Замедление времени в свободном падении

[Cos(x-pi/2)]

Наверное можно вот как сформулировать задачу на основе вопроса ТС из его стартового сообщения и с учётом предложения SergeyGubanov рассматривать только чисто радиальное движение падающих часов и улетающих из них назад световых сигналов:

Часы "A" неподвижны относительно массивного тела, являющегося сферически симметричным источником гравитации, и достаточно удалены от него (находятся "на бесконечности"), так что можно принять гравитационный потенциал в точке их расположения за ноль.

Часы "B" радиально летят на тело и пролетают рядом с неподвижными часами "С", которые покоятся в точке с шварцшильдовской радиальной координатой $r>r_g$ (где $r_g$ это радиус Шварцшильда). В окрестности этой же точки определяется собственная длина бесконечно малого радиального отрезка, который летящие часы "В" проходят за измеряемый часами "С" интервал их собственного времени. Мгновенная скорость $v$ часов "В" пусть определяется как отношение указанных собственных длины и времени, т.е. это скорость относительно покоящейся системы отсчёта с часами "С". В задаче считаю эту скорость заданной, притом - в единицах скорости света (т.е. полагаю скорость света равной единице).

Найти: как интервал времени $\Delta t_a$ по часам "А" между прибытием сигналов в точку расположения этих часов "А" связан с бесконечно малым интервалом $\Delta t_b$ по часам "B" между отправлением сигналов этими движущимися часами "В", когда они пролетали рядом с часами "С".

Вычисление с использованием метрики Шварцшильда у меня дало такой ответ (если нигде не ошибся):

$$\Delta t_a = \Delta t_b \,\frac{1}{\sqrt{1-r_g/r}}\,\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}$$

[realeugene]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1725012 писал(а):

Вычисление с использованием метрики Шварцшильда у меня дало такой ответ (если нигде не ошибся):

$$\Delta t_a = \Delta t_b \,\frac{1}{\sqrt{1-r_g/r}}\,\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}$$

Правдоподобно: сначала переходим к наблюдателю "C": это просто релятивистский эффект Доплера в его ИСО, локально можно пользоваться СТО; затем учитываем гравитационное красное спещение при подъёме волны на бесконечность к наблюдателю "A": система стационарна и можно говорить про замедление времени. ТС ещё писал про свободное падение тела. Можно тоже какое-нибудь известное решение подставить для кинематики падения в Шварцшильде.

Отдельный вопрос, как будет зависеть от времени принимаемая наблюдателем "A" мощность электромагнитной волны? У меня похожая задачка была давным-давно в студенческие годы на экзамене.

[eslitak]

Geen в сообщении #1725005 писал(а):

sergey zhukov в сообщении #1724986 писал(а):

Поэтому да, красное смещение сигнала от часов В в точке нахождения А будет выражаться этой формулой

Не употребляйте, пожалуйста, таких выражений - Вы решили другую задачу, а спрашивающий это проигнорировал.

Если это была попытка в телепатию, то она не удалась.
Спрашивающему лучше знать, о чём он спрашивал и насколько ответ адекватен задаче. Так вот, я получил ответ на вопрос, который меня интересовал.

-- добавлено через 9 минут --

sergey zhukov в сообщении #1724992 писал(а):

Здесь система отсчета свободно падающая (синие точки - радиально падающая координата), зеленое тело падает из бесконечности и ролик начинается, когда оно пролетает мимо красного (неподвижного) тела. Оба обмениваются импульсами света. Внизу показано, кто сколько импульсов и когда получит.

В этой системе координат падающий зеленый неподвижен, а красный - движется (поэтому его импульсы более редкие). Световые импульсы всегда имеют постоянную скорость относительно синих меток (относительно падающей системы координат).

Не понял, так кто всё-таки неподвижен - зелёный или красный? На ролике красный зафиксирован.

