ММИ

[realeugene]

Б. Условные средние.

Продолжу математические игры с целью прояснить смысл работы Эверетта. Начало тут:

realeugene в сообщении #1728016 писал(а):

А. Напоминание про (ортогональные) проекторы как квантовые операторы.

Подчеркну: всё, что я опишу в этом пункте - это не "интерпретация", а всё ещё просто математика в рамках базовых постулатов квантов, которые все (как я надеюсь, без базы квантов это всё точно будет непонятно) изучали в институте. Под "измерением" тут понимается обычное коллапсирующее измерение, результат которого рассчитывается средствами копенгагенской интерпретации.

1. Пара проекторов.

Пусть у нас есть произвольная квантовая система, состоящая из двух подсистем, условно называемых тестовой и наблюдателем: $\mathbf S = \mathbf S_t + \mathbf S_o$. Подчеркну: названия абсолютно условны, и на этом шаге подсистемы абсолютно произвольны. В будущем эти две подсистемы будут рассматриваться разным образом.

Выберем в каждой подсистеме какой-то свой произвольный проектор: $P_t$ и $P_o$. Эти проекторы могут быть расширены (см. А.13) на всю систему $\mathbf S$: $P^e_t = P_t \otimes I_o$, $P^e_o = I_t \otimes P_o$.

Заметим, что эти расширенные проекторы коммутируют. Сформируем следующий проектор, действующий на всю систему $\mathbf S$ сразу $P=P^e_t P^e_o = \left(P_t \otimes I_o\right)\left(I_t \otimes P_o\right)$. Порядок в произведении не важен, но мы проектор наблюдателя поставим первым.

Пусть $\Psi$ - (некоторое возможно спутанное) чистое состояние системы $\mathbf S$. Его можно разложить в прямую сумму $\Psi=\Psi_++\Psi_-$, где $\Psi_+=\left(I_t\otimes P_o\right)$, $\Psi_+=\left(I_t\otimes P^{\perp}_o\right)$. Тогда среднее значение проектора $P$ будет $\langle P\rangle=\left\langle\Psi\middle|P\middle|\Psi\right\rangle = \left\langle\Psi_+\middle|P_t\otimes I_o\middle|\Psi_+\right\rangle$.

Таким образом, если у нас есть произведение проекторов, каждый из которых воздействует на свою подсистему, чтобы посчитать его среднее, мы можем сначала отфильтровать состояние при помощи проектора наблюдателя, и потом при помощи отфильтрованного состояния посчитать среднее проектора $P_t$, действующего только на тестовую подсистему. Ортогональное дополнение отфильтрованного состояния не влияет на среднее ровно никак - оно может быть произвольным, измеряя $P$ мы не можем получить никакой информации про него.

По построению проекторы $P$ и $P^e_o$ коммутируют. Они измеримы одновременно. Условное среднее проектора $P$ при условии, что измерение $P^e_o$ выдало $1$ (или что равносильно, что связанное с $P_o$ условие выполнено) будет $\left\langle P\right\rangle_{P_o}=\frac {\left\langle P\right\rangle}{\left\langle P^e_o\right\rangle}$.

Подчеркну ещё раз: разложение на подсистемы и проекторы в них выбрано совершенно произвольно. Важно только, что каждый проектор действует только на свою подсистему, и не действует на другую.

2. Произвольная наблюдаемая.

Пусть $\Lambda$ - произвольная наблюдаемая над тестовой подсистемой, не действующая на подсистему наблюдателя, $P_o$ - как и ранее произвольный проектор в подсистеме наблюдателя. Разложив тестовую наблюдаемую в ряд по проекторам её собственных состояний немедленно получаем, что как и для одного проектора условное среднее значение наблюдаемой при условии проектора $P_o$ вычисляется только по $\Psi_+$ и оно не зависит от $\Psi_-$. Измеряя только это условное среднее ничего нельзя узнать про ортогональное дополнение к $\Psi_+$ в полном состоянии системы.

