Что такое обобщённая сумма ряда?

[B3LYP]

Если я правильно понимаю, обобщённая сумма ряда это нечто, что можно для удобства называть суммой, но “насколько это на самом деле сумма” – очень сложный философский вопрос. Пока у меня конкретные вопросы по этой сумме. Правильно ли я понимаю, что разные методы вычисления этой суммы - Чезаро, Абеля, Бореля и Дирихле – все дают одинаковый результат, просто в каждом конкретном примере какой-то метод может быть применим, а какой-то нет, а для других примеров может быть наоборот?
Просмотрел видео про обобщённую сумму ряда на канале с хорошим названием “Шиз”:

https://youtu.be/HoWsnIVKEkA

Вот такой сейчас вопрос, чтобы привести знания в порядок: какими методами из перечисленных выше можно получать следующие варианты обобщённой суммы ряда:

$1-1+1-1+1-1+1-1…=1/2$

$1+2+4+8+16+32…=-1$

$1+2+3+4+5+6+7…=-1/12$
Правильно ли я понимаю, что общая идея в том, чтобы как бы приравнять к нулю бесконечность в выкладках?
И ещё вопрос – как с этим связаны пи-адические числа.

[mihaild]

Начните с выписывания определений, и попробуйте подставить эти ряды в них. Что получится, или в какой момент возникают проблемы?

B3LYP в сообщении #1734928 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что общая идея в том, чтобы как бы приравнять к нулю бесконечность в выкладках?

Нет. Общая идея - это рассмотреть какой-то функционал на последовательностях, который для сходящихся рядов равен сумме, обладает какими-то свойствами, которые естественно ожидать от суммы (ну например инвариантность относительно локальных перестановок), и при этом определен не только на сходящихся рядах.

И да, тема, кажется, для ПРР(М), а не СП.

[SergeyGubanov]

B3LYP в сообщении #1734928 писал(а):

$1-1+1-1+1-1+1-1…=1/2$

$1+2+4+8+16+32…=-1$

$1+2+3+4+5+6+7…=-1/12$

Это галлюцинации.

SergeyGubanov в сообщении #1730017 писал(а):

Но существуют вещи опаснее ошибок, например, когда ответ в принципе не известен, оказывается очень легко придумать галлюциногенную пургу ("not even wrong").

-- добавлено через 1 минуту --

mihaild в сообщении #1734929 писал(а):

И да, тема, кажется, для ПРР(М), а не СП.

Галлюцинации в ПРР(М)?

[пианист]

B3LYP в сообщении #1734928 писал(а):

как с этим связаны пи-адические числа.

Второй ряд сходится для 2-адических чисел.

[mihaild]

SergeyGubanov в сообщении #1734933 писал(а):

Это галлюцинации

Что именно? Использование обозначения $x_1 + x_2 + ... = y$ для суммы по Чезаро? Это довольно распространенный подход.

SergeyGubanov в сообщении #1734933 писал(а):

Галлюцинации в ПРР(М)?

Вопросы по методам суммирования расходящихся рядов - в ПРР(М), конечно, куда же еще?
Напишите, пожалуйста, подробнее, что именно Вам не нравится.

[SergeyGubanov]

Это not even wrong.

[mihaild]

SergeyGubanov в сообщении #1734936 писал(а):

Это not even wrong.

Вы какие-то другие слова написать можете? Что конкретно Вам не нравится?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Беседы на околонаучные темы» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: по назначению.

[Someone]

B3LYP в сообщении #1734928 писал(а):

Вот такой сейчас вопрос, чтобы привести знания в порядок: какими методами из перечисленных выше можно получать следующие варианты обобщённой суммы ряда:

$1-1+1-1+1-1+1-1…=1/2$

$1+2+4+8+16+32…=-1$

$1+2+3+4+5+6+7…=-1/12$
Правильно ли я понимаю, что общая идея в том, чтобы как бы приравнять к нулю бесконечность в выкладках?

Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II. Глава одиннадцатая. § 9. Суммирование расходящихся рядов.

[B3LYP]

пианист в сообщении #1734934 писал(а):

Второй ряд сходится для 2-адических чисел.

Это вроде понятно, и как я понял это следует из собственно определения адических чисел. Не разобрался пока, в чём принципиальная необходимость использовать простое число в основании вместо 10; возможно все ключевые идеи можно сформулировать и на 10-адических числах?
Возьмём число $...99999999999=-1$. Это собственно определение. И его можно выразить в виде ряда:

$9+90+900+9000+90000...=-1$

Правильно ли я понимаю, что в этом выражении все числа - адические, то есть и 9 и 90 и так далее, и -1, тоже можно считать адическими числами? Тогда получается, что может быть просто адические числа - это такие числа, для которых сумма расходящегося ряда равна обобщённой сумме ряда? Но ведь "обычная" сумма сходящихся рядов, если я правильно понимаю, это тоже разновидность обобщённой суммы? И тогда может быть, мы можем сказать что обычные числа с которыми мы имеем дело - это собственно частный случай адических чисел?

[mihaild]

B3LYP в сообщении #1734946 писал(а):

Не разобрался пока, в чём принципиальная необходимость использовать простое число в основании вместо 10

Чтобы не было делителей нуля.

B3LYP в сообщении #1734946 писал(а):

Это собственно определение

Совершенно не обязательно. Можно определить $-1$ и как решение уравнения $x+1=0$.

B3LYP в сообщении #1734946 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что в этом выражении все числа - адические

Это к Вам вопрос, Вы же выражение написали.

B3LYP в сообщении #1734946 писал(а):

Тогда получается, что может быть просто адические числа - это такие числа, для которых сумма расходящегося ряда равна обобщённой сумме ряда?

Нет, $p$-адические числа - это такое специальное кольцо (иногда поле).
С некоторыми методами обобщенного суммирования связь есть, но именно связь, в целом темы разные.

B3LYP в сообщении #1734946 писал(а):

И тогда может быть, мы можем сказать что обычные числа с которыми мы имеем дело - это собственно частный случай адических чисел?

Нет, нельзя. Это разные поля.
(я кстати не уверен, что слово "адические" где-то используется, всегда видел только $p$-адические)

[пианист]

B3LYP в сообщении #1734946 писал(а):

мы можем сказать что обычные числа с которыми мы имеем дело - это собственно частный случай адических чисел?

"Обычные" числа в комплекте с p-адическими это в некотором разумном смысле все, что можно получить из поля рациональных чисел, желая сделать его полным. Теорема Островского.

[dgwuqtj]

mihaild в сообщении #1734948 писал(а):

я кстати не уверен, что слово "адические" где-то используется

Есть термины "адическое пополнение" и "адическая топология". Конечно, к обобщённому суммированию ни они, ни $p$-адические числа не относятся.

[SergeyGubanov]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1734938 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1734936 писал(а):

Это not even wrong.

Вы какие-то другие слова написать можете? Что конкретно Вам не нравится?

Я по существу это не рассматриваю. Оно не фальсифицируемо по Попперу. Не наука, а игра в науку. Так математики шутят эксплуатируя undefined behavior. Я не осуждаю конечно, просто ума не приложу какое отношение эти фокусы имеют к ПРР(М). Кто-то эти равенства всерьёз что ли воспринимает?

[warlock66613]

(Оффтоп)

SergeyGubanov, а $\omega + 1 \ne 1 + \omega$ фальсифицируемо по Попперу?