[SergeyGubanov]

eslitak в сообщении #1724946 писал(а):

$\Delta t_b = \Delta t_a\sqrt{(1 - \frac{2\varphi}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}$

Cos(x-pi/2) в сообщении #1725012 писал(а):

$$\Delta t_a = \Delta t_b \,\frac{1}{\sqrt{1-r_g/r}}\,\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}$$

Тема становится интересной.

Подолью масла в огонь.

В координатах Пэнлеве

$$ d\tau^2 = dt^2 - \left(dr + \sqrt{\frac{r_g}{r}} \, dt \right)^2, $$

координатное время Пэнлеве $t$ является собственным временем как для бесконечно удалённого ($r=\infty$) неподвижного ($\frac{dr}{dt} = 0$) наблюдателя "A":

$$ d\tau_{A}^2 = dt^2, $$

так и для наблюдателя "B" свободно падающего радиально из бесконечности с нулевой начальной скоростью (так как он падает в точности по формуле $\frac{dr}{dt} = - \sqrt{\frac{r_g}{r}}$):

$$ d\tau_{B}^2 = dt^2. $$

Поэтому, на трёхмерном сечении Пэнлеве $t = \operatorname{const}$ получается

$$ d \tau_A = d \tau_B. $$

Это всего лишь говорит о том, в пространстве событий чёрной дыры существуют такие трёхмерные пространственно подобные гиперповерхности $t = \operatorname{const}$ на которых дифференциалы собственных времён всех свободно падающих из бесконечности с нулевой начальной скоростью наблюдателей (включая бесконечно удалённых наблюдателей) равны между собой и равны этому самому $dt$.

А для решения задачи ТС надо решать дифференциальное уравнение распространения световых сигналов от "B" к "A" с соответствующими начальными условиями, эти сигналы будут запаздывать тем сильнее чем ближе "B" подлетает к $r_g$.

[sergey zhukov]

eslitak в сообщении #1725019 писал(а):

Не понял, так кто всё-таки неподвижен - зелёный или красный?

Так подвижность/неподвижнось определяется относительно системы координат. Если мы используем координаты Шварцшильда, то неподвижен тот, кто "завис" над ЧД, а движтся тот, кто в нее падает. Если же мы берем падающую систему координат, то все наоборот. Здесь на картинке импульсы света красного излучаются реже, чем зеленого, поскольку в этой СК зеленый неподвижен, а красный движется. Подвижность/неподвижность определяется локально относительно синих точек (радиальная координата).

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1725030 писал(а):

Тема становится интересной.

ТС банально забыл про классический эффект Доплера. Точнее, разделил изменение частоты на как бы классический эффект Доплера и замедление времени.

SergeyGubanov в сообщении #1725030 писал(а):

А для решения задачи ТС надо решать дифференциальное уравнение

Для такой задачи звучит слишком пафосно.

[chislo_avogadro]

(Оффтоп)

eslitak

Нехорошо, конечно, прежде времени "заглядывать в ответ", но посмотрите, если интересно, ответ ИИ на два последовательных вопроса.

Часы "A" неподвижны относительно массивного тела и достаточно удалены от него, так, чтобы можно было принять гравитационный потенциал в точке их расположения за ноль. Часы "B" свободно падают прямо на тело. Сколько времени пройдёт на часах "B", если по часам "А" прошла одна секунда (малый промежуток времени).

.......

Как я понимаю, этот расчёт сделан с точки зрения наблюдателя, покоящегося в точке "А". А можно ли сделать такой расчёт с точки зрения наблюдателя, падающего вместе с "В"?

.......

[SergeyGubanov]

realeugene в сообщении #1725037 писал(а):

Для такой задачи звучит слишком пафосно.

Да, там всё просто, прошу не пугаться.

Хотелось бы чтобы уравнение распространения света из "B" в "A" было выписано топик стартером.

[Cos(x-pi/2)]

SergeyGubanov в сообщении #1725044 писал(а):

Хотелось бы чтобы уравнение распространения света из "B" в "A" было выписано топик стартером.