3. Пусть $\Psi_0$ - начальное состояние $\Psi=U\Psi_0$, где $U$ - унитарный оператор. Пусть $U=U_t\otimes U_o$ - подсистемы на этом промежутке времени эволюционировали независимо. Пусть $U_o$ коммутирует с $P_o$ - на данном промежутке времени условие наблюдения сохранялось. Тогда условное среднее $\Lambda$ можно посчитать в начальный момент времени как условное среднее $U^\dagger\Lambda U$, и опять оно зависит только от проекции $\Psi_0$ проектором $P^e_o$, и не зависит от ортогональной проекции. То есть, пока исполняются эти условия независимости подсистем и сохранения условия $P_o$, мы из измерения какой угодно наблюдаемой ничего не можем узнать про вторую часть $\Psi$. Она никак не влияет на эти измерения, обусловленные выбранным проектором наблюдателя.

Изложение через проекторы - моё. Эверетт вывел всё это через разложения по базису и относительные волновые функции в математическом разделе. Подчеркну: это всё применимо к произвольному разложению на подсистемы, в одной из которых выбирается произвольное (сохраняющееся если есть промежуток времени) условие, а во второй рассматриваются разнообразные наблюдаемые общего вида. Для любого проектора и любых двух подсистем.

Если второе слагаемое волновой функции никак не влияет на любые измеряемые нами условные средние, естественно сказать, что состояние системы состоит из двух альтернатив, которые не влияют друг на друга никак.

-- добавлено через 9 минут --

warlock66613 в сообщении #1728121 писал(а):

Возникает вопрос, что такое "крайне редко". Но в общем правильной формулировки принципа Курно никто не знает.

Можно сказать альтернативно: мы живём в типичном мире, обусловленном тем, что мы в нём живём.

[warlock66613]

EUgeneUS в сообщении #1728128 писал(а):

А можно с этого места подробнее?

Здесь наверное не совсем подходящее место -- тема-то про классическую теорию Эверетта. Но один пост думаю не повредит, а там видно будет.

1. Современная ММИ начинается с того, что демонстрируется что из-за декогеренции универсальная волновая функция описывает коллекцию невзаимодействующих миров. Это делается без всякого введения наблюдателей и других ad-hoc понятий. То есть помимо прочего, эти миры существуют объективно. Правда, миры эти только приближённо невзаимодействующие, но это обычная ситуация в физике и не может рассматриваться как проблема. Но по этому аспекту можно заметить, что они отличаются от миров или веток, о которых вслед за Эвереттом говорит realeugene и которых на самом деле не существует.

2. Показывается, что миры делятся по мере течения времени и что миры квазиклассические.

3. По поводу вероятности есть несколько стратегий, из которых я бы отметил две: подход Вайдмана и подход Уоллеса. Подход Вайдмана отвечает на вопрос "вероятность чего?" так: вероятность самолокализации. То есть сразу после деления мира я могу задать вопрос "где я? я в мире, где результат измерения оказался 0 или в мире, где результат измерения 1?" и поскольку есть некий факт и есть незнание этого факта, то можно говорить о вероятности этого факта. Правда дальше дело не идёт: правило Борна вывести не получается, но по крайней мере имеется осмысленный разговор о вероятности. Подход Уоллеса замечает, что есть кроме других вероятностей вероятности в теории принятия решений и что их можно примерить к мультиверсу. Доказывается, что рациональный агент в мультиверсе должен действовать так, как будто он живёт в единственном мире, где работает правило Борна, хотя это совершенно не так. Можно заметить, что в обоих подходах всё-таки вероятности не совсем те, о которых говорит "копенгагенская интерпретация", так что в общем тут не всё гладко. Но всё-таки это кое-что.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1728130 писал(а):

о по этому аспекту можно заметить, что они отличаются от миров или веток, о которых вслед за Эвереттом говорит realeugene и которых на самом деле не существует.

В смысле "не существует"? Там чистая математика. В математике ошибки есть?

Иными словами: для произвольного условия $c$, измеряя всевозможные $\Lambda_i\otimes P_{[c]}$ (для произвольного множества индексов $i$) ничего нельзя узнать про $\Lambda_i\otimes P_{[\neg c]}$. Изоляция этих миров абсолютная без декогеренции и всего остального.

