Матричное представление морфизма

[OlgaD]

Я пытаюсь разобраться в описании морфизма бипроизведений в аддитивной категории, но не могу понять как строится каждый морфизм в этой конструкции.
Выглядит это примерно так. Пусть даны четыре объекта $A_1,A_2,B_1,B_2$ в аддитивной категории $\mathcal{C}.$ Утверждается что морфизм бипроизведений

$$f:A_1\oplus A_2\to B_1\oplus B_2$$

полностью характеризуется четырьмя морфизмами

$$f_{11}=p_1\circ f\circ s_1:A_1\to B_1,$$

$$f_{12}=p_1\circ f\circ s_2:A_2\to B_1,$$

$$f_{21}=p_2\circ f\circ s_1:A_1\to B_2,$$

$$f_{22}=p_2\circ f\circ s_2:A_2\to B_2.$$

Поэтому имеет смысл морфизм $f$ представлять в виде матрицы

$$\left(% \begin{array}{cc} f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \\ \end{array}% \right).$$

Очевидная проверка показывает, что если дан другой морфизм бипроизведений

$$g:B_1\oplus B\to C_1\oplus C_2,$$

то композиция $g\circ f$ представляется матрицей, полученной перемножением матриц, представляющих морфизмы $f$ и $g.$

У меня появилось множество вопросов к этой конструкции. Во-первых, я понимаю, что $p_i$ - это проекции, а $i_j$ - это инъекции в определении бипроизведения, но не могу понять что относится к бипроизведению $A_1\oplus A_2,$ что к $B_1\oplus B_2.$ Во-вторых, не могу понять как строится сам морфизм $f.$ Поэтому дальнейшее описание я не могу понять совсем. Как строятся эти компоненты $f_{ij}?$

[dgwuqtj]

По определению, $\bigl(\begin{smallmatrix} f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \end{smallmatrix}\bigr) = i_1 f_{11} p_1 + i_2 f_{21} p_1 + i_1 f_{12} p_2 + i_2 f_{22} p_2$. Тут надо проверить, что конструкции $f$ по $f_{ij}$ и наоборот взаимно обратны, это лёгкое упражнение на раскрытие скобок.

[OlgaD]

dgwuqtj в сообщении #1712507 писал(а):

По определению, $\bigl(\begin{smallmatrix} f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \end{smallmatrix}\bigr) = i_1 f_{11} p_1 + i_2 f_{21} p_1 + i_1 f_{12} p_2 + i_2 f_{22} p_2$. Тут надо проверить, что конструкции $f$ по $f_{ij}$ и наоборот взаимно обратны, это лёгкое упражнение на раскрытие скобок.

Откуда появляется это равенство? Почему морфизм $f$ представляется в виде такой суммы? Кроме того, я кажется сама напутала: по привычке написала $i_j$ - инъекции, хотя выше для их обозначения используются морфизмы $s_j.$ И потом, может вы имели в виду $\bigl(\begin{smallmatrix} f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \end{smallmatrix}\bigr) = p_1 f_{11} s_1 + p_1 f_{21} s_2 + p_1 f_{12} s_2 + p_2 f_{22}s_2?$

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1712510 писал(а):

Почему морфизм $f$ представляется в виде такой суммы?

Так проверьте. Я бы матрицу просто так и определял, но дело же не в определении, а в том, почему все формулы согласованы.

OlgaD в сообщении #1712510 писал(а):

Кроме того, я кажется сама напутала: по привычке написала $i_j$ - инъекции, хотя выше для их обозначения используются морфизмы $s_j.$ И потом, может вы имели в виду $\bigl(\begin{smallmatrix} f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \end{smallmatrix}\bigr) = p_1 f_{11} s_1 + p_1 f_{21} s_2 + p_1 f_{12} s_2 + p_2 f_{22}s_2?$

Индексы у меня правильные (проверьте уже, что иначе композиции даже не определены), а вместо $i$ действительно надо $s$.

[OlgaD]

Кажется, я окончательно запуталась. Ни о какой сумме в приведенной выдержке нигде не говорится, поэтому я действительно не понимаю, откуда она выскочила. Если уж разбирать все поэтапно, я представляю себе это так: для определения морфизма $f:A_1\oplus A_2\to B_1\oplus B_2$ я рассматриваю первое бипроизведение $A_1\oplus A_2$ как копроизведение с инъекциями $s_1:A_1\to A_1\oplus A_2,s_2:A_2\to A_1\oplus A_2.$ Тогда морфизм $f$ определяется (и единственен) в силу универсального свойства копроизведения. Кажется, я уже в предыдущей теме писала, что у меня большой вопрос вызывает существование морфизмов $A_i\to B_1\oplus B_2.$ И кажется, что я хожу по кругу.