Пока ТС, возможно, обдумывает уравнение, добавлю комментарии, не выписывая здесь полностью решение для обсуждаемого соотношения времён "А" и "В".

Не знаю, должно ли так и быть, но у меня вычисления с метрикой Пенлеве дали в итоге ту же самую формулу, что и с метрикой Шварцшильда (см. выше). Отличие только в том, что теперь там r это радиальная переменная системы координат Пенлеве, а не Шварцшильда.

И вот, что ещё хочется сказать:

Пока о чёрной дыре ТС не упоминает, можно для простоты ограничиваться картиной без ЧД. А именно: считаем, что значения r превышают не только гравитационный радиус источника тяготения, но и обычный радиус этого тела. Упомянутые метрики (Пенлеве, Шварцшильда) описывают гравитацию в пустоте снаружи этого тела; а метрика в его веществе нам не важна, раз часы и наблюдатели не забираются внутрь тела.

ТС в своей формуле задал скорость часов "В" и неявно задал их положение, через "гравитационный потенциал". Комментировать формулу ТС не стану (он не написал, как измеряется та скорость, и что такое "гравитационный потенциал", и его постановку вопроса уже справедливо критиковали). Но, думаю, стоит подчеркнуть, что не обязательно рассматривать именно свободное падение "В".

В задаче, для которой я привёл подробную формулировку и ответ (см. выше), для "В" задаётся мгновенное значение радиальной координаты r и абсолютная величина мгновенной скорости $0\le v<1$ относительно неподвижного наблюдателя "С" в точке r. Не играет роли, возникла ли эта скорость при свободном падении или в процессе полёта "В" на ракете с включённым двигателем.

О ходе решения. Уравнение для радиальной световой геодезической определяется равенством квадрата интервала нулю. Переменные разделяются, так что для времени распространения светового сигнала от точки r к "А" возникает интеграл по радиальной переменной от $r_1=r$ до $r_2\to\infty$ (с подынтегральным выражением, зависящим от выбранной метрики). Но этот интеграл можно не вычислять, так как нас интересует только промежуток времени между близкими сигналами. Он соответствует изменению нижнего предела интеграла на бесконечно малую величину $\Delta r$. И ещё к нему добавляется промежуток координатного времени, отвечающий продвижению "В" на $\Delta r$ между актами испускания сигналов. Координатную скорость "В" выражаем через v и r. Такой был план вычислений у меня; может быть, есть какой-то более простой или более правильный путь.

Получить выражение для v с метрикой Пенлеве оказалось хлопотнее, чем с метрикой Шварцшильда. Метрический тензор Пенлеве не диагонален, и поэтому разложение интервала "В" на временную и пространственную составляющие относительно "С" не такое очевидное, как с метрикой Шварцшильда.

[SergeyGubanov]

Cos(x-pi/2), у меня есть простая формула для случая когда "B" свободно падающий из бесконечности с нулевой начальной скоростью. Его трёхмерная скорость относительно неподвижной системы отсчёта равна $v = \sqrt{\frac{r_g}{r}}$. Если эту скорость $v$ подставить в Вашу формулу, то моя простая формула из неё не получается. То есть либо в Вашей формуле надо что-то подкрутить, либо в моей.

Возможно дело в определении того, что такое трёхмерная скорость $v$.