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1728131 писал(а):

В математике ошибки есть?

Нет, в математике нет.

[EUgeneUS]

warlock66613
Спасибо, вопросов стало больше.
Видимо, нужно заводить отдельную тему

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1728130 писал(а):

Правда, миры эти только приближённо невзаимодействующие

По Эверетту миры не взаимодействуют строго. Это просто различные подпространства гильбертова пространства. Если миры не взаимодействуют приближённо - они не выглядят как миры ММИ.

Декогеренция для разделения на миры не нужна. В определённом смысле не взаимодействуют любые миры, разделяемые по произвольному проектору в подсистеме.

Да и рассуждения про "существуют объективно" выглядит как порождение философов. Существуют ли ненаблюдаемые альтернативные миры или не существуют зависит от физической модели. Про альтернативный мир где нас нет узнать всё равно ничего нельзя.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1728175 писал(а):

А можно на примере? А не понимаю как разложить общее состояние. Возьмём систему из двух кубитов. Каждый из них -- это подсистема. Возьмём проекторы на состояние $0$. Возьмём состояние $|00\rangle+|11\rangle$. И как его раскладывать? Я не понимаю.

Пожалуйста.

Нужно ещё произвольно назначить одну из подсистем тестовой, а вторую - наблюдателем. Пусть первый кубит будет тестовой подсистемой, а второй - наблюдателем. Тогда $\left|\Psi\right\rangle=\left|0\right\rangle_t\otimes\left|0\right\rangle_o\oplus\left|1\right\rangle_t\otimes\left|1\right\rangle_o$.
Вы выбрали проектор в подсистеме наблюдателя $P_o=\left|0\middle\rangle_o\middle\langle 0\right|_o$. Его расширенный проектор $P_o^e=I_t\otimes\left(\left|0\middle\rangle_o\middle\langle 0\right|_o\right)$ разделяет $\Psi$ на два ортогональных слагаемых: $\Psi_+=|00\rangle$ и $\Psi_-=|11\rangle$. Теперь для всех возможных наблюдаемых над тестовым кубитом, их условные средние при условии, что состояние наблюдателя соответствует условию выбранного вами проектора (они коммутируют и измеряются одновременно), зависят только от $\Psi_+$ и не зависят от $\Psi_-$. Для произвольного $\Psi$, а не только для выбранного вами.

[warlock66613]

Ясно. Итак, если подсистемы независимы, то они независимы. Думаю можно двигаться дальше.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1728185 писал(а):

Итак, если подсистемы независимы, то они независимы.

Не путайте сложение с умножением.

[eslitak]

warlock66613 в сообщении #1728130 писал(а):

тема-то про классическую теорию Эверетта

Как на четверть головы гуманитарий, я бы рекомендовал - поаккуратнее с терминологией! За словом "классическая" в физике застолбился определённый смысл, не имеющий к теории Эверетта ни какого отношения

[realeugene]

realeugene в сообщении #1728181 писал(а):

Вы выбрали проектор в подсистеме наблюдателя $P_o=\left|0\middle\rangle_o\middle\langle 0\right|_o$. Его расширенный проектор $P_o^e=I_t\otimes\left(\left|0\middle\rangle_o\middle\langle 0\right|_o\right)$ разделяет $\Psi$ на два ортогональных слагаемых: $\Psi_+=|00\rangle$ и $\Psi_-=|11\rangle$. Теперь для всех возможных наблюдаемых над тестовым кубитом, их условные средние при условии, что состояние наблюдателя соответствует условию выбранного вами проектора (они коммутируют и измеряются одновременно), зависят только от $\Psi_+$ и не зависят от $\Psi_-$. Для произвольного $\Psi$, а не только для выбранного вами.

В выбранном пространстве наблюдателя только с двумя состояниями все нетривиальные проекторы первого ранга. Но поучительно в качестве проектора взять единичный оператор: $P_o = I_o$. Тогда $\Psi_+=\Psi$, и состояния подсистем не становятся независимыми. Но условные средние всех наблюдаемых в тестовом подпространстве при условии проектора наблюдателя всё равно определяются $\Psi_+$.