Предположим, что морфизмы $f_1:A_1\to B_1\oplus B_2$ и $f_2:A_2\to B_1\oplus B_2$ существуют. Тогда мы имеем равенства $f_1=f\circ s_1,f_2=f\circ s_2.$ Возьмем первый морфизм $f_1.$ Рассматривая бипроизведение $B_1\oplus B_2$ как произведение с проекциями $p_1,p_2,$ мы можем (?) определить два морфизма: $A_1\to B_1$ как композицию $p_1\circ f_1=p_1\circ f\circ s_1,$ и $A_1\to B_2$ как композицию $p_2\circ f_1=p_2\circ f\circ s_2.$ И аналогично получаем два морфизма для $f_2.$ Но я до сих пор, не понимаю, почему тут сумма и как эти морфизмы "характеризуют" морфизм $f.$

[Slav-27]

Бипроизведение -- это, по определению, одновременно произведение и сумма (копроизведение). По универсальному свойству произведения, задать морфизм из $A_1\oplus A_2$ в $B_1\oplus B_2$ -- это всё равно, что задать морфизм из $A_1\oplus A_2$ в $B_1$ и морфизм из $A_1\oplus A_2$ в $B_2$. По универсальному свойству суммы, задать морфизм из $A_1\oplus A_2$ в $B_k$ -- это всё равно, что задать морфизм из $A_1$ в $B_k$ и морфизм из $A_2$ в $B_k$. Вот и всё...

Матричная запись такая же, как в линейной алгебре. Если $e_1,e_2$ -- базис вещественного векторного пространства $V$ и $f_1,f_2$ -- базис $W$, то есть $V=\mathbb R\langle e_1\rangle \oplus\mathbb R\langle e_2\rangle$ и $W=\mathbb R\langle f_1\rangle \oplus\mathbb R\langle f_2\rangle$, то линейное отображение $V\to W$ по отношению к этим базисам записывается матрицей.

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1712513 писал(а):

Кажется, я уже в предыдущей теме писала, что у меня большой вопрос вызывает существование морфизмов $A_i\to B_1\oplus B_2.$

Возьмём явную формулу, $f_{*i} = \bigl(\begin{smallmatrix} f_{1i} \\ f_{2i} \end{smallmatrix}\bigr) \mathbin{:=} s_1^B \circ f_{1i} + s_2^B \circ f_{2i}$, где верхние индексы обозначают, что речь идёт о морфизмах в прямую сумму $B_1 \oplus B_2$ (есть аналогичные $s_1^A$ и $s_2^A$ в $A_1 \oplus A_2$). Проверим, что она задаёт то, что нужно:

$$p_1^B \circ f_{*i} = p_1^B \circ (s_1^B \circ f_{1i} + s_2^B \circ f_{2i}) = p_1^B \circ s_1^B \circ f_{1i} + p_1^B \circ s_2^B \circ f_{2i} = \mathrm{id}_{B_1} \circ f_{1i} + 0_{B_2} \circ f_{2i} = f_{1i}. $$

Ну и для $p_2^B \circ f_{*i}$ аналогично.

[OlgaD]

Slav-27 в сообщении #1712520 писал(а):

Бипроизведение -- это, по определению, одновременно произведение и сумма (копроизведение). По универсальному свойству произведения, задать морфизм из $A_1\oplus A_2$ в $B_1\oplus B_2$ -- это всё равно, что задать морфизм из $A_1\oplus A_2$ в $B_1$ и морфизм из $A_1\oplus A_2$ в $B_2$. По универсальному свойству суммы, задать морфизм из $A_1\oplus A_2$ в $B_k$ -- это всё равно, что задать морфизм из $A_1$ в $B_k$ и морфизм из $A_2$ в $B_k$. Вот и всё...