Репер $e^{(0)}$, $e^{(1)}$ свободно падающей из бесконечности с нулевой начальной скоростью системы отсчёта Пэнлеве связан с репером неподвижной системы отсчёта Шварцшильда $\bar{e}^{(0)}$, $\bar{e}^{(1)}$ Лоренцевским бустом с трёхмерной скоростью $v = \sqrt{\frac{r_g}{r}}$:

$$ \bar{e}^{(0)} = \frac{e^{(0)} - v \, e^{(1)}}{\sqrt{1 - v^2}}, \quad \bar{e}^{(1)} = \frac{- v \, e^{(0)} + e^{(0)}}{\sqrt{1 - v^2}}. $$

Метрика:

$$ d\tau^2 = dt^2 - \left(dr + \sqrt{\frac{r_g}{r}} \, dt \right)^2 = \left( e^{(0)} \right)^2 - \left( e^{(1)} \right)^2 = \left( \bar{e}^{(0)} \right)^2 - \left( \bar{e}^{(1)} \right)^2, $$

Репер Пэлеве (определён для $r > 0$):

$$ e^{(0)} = dt, \quad e^{(1)} = dr + \sqrt{\frac{r_g}{r}} \, dt, $$

Репер Шварцшильда (определён для $r > r_g$):

$$ \bar{e}^{(0)} = \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} \, dt - \sqrt{\frac{r_g}{r}} \frac{dr}{\sqrt{1 - \frac{r_g}{r}}}, \quad \bar{e}^{(1)} = \frac{dr}{\sqrt{1 - \frac{r_g}{r}}}. $$

Если есть какой-то вектор четырёхскорости $u^{\mu}$, то трёхмерную скорость относительно некоторой системы отсчёта $e^{(a)}$ можно получить вот так:

$$ v^{(1)} = \frac{ e^{(1)}_{\mu} u^{\mu} }{ e^{(0)}_{\mu} u^{\mu} }, \quad v^{(2)} = \frac{ e^{(2)}_{\mu} u^{\mu} }{ e^{(0)}_{\mu} u^{\mu} }, \quad v^{(3)} = \frac{ e^{(3)}_{\mu} u^{\mu} }{ e^{(0)}_{\mu} u^{\mu} }. $$

Совпадает ли это определение трёхмерной скорости с тем, которое использовали Вы?

[Cos(x-pi/2)]

SergeyGubanov, благодарю Вас за ответ.

К сожалению, я пока не понимаю, для чего и как воспользоваться указанным Вами бустом, который связывает два репера. И не владею техникой вычислений с 1-формами, поэтому не могу проверить своё вычисление скорости v по приведённым Вами формулам, в которых присутствуют свёртки 4-вектора скорости с 1-формами репера.

Попробую пояснить кратко, из каких соображений вычисляю v; они у меня примитивно элементарные. (И есть вот ещё какая проблема у меня. Впн-ом не пользуюсь, поэтому из-за всем известных блокировок, чёрт бы их побрал, бывает, очень долго не могу вообще зайти на этот форум. И по этой же причине теперь избегаю писать формулы в LaTex, так как насыщенные формулами-картинками страницы у меня перестают отправляться и загружаться.)

Рассмотрим 2-мерное пространство-время. Нумерация координат: $x^0=t,x^1=r.$ В общем случае метрику (квадрат интервала) с недиагональным метрическим тензором можно записать и обычным образом и вот так:

$$(ds)^2=\left(dt+dr\frac{g_{10}}{g_{00}}\right)^2g_{00}\,+\,(dr)^2\left(g_{11}-\frac{(g_{10})^2}{g_{00}}\right)$$

Когда квадрат интервала выступает в роли собственного времени "В", т.е. в роли $(d\tau_b)^2,$ то первое слагаемое (оно положительное) интерпретирую как $(dt_c)^2,$ а второе слагаемое (оно отрицательное) как $-(dl_c)^2.$ Т.е. это квадраты промежутков времени и длины относительно неподвижного наблюдателя "С", локально соответствующие участку на мировой линии "В" с собственным временем $d\tau_b.$ Такое разложение метрики на временное и пространственное слагаемые я умею обосновывать (так мне думается) построением локальных ортогональных базисных векторов (но про это сейчас не буду писать).

Обозначу для краткости как $x=dr/dt$ координатную скорость "В" (так как движение "В" чисто радиальное, то нет других компонент координатной 3-мерной скорости). При этом считаю, что мировая линия "В" задана некоей функцией r(t).

