Замедление времени в свободном падении

[eslitak]

Часы "A" неподвижны относительно массивного тела и достаточно удалены от него, так, чтобы можно было принять гравитационный потенциал в точке их расположения за ноль. Часы "B" свободно падают прямо на тело.
Пусть в интересующий нас момент времени часы "B" расположены вблизи от тела в точке с гравитационным потенциалом $\varphi$ и движутся с мгновенной скоростью \textit{v} относительно часов "A". Правильно ли я понимаю, что замедление часов "B" относительно часов "A" должно рассчитываться по следующей формуле:

$\Delta t_b = \Delta t_a\sqrt{(1 - \frac{2\varphi}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}$

То есть, учитываем замедление времени от разности гравитационных потенциалов (по ОТО) и от разности скоростей (по СТО). Или как-то не так надо считать?

[realeugene]

eslitak
Считать стоит только результаты мысленных экспериментов, а не абстрактное "замедление времени". Какой мысленный эксперимент вы проводите?

[eslitak]

realeugene в сообщении #1724947 писал(а):

Считать стоит только результаты мысленных экспериментов

Давайте считать, что это просто задача, допустим, на экзамене. По-моему, она достаточно чётко сформулирована, нет?

[DimaM]

eslitak в сообщении #1724951 писал(а):

По-моему, она достаточно чётко сформулирована, нет?

Нет. Сравнение показаний удаленных друг от друга часов - достаточно нетривиальная задача.

[Mikhail_K]

DimaM в сообщении #1724958 писал(а):

Нет. Сравнение показаний удаленных друг от друга часов - достаточно нетривиальная задача.

То есть важно не только то, как она решается, но и, главным образом, то, что такое сравнение вообще означает.
Вы не можете мгновенно переместиться от одних часов к другим и сравнить их показания. Отсюда и нечёткость формулировки.

[SergeyGubanov]

Вам надо описать физический способ того как именно осуществляется передача сигналов между A и B. И тогда речь уже будет идти не столько про показания часов, сколько про физические свойства этих сигналов (например, изменение частоты и периодичности).

И да, если вдруг Вас только это и интересовало, действительно здесь проявится целый букет физических явлений.

[eslitak]

Mikhail_K в сообщении #1724962 писал(а):

Вы не можете мгновенно переместиться от одних часов к другим и сравнить их показания. Отсюда и нечёткость формулировки.

ОК. Допустим, часы "А" и "B" испускают короткие световые импульсы или вообще одиночные фотоны с очень коротким периодом (скажем для определённости - ровно одна наносекунда). Приёмник, расположенный в зоне нулевого гравитационного потенциала, неподвижный в системе отсчёта "А" и равноудалённый от часов "А" и "B", принимает обе последовательности сигналов. Очевидно, что в сигнале от "А" периодичность будет в 1 наносекунду, а в синале от "B" период будет увеличиваться по мере падения часов "B" на тело. Можем ли мы таким образом корректно сравнивать показания часов "A" и "B" и проверять их соответствие вышеозвученной формуле, или теперь надо объяснить, как технически обеспечить такой эксперимент?
Обращаю внимание: приёмник сравнивает периоды прихода, а не частоты фотонов. Это во избежание всяких заморочек с гравитационным красным смещением.

[Mikhail_K]

eslitak
Я бы заметил ещё, что нужно отделять эффект замедления времени от банального эффекта Доплера.
А то, если посылать звуковые сигналы от движущегося (с обычной, нерелятивистской скоростью) объекта к неподвижному, то тоже частота их будет изменяться. Но при этом никто не говорит про изменение хода времени.
Вопреки довольно распространённому заблуждению, релятивистское замедление времени - не иллюзия, подобная эффекту Доплера. И рассматривая передачу сигналов между релятивистскими объектами, нужно учитывать и эффект Доплера, и собственно релятивистские эффекты - они не сводятся друг к другу, а накладываются друг на друга.

[eslitak]

Mikhail_K в сообщении #1724973 писал(а):

И рассматривая передачу сигналов между релятивистскими объектами, нужно учитывать и эффект Доплера

Ясен пень. Но "банальный" эффект Доплера проявляется только при наличии ненулевой проекции скорости источника на направление источник - приёмник. Ничто не запрещает в мысленном эксперименте расположить приёмник не перпендикуляре к вектору скорости часов "B" и на достаточном удалении от часов "A" и "B", в этом случае эффект Доплера сведётся к нулю или будет пренебрежимо мал.