[realeugene]

B. Вероятностные пространства


Пусть $\Psi$ - нормированная волновая функция полной квантовой системы (для простоты будем считать что можем нормировать). Тогда на любом конечном множества попарно коммутирующих проекторов, включающем идентичный и нулевой проекторы, можно формально задать вероятностное пространство с вероятностной мерой по правилу Борна. Для проектора $P$ определим вероятность $\langle P\rangle= \langle\Psi|P|\Psi\rangle$. Если проектору соответствует условие $c$, равносильно запишем его вероятность $\langle[c]\rangle$. Условную вероятность проектора $P$ при (коммутирующем с ним) условии $c$ будем записывать $\langle P\rangle_{[c]}$. Если проектор определён на подсистеме, рассматриваем соответствующий ему расширенный на всю систему проектор.

Пояснения следующие:

1. Философский смысл вероятностей мне безразличен. Если мы может задать сигма-алгебру с вероятностной мерой на ней - мы это называем вероятностью.

2. Все проекторы в выбранном множестве проекторов должны коммутировать. Произведение некоммутирующих проекторов само проектором не является, так что никакие следствия теорвера о вероятностях событий не валидны в случае если проекторы не коммутируют.

3. Вероятностная мера не выводится, а постулируется соответствующей правилу Борна и считается определённой экспериментально. Эверетт вроде бы её выводил, что ругают, так что проще постулировать.

4. Несмотря на то, что различные множества проекторов порождают разные вероятностные пространства, один и тот же проектор имеет в них численно равную вероятностную меру.

5. Для простоты я рассматриваю только конечные множества проекторов.

6. Вероятность проектора зависит от волновой функции (состояния квантовой системы).

7. $\langle I\rangle = 1$

8. Так как в логическом выражении $c$ все логические величины должны коммутировать, вероятность однозначно определена для любого корректного логического выражения $[c]$ и сама по себе от выбранного множества проекторов не зависит.

9. $\langle[c]\rangle = \langle[c \land r]\rangle + \langle[c \land \neg r]\rangle$, где $P_{[c]}$ и $P_{[r]}$ коммутируют.

[realeugene]

В. (продолжение) Проекторы как события


Все подмножества в сигма-алгебре любого вероятностного пространства являются событиями по определению. Так что любой проектор является событием при указании множества проекторов, на котором построено вероятностное пространство.

В частности, цепочки символов в памяти наблюдателя (об этом детально позже) являются событиями.

Эверетт рассматривал относительные волновые функции и связанные с ними результаты измерений по отношению к определённому квантовому состоянию наблюдателя, по крайней мере явно. Мне представляется это не нужным. Логические условия в состоянии классического по поведению наблюдателя кодируются целыми макроскопическими подпространствами. Тогда тепловой шум и другие неточности эволюции не смогут существенно их повредить, по крайней мере, быстро. $\Psi^+$ определяется проекцией состояния системы в целое подпространство, соответствующее условию наблюдателя.

[realeugene]

Г. Измерения и наблюдения

Ранее было показано, что если полную квантовую систему произвольно разделить на тестовую подсистему и подсистему наблюдателя с произвольно выбранным проектором в подсистеме наблюдателя, то все условные средние всех наблюдаемых в тестовой подсистеме при условии выбранного проектора зависят только от проекции полной волновой функции системы этим проектором и не зависят от ортогональной проекции. Это и есть разделение на два независимых мира, которое заведомо не единственно и даже не требует классичности наблюдателя. Цель этого пункта продемонстрировать, как подобное расщепление на миры может приводить к наблюдаемому коллапсу волновой функции в копенгагенской интерпретации при полном выполнении принципа суперпозиции состояний для всего мира и унитарности эволюции волновой функции мира.

Эверетт сначала рассматривает просто измерение. Мне это кажется не совсем корректным, так как любое измерение производится при каких-то предусловиях. Во-первых, любой измерительный аппарат как-то устроен. Во-вторых, состояние любой тестируемой квантовой системы сначала как-то предварительно приготавливают в соответствии с описанием установки, проводя над ней предварительные измерения, например, пропуская поток электронов через диафрагму. В результате состояние наблюдателя и тестовой системы спутано уже перед началом измерения.