Тогда по определению пусть:

$$v^2=\frac{(dl_c)^2}{(dt_c)^2}=x^2\frac{(g_{10})^2-g_{11}g_{00}}{(g_{00}+xg_{10})^2}$$

При извлечении квадратного корня выбираю знак плюс или минус так, чтобы параметр v получился не отрицательным; т.е. учитываю, что x<0 при движении "В" к источнику тяготения.

Таким определением $v^2$ гарантируется выполнение стандартного локального лоренцева соотношения: $d\tau_b=dt_c\,\sqrt{1-v^2}.$

При этом считаю условием неподвижности наблюдателя "С" постоянство его радиальной координаты: r=const. В рассматриваемой задаче это не вызывает сомнений, если выбраны координаты Шварцшильда (тогда $g_{10}=0).$ Предполагаю, что и в координатах Пенлеве неподвижность "С" относительно источника тяготения означает r=const (или это у меня ошибка?).

Конкретно, в примере с координатами Пенлеве, если подставить явные выражения компонент метрического тензора Пенлеве, то получается вот такое соотношение, связывающее v с x<0:

$$v=-\frac{x}{g_{00}+xg_{10}}=-\frac{x}{1-r_g/r-x\sqrt{r_g/r}}$$

В частности, если при свободном падении $x=-\sqrt{r_g/r},$ то получается $v=\sqrt{r_g/r}.$

[SergeyGubanov]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1725232 писал(а):

$$v^2=\frac{(dl_c)^2}{(dt_c)^2}=\left(\frac{dx^1}{dx^0}\right)^2 \frac{(g_{10})^2-g_{11}g_{00}}{\left( g_{00}+g_{10} \frac{dx^1}{dx^0} \right)^2}$$

В правой части этой формулы есть метрика и скорость пробного тела, но отсутствует скорость системы отсчёта относительно которой мы хотим вычислить эту самую трёхмерную скорость. А ещё есть зависимость физической величины от системы координат.

-- добавлено через 42 минуты --

Физически измеримые хронометром и линейкой элементы времени и длины в системе отсчёта $e^{(a)}$:

$$ \delta \tau = e^{(0)}_{\nu} \delta x^{\nu}, $$

$$ \delta \ell^{(1)} = e^{(1)}_{\mu} \delta x^{\mu}. $$

Они зависят от системы отсчёта $e^{(a)}$, но не зависят от системы координат $x^{\mu}$. Физические величины никогда не зависят от системы координат.

Физически измеримая хронометром и линейкой скорость пробного тела:

$$ v^{(1)} = \frac{\delta \ell^{(1)} }{\delta \tau} = \frac{ e^{(1)}_{\mu} \delta x^{\mu} }{ e^{(0)}_{\nu} \delta x^{\nu} } = \frac{ e^{(1)}_{\mu} \frac{d x^{\mu}}{ds} \delta s}{ e^{(0)}_{\nu} \frac{d x^{\nu}}{ds} \delta s } = \frac{ e^{(1)}_{\mu} \frac{d x^{\mu}}{ds} }{ e^{(0)}_{\nu} \frac{d x^{\nu}}{ds} }. $$

Она зависит от системы отсчёта $e^{(a)}$, от скорости пробного тела $\frac{d x^{\mu}}{ds}$, ещё она неявно зависит от метрики (так как $g_{\mu \nu} = e^{(0)}_{\mu} e^{(0)}_{\nu} - e^{(1)}_{\mu} e^{(1)}_{\nu}$ и $g_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{ds} \frac{dx^{\nu}}{ds} = 1$), но она не зависит от системы координат $x^{\mu}$.

[Cos(x-pi/2)]

SergeyGubanov в сообщении #1725267 писал(а):

В правой части этой формулы есть метрика и скорость пробного тела, но отсутствует скорость системы отсчёта относительно которой мы хотим вычислить эту самую трёхмерную скорость.