[Geen]

eslitak в сообщении #1724967 писал(а):

Обращаю внимание: приёмник сравнивает периоды прихода, а не частоты фотонов.

Это одно и то же.

[SergeyGubanov]

eslitak в сообщении #1724967 писал(а):

ОК. Допустим, часы "А" и "B" испускают короткие световые импульсы или вообще одиночные фотоны с очень коротким периодом (скажем для определённости - ровно одна наносекунда). Приёмник, расположенный в зоне нулевого гравитационного потенциала, неподвижный в системе отсчёта "А" и равноудалённый от часов "А" и "B", принимает обе последовательности сигналов. Очевидно, что в сигнале от "А" периодичность будет в 1 наносекунду, а в синале от "B" период будет увеличиваться по мере падения часов "B" на тело. Можем ли мы таким образом корректно сравнивать показания часов "A" и "B" и проверять их соответствие вышеозвученной формуле, или теперь надо объяснить, как технически обеспечить такой эксперимент?
Обращаю внимание: приёмник сравнивает периоды прихода, а не частоты фотонов. Это во избежание всяких заморочек с гравитационным красным смещением.

А вот сейчас задача стала гораздо-гораздо-гораздо сложнее чем можно было бы подумать в начале. В неподвижной системе отсчёта трёхмерное пространственное сечение искривлено, поэтому слово "равноудалённый" делает решение задачи неадекватно дорогим для раздела "Помогите решить". А ещё надо будет решать сложные дифференциальные уравнения для изотропных геодезических для не радиального движения света (эти три точки не на одном же радиусе находятся). Чтобы вернуть сложность задачи на адекватный уровень (чтобы был шанс получить ответ) предлагаю Вам рассмотреть только чисто радиальное движение.

[sergey zhukov]

eslitak
Лучше спрашивать "Как В будет выглядеть для А в любой момент времени по часам А?". Это правильный вопрос. Формула, которая вас интересует, так и проверяется.

Нетрудно понять, что если падающие часы В поравнялись с какими-нибудь местными неподвижными часами С, то, с одной стороны, гравитационное красное смещение для сигнала от C считается по первому сомножителю под корнем. А с другой стороны, падающие часы В будут идти медленнее часов C (с которыми их можно сравнить локально, взяв локальную ИСО свободнопадающих часов В) согласно второму сомножителю под корнем. Поэтому да, красное смещение сигнала от часов В в точке нахождения А будет выражаться этой формулой (только нужно еще найти саму скорость свободного падения в любой точке по радиусу, скажем, $u=u(r)$). И еще нужно учесть эффект Доплера, конечно. Т.е. вместо сомножителя типа $\frac{1}{\gamma}$ нужно сразу подставлять множитель для релятивистского эффекта Доплера.

Часто говорят "Вклад ОТО такой-то, а вклад СТО - такой-то". Мол, что-то гравитация замедляет, а что-то - скорость. Выглядит так, как будто это две разные причины. На самом деле это, конечно, одно и то же. Разложение на "замедление времени от гравитации" и "замедление времени от скорости" зависит от системы координат.

[eslitak]

SergeyGubanov в сообщении #1724983 писал(а):

Чтобы вернуть сложность задачи на адекватный уровень (чтобы был шанс получить ответ) предлагаю Вам рассмотреть только чисто радиальное движение.

Да, тут уже чуть ниже поправили.

-- добавлено через 1 минуту --

sergey zhukov в сообщении #1724986 писал(а):

Поэтому да, красное смещение сигнала от часов В в точке нахождения А будет выражаться этой формулой

Спасибо за ответ!

[sergey zhukov]

eslitak
Конечно, Доплер нужно учесть.

Я как-то такой ролик нарисовал. Свободное падение зеленого тела на сигулярность (левая граница), черным нарисован горизон. Каждое тело каждую секунду по своим часам излучает импульс света:


Здесь система отсчета свободно падающая (синие точки - радиально падающая координата), зеленое тело падает из бесконечности и ролик начинается, когда оно пролетает мимо красного (неподвижного) тела. Оба обмениваются импульсами света. Внизу показано, кто сколько импульсов и когда получит.

В этой системе координат падающий зеленый неподвижен, а красный - движется (поэтому его импульсы более редкие). Световые импульсы всегда имеют постоянную скорость относительно синих меток (относительно падающей системы координат).

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1724986 писал(а):

Поэтому да, красное смещение сигнала от часов В в точке нахождения А будет выражаться этой формулой

Не употребляйте, пожалуйста, таких выражений - Вы решили другую задачу, а спрашивающий это проигнорировал.