аналогичного ряда на обычных целых числах?

Если я правильно понял вопрос: такая сумма, даже если ряд сойдется, в общем случае (в отличие от вышеприведенного примера) будет p-адическим, а не вещественным числом.

[SergeyGubanov]

mihaild в сообщении #1735013 писал(а):

Для начала расскажите, как доказать хотя бы равенство $0 + 0 + \ldots = 0$.

Хорошо. Честно не понимаю в чём прикол. Разьве это не следует из $0 + 0 = 0$?

[wrest]

SergeyGubanov в сообщении #1735058 писал(а):

Разьве это не следует из $0 + 0 = 0$?

Ну тут же дело в том, что в записи $0+0+ \dots $ последнее слагаемое " $\dots $ " числом не является, поэтому нет, не следует

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #1735058 писал(а):

Разьве это не следует из $0 + 0 = 0$?

Нет конечно. В лучшем случае (если мы предполагаем что для бесконечной суммы выполняются некоторые свойства, которые вообще-то ещё надо доказать), применяя это правило вы сможете убрать из суммы конечное число нулей. Немножко извернувшись можно даже убрать половину всех нулей (сгруппировав их попарно и сложив нули каждой пары). Но даже в таком случае у вас по-прежнему останется бесконечный ряд из нулей.

[SergeyGubanov]

Ну, давайте сделаем как раньше, введём $S_{L}$ и $S_{R}$:

$$0 + 0 + 0 + \ldots = S_{R},$$

$$0 + (0 + 0 + \ldots) = S_{R},$$

$$0 + S_{L} = S_{R},$$

$$S_{L} = S_{R}.$$

Окей, теперь мы по крайней мере знаем, что для этого ряда $S_{L} = S_{R}$. Уже не плохо...

Обозначим это нулём с крышкой $S_{L} = S_{R} = \hat{0}$.

Из первого равенства:

$$\hat{0} = 0 + 0 + 0 + \ldots$$

[mihaild]

B3LYP в сообщении #1735051 писал(а):

Но вы ведь и так уже это знали, так что непонятно к чему был ваш ответ

К тому, что вроде бы Вы, а не Пушкин, написали

B3LYP в сообщении #1734928 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что общая идея в том, чтобы как бы приравнять к нулю бесконечность в выкладках?

Вот нет - неправильно понимаете. Общая идея - та, что написал я. А у отдельных методов идеи разные.

B3LYP в сообщении #1735051 писал(а):

Что мешает ввести понятие суммы ряда на p-адических числах и рассмотреть его в ракурсе изоморфизма с суммой аналогичного ряда на обычных целых числах?

Сумму ряда - ничего не мешает, топология на них итак есть.
Что такое "ракурс изоморфизма" - не знаю.

SergeyGubanov в сообщении #1735058 писал(а):

Разьве это не следует из $0 + 0 = 0$?

Нет, непонятно, с чего это должно следовать.
Можно даже сразу шаг дальше сделать - я готов согласиться, что $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n 0 = 0$. Но как Вы предлагаете "проверять"/"фальсифицировать" что $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n x_i$?

SergeyGubanov в сообщении #1735063 писал(а):

Ну, давайте сделаем как раньше, введём $S_{L}$ и $S_{R}$:

Вообще Вы как-то странно вводите $S_L$, ни разу не пишете, что это, собственно.

[warlock66613]

SergeyGubanov, вы не там ищите проблему. $S_L$ не может не равняться $S_R$, поскольку это два имени одного и того же объекта. А вот то, что $0 + 0 + \ldots$ можно преобразовать в $0 + (0 + 0 + \ldots)$, оторвав первый член от суммы, совсем не очевидно и запросто может оказаться неверным.

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #1735065 писал(а):

А вот то, что $0 + 0 + \ldots$ можно преобразовать в $0 + (0 + 0 + \ldots)$, оторвав первый член от суммы, совсем не очевидно и запросто может оказаться неверным.

Не, к такому крутому повороту жизни я не готов, я слишком толстый для такой кроличьей норы.

[warlock66613]

SergeyGubanov, тут надо понять вот что. Конечные суммы -- это, как написал mihaild, $\sum\limits_{i=1}^n x_i$. А бесконечные суммы -- это $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i$. И так как бесконечного натурального числа не существует, то ни при каком значении $n$ первая запись не превращается во вторую. Поэтому никакие свойства конечных сумм не распространяются автоматически на бесконечные суммы. Ассоциативность, коммутативность и другие -- всё надо передоказывать для бесконечных сумм. Но для этого надо сначала определить смысл записи со значком $\infty$. А это можно делать по-разному. И в зависимости от определения получатся разные свойства и, вообще говоря, разные значения суммы. При одном определении ряд $1 + 1 + \ldots$ будет иметь конечную сумму, при другом нет. Но и ряд $1 + 1/2 + 1/4 + \ldots$ точно так же при одном определении будет иметь конечную сумму, а при другом нет (например, в алгебре применяется суммирование бесконечных рядов, которое определено только для рядов с конечным числом ненулевых членов).