Она отсутствует, потому что в этой формуле подразумевается покоящаяся система отсчёта "С": её скорость равна нулю.

SergeyGubanov, а как по приведённым Вами формулам рассмотреть случай, в котором хронометр и линейка находятся у наблюдателя "С", мировая линия которого описывается функцией r(t)= const ? (Если системой отсчёта должно быть семейство мировых линий, то пусть речь идёт о мировых линиях, на которых dr=0.) Если возможно, напишите, пожалуйста, какой ответ у Вас получается в этом конкретном случае для скорости v частицы, времениподобная мировая линия которой описывается какой-то заданной монотонно убывающей функцией r(t) ?

[SergeyGubanov]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1725288 писал(а):

SergeyGubanov, а как по приведённым Вами формулам рассмотреть случай, в котором хронометр и линейка находятся у наблюдателя "С", мировая линия которого описывается функцией $r(t)=\operatorname{const}$ ? (Если системой отсчёта должно быть семейство мировых линий, то пусть речь идёт о мировых линиях, на которых $dr=0$.)

Система отсчёта неподвижного наблюдателя "C" описывается репером Шварцшильда:

$$ \bar{e}^{(0)} = \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} \, dt - \sqrt{\frac{r_g}{r}} \frac{dr}{\sqrt{1 - \frac{r_g}{r}}}, \quad \bar{e}^{(1)} = \frac{dr}{\sqrt{1 - \frac{r_g}{r}}}. $$

Cos(x-pi/2) в сообщении #1725288 писал(а):

Если возможно, напишите, пожалуйста, какой ответ у Вас получается в этом конкретном случае для скорости $v$ частицы, времениподобная мировая линия которой описывается какой-то заданной монотонно убывающей функцией $r(t)$?

Я могу легко написать ответ для одного частного случая когда наблюдатель "B" падает из бесконечности с нулевой начальной скоростью. В этом случае его трёхмерная скорость $v$ относительно неподвижного наблюдателя "C" равна $\sqrt{\frac{r_g}{r}}$. А в произвольном случае формулы усложняются и, как бы, непонятно ради чего так страдать, чтобы их вывести .

-- добавлено через 45 минут --

Метрика:

$$ ds^2 = dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{r_g}{r}} \, dt \right)^2 $$

Уравнение распространения света $ds^2 = 0$:

$$ 0 = 1 - \left( \frac{dr}{dt} + \sqrt{\frac{r_g}{r}} \right)^2 $$

свет идёт снизу вверх:

$$ \frac{dr}{dt} = 1 - \sqrt{\frac{r_g}{r}} $$

В момент координатного времени $t_{B}$ свет испускают с радиуса $r_{B}$, в момент координатного времени $t_{A}$ свет приходит на некий радиус $r_{A}$:

$$ t_{A} = t_{B} + \int^{r_A}_{r_{B}} \frac{dr}{1 - \sqrt{\frac{r_g}{r}}} $$

Источник света падает, это приводит к задержке сигнала

$$ \delta t_{A} = - \frac{\delta r_{B}}{1 - \sqrt{\frac{r_g}{r_{B}}}} $$

Так как "B" падает из бесконечности с нулевой начальной скоростью, то его скорость относительно неподвижной системы отсчёта равна $-\sqrt{\frac{r_g}{r_{B}}}$, а его собственное время $\delta \tau_{B}$ совпадает с координатным временем Пэнлеве $\delta t_{B}$, то есть

$$ \delta r_{B} = - \sqrt{\frac{r_g}{r_{B}}} \delta t_{B} = - \sqrt{\frac{r_g}{r_{B}}} \delta \tau_{B} $$

Поэтому:

$$ \delta t_{A} = \sqrt{\frac{r_g}{r_{B}}} \frac{ \delta \tau_{B} }{1 - \sqrt{\frac{r_g}{r_{B}}}} $$

Ещё надо координатное время $\delta t_{A}$ выразить через собственное время $\delta \tau_{A}$ наблюдателя "A".