В отличие от Эверетта, из всех возможных наблюдаемых будем рассматривать только измерение некоторого проектора над тестовой подсистемой $P_t$. У этого измерения бинарный результат 0 или 1. На самом деле, любые измерения любых наблюдаемых человеком можно свести к (коммутирующей) конечной последовательности бинарных измерений при помощи проекторов. Человек просто не в состоянии считывать или записывать действительные числа, а целые числа представимы конечной последовательностью бит.

У наблюдателя кроме конструкции есть память измерений. Насколько она нужна - отдельный вопрос, но с явной памятью проще описывать измерения. Пусть памятью будет однодорожечная перфолента. Чтобы записать очередной бит информации, наблюдатель пробивает или не пробивает на ленте отверстие и выдвигает перфоленту из аппарата вперёд на 1 см. Таким образом, память измерений разбита на ячейки, каждая из которых описывается двумя условиями - проекторами: выдвинута ли ячейка перфоленты из аппарата и пробита ли в ячейке отверстие?

При этом, наблюдатель как квантовая подсистема может находиться в суперпозиции различных состояний памяти измерений. И не только: в суперпозиции состояния мира могут быть ещё состояния, когда наблюдатель утром сломался, как и огромное множество других состояний, когда он проводить какие-либо измерения не может. Важно, что память измерений макроскопична, стабильна (обратно лента в аппарат не заходит) и её можно считывать в произвольном порядке: проекторы условий пробито отверстие в разных ячейках или нет коммутируют друг с другом. Фактически, классическая логика попарно коммутирующих утверждений о состоянии наблюдателя - это всё, что есть в системе классического.

Итак, пусть состояние наблюдателя перед измерением выделено некоторым логическим условием $[s]$. Наблюдатель проводит измерение проектора над тестовой системой $P_t$, получая результат измерения $[r]$. После этого выделенное состояние наблюдателя переходит в $[s\land r]$. Что при этом происходит с другими состояниями наблюдателя в ортогональном пространстве $[\neg s]$ нам совершенно не интересно. Возможно, в некоторых из них наблюдатель получил тот же результат $r$, в других результат измерения отличался, в третьих он был сломан и ничего не измерял, в четвёртых он вообще не существовал, так как на Земле не зародилась жизнь и не родились люди, сконструировавшие механизм этого конкретного измерения. Альтернативные предусловия не влияют на результат измерения при условии $[s]$.

Пусть у нас состояние мира $\Psi$. Его можно разложить в прямую сумму ортогональных состояний $\Psi=\Psi_{\mathbf T}\oplus\Psi_{\mathbf F}\oplus\Psi_g$, где $\Psi_{\mathbf T}=(P_t\otimes P_{[s]})\Psi$, $\Psi_{\mathbf F}=(P_t^\perp\otimes P_{[s]})\Psi$ и мусорная не интересная нам часть $\Psi_g=(I_t\otimes P_{[\neg s]})\Psi$. Наблюдатель сконструирован таким образом, что в состоянии $\Psi_{\mathbf T}$ результат измерения $r=\mathbf T$, а в состоянии $\Psi_{\mathbf F}$ результат измерения, соответственно, $r=\mathbf F$. Измерение не обязательно неразрушающее, но если требуется повторяемость как в копенгагенской интерпретации с коллапсом в собственное подпространство наблюдаемой - оно должно быть неразрушающим, то есть в ходе измерения состояние тестовой подсистемы не изменяется, но оно спутывается с состоянием наблюдателя. То, что с $[r]$ правильно спутывается именно с $P_t$, определяется конструкцией измерительного прибора, предназначенного для измерения именно $P_t$.

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1728271 писал(а):

Что при этом происходит с другими состояниями наблюдателя в ортогональном пространстве $[\neg s]$ нам совершенно не интересно.

А должно быть интересно, так как эти состояния тоже могут переходить в $[s\land r]$. Если конечно под этим понимать актуальное состояние наблюдателя, а не то, что с ним происходило.