Если наблюдатель "A" сам является свободно падающим из бесконечности с нулевой начальной скоростью, то его собственное время совпадает с координатным временем Пэнлеве $\delta t_{A} = \delta \tau_{A}$.

А если наблюдатель "A" неподвижно висит на радиусе $r_{A}$, тогда $\delta t_{A} = \delta\tau_{A} / \sqrt{ 1 - \frac{r_g}{r_A}}$.

Возьмём, для определённости второй случай, тогда получится вот так:

$$ \frac{ \delta \tau_{A} }{ \sqrt{ 1 - \frac{r_g}{r_A}} } = \sqrt{\frac{r_g}{r_{B}}} \frac{ \delta \tau_{B} }{1 - \sqrt{\frac{r_g}{r_{B}}}} $$

(Оффтоп)

Ну и да, с роскомпозорным обрезанием на 16 килобайтах страшное дело было это всё тут набрать.

[Cos(x-pi/2)]

SergeyGubanov, спасибо; кажется, я научился понимать Ваши формулы.

Формула из Вашего предпоследнего сообщения, выражающая компоненты метрического тензора через компоненты 1-форм репера, в случае репера "с чертой" (который Вы называете репером Шварцшильда) даёт, если я правильно понимаю, как по ней вычислять, тот самый недиагональный метрический тензор Пенлеве. Тот, который виден в Вашем первом сообщении в выражении для квадрата интервала, которое Вы там назвали "в координатах Пенлеве".

И при этом вычисление скорости v по Вашей формуле - через свёртки 4-скорости с реперными формами "с чертой" - дало у меня такую же формулу, как и упоминавшаяся выше моя v (только ещё нужен минус в случае с x<0, чтобы получалось v>0, если полагать параметр v всегда не отрицательным. (У меня х означает dr/dt, просто для краткости записи формул).

При x=0 (т.е. для мировой линии с r(t)=const) из этой формулы получается v=0, и это, конечно, означает, что такая формула для скорости v даёт скорость как раз относительно наблюдателя "С", имеющего мировую линию r(t)=const.

В частном случае с x<0, равном $-\sqrt{r_g/r}$, из этой формулы получается v=|x|, как и у Вас.

Короче говоря, теперь мне ясно, что на Ваш вопрос

SergeyGubanov в сообщении #1725163 писал(а):

Совпадает ли это определение трёхмерной скорости с тем, которое использовали Вы?

ответ такой: да, Ваша общая формула со свёртками для v и моя приведённая выше явная формула для v применительно к скорости относительно "С" дают одно и то же.

SergeyGubanov в сообщении #1725297 писал(а):

А в произвольном случае формулы усложняются и, как бы, непонятно ради чего так страдать, чтобы их вывести

Так ведь не очень сложная та формула, и вывелась она вроде без страданий. Хороша она тем, что применима к любому радиальному движению "В", а не только к частному случаю "свободного падения", притом "из бесконечности" да ещё и именно "с нулевой начальной скоростью".

И, к тому же, Вы ведь сами сказали: "Тема становится интересной. Подолью масла в огонь."

Огонь, насколько понимаю, теперь вот какой: если Вы замечаете различие в ответах для разности времён сигналов, прибывших от "В" к "А", и интерес к причине такого различия ещё не пропал, то надо искать расхождение в способах вычисления этой разности сигналов. Вполне вероятно, что "подкручивать" там надо что-то у меня. (Однако, разумеется, не настаиваю на продолжении обсуждения; тем более, что топикстартеру оно, по-видимому, не интересно, да и проблема с чтением и отправкой сообщений меня уже задолбала.)

P.S. SergeyGubanov, спасибо, сейчас увидел Ваш вывод разности времён; завтра повнимательнее подумаю об этом.