Это я поняла, только (судя по формулам) предполагается задание морфизма $A_1\oplus A_2\to B_1\oplus B_2$ по универсальному свойству копроизведения. Пожалуй, главный вопрос у меня сейчас: если этот морфизм однозначно определяется универсальным свойством, для чего дополнительно рассматриваются морфизмы $f_{ij}?$ И как соотносятся эти морфизмы с самим морфизмом $f?$

[OlgaD]

dgwuqtj в сообщении #1712556 писал(а):

OlgaD в сообщении #1712513 писал(а):

Кажется, я уже в предыдущей теме писала, что у меня большой вопрос вызывает существование морфизмов $A_i\to B_1\oplus B_2.$

Возьмём явную формулу, $f_{*i} = \bigl(\begin{smallmatrix} f_{1i} \\ f_{2i} \end{smallmatrix}\bigr) \mathbin{:=} s_1^B \circ f_{1i} + s_2^B \circ f_{2i}$, где верхние индексы обозначают, что речь идёт о морфизмах из прямой суммы $B_1 \oplus B_2$ (есть аналогичные $s_1^A$ и $s_2^A$ из $A_1 \oplus A_2$). Проверим, что она задаёт то, что нужно:

$$p_1^B \circ f_{*i} = p_1^B \circ (s_1^B \circ f_{1i} + s_2^B \circ f_{2i}) = p_1^B \circ s_1^B \circ f_{1i} + p_1^B \circ s_2^B \circ f_{2i} = \mathrm{id}_{B_1} \circ f_{1i} + 0_{B_2} \circ f_{2i} = f_{1i}. $$

Ну и для $p_2^B \circ f_{*i}$ аналогично.

Я так и не поняла, откуда взялась эта "явная формула". В источнике, выдержку из которого я привела, ничего не сказано про сумму. И пока я не пойму, где вы взяли эту сумму, я не смогу понять ваши вычисления.

-- 15.12.2025, 23:07 --

Вот как это выглядит в книге:

Если $A_1,A_2,B_1,B_2$ - четыре объекта в аддитивной категории $\mathcal{C},$ морфизм

$$f:A_1\oplus A_2\to B_1\oplus B_2$$

полностью характеризуется четырьмя морфизмами

$$f_{11}=p_1\circ f\circ s_1:A_1\to B_1,$$

$$f_{12}=p_1\circ f\circ s_2:A_2\to B_1,$$

$$f_{21}=p_2\circ f\circ s_1:A_1\to B_2,$$

$$f_{22}=p_2\circ f\circ s_2:A_2\to B_2,$$

так что имеет смысл запись

$$\left(% \begin{array}{cc} f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \\ \end{array}% \right)$$

для обозначения $f.$ Рутинная проверка показывает, что при наличии другого морфизма

$$g:B_1\oplus B_2\to C_1\oplus C_2,$$

композиция $g\circ f$ в точности представляется произведением двух соответствующих индивидуальных матриц. Эта запись, очевидно, распространяется и на случай $n$-арных произведений. В частности, для двух морфизмов $f:A_1\to B,g:A_2\to B$ мы пишем $(f,g):A_1\oplus A_2\to B$ для соответствующей факторизации. И аналогично для двух морфизмов $f:A\to B_1$ и $g:A\to B_2$ мы пишем

$$\left(% \begin{array}{c} f \\ g \\ \end{array}% \right):A\to B_1\oplus B_2$$

для индуцированной факторизации.

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1712567 писал(а):

И пока я не пойму, где вы взяли эту сумму, я не смогу понять ваши вычисления.

Это звучит странно, раз уж формула дана, для понимания вычислений достаточно свойств морфизмов в прямой сумме ($s_i$ и $p_i$), ну и определения предаддитивных категорий. Я эту формулу взял из головы, может, и в книжках встречается.

[Slav-27]

OlgaD в сообщении #1712560 писал(а):

если этот морфизм однозначно определяется универсальным свойством, для чего дополнительно рассматриваются морфизмы $f_{ij}?$ И как соотносятся эти морфизмы с самим морфизмом $f?$

Задание одного морфизма $f$ эквивалентно заданию 4 морфизмов $f_{ij}$. Говоря точнее, имеется биекция между множеством морфизмов $f$ (из $A_1\oplus A_2$ в $B_1\oplus B_2$) и множеством четвёрок $f_{ij}$. В моём предыдущем посте написана конструкция этой биекции. В вашем первом посте написана чуть другая конструкция той же самой биекции.

[OlgaD]

dgwuqtj в сообщении #1712507 писал(а):

По определению, $\bigl(\begin{smallmatrix} f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \end{smallmatrix}\bigr) = i_1 f_{11} p_1 + i_2 f_{21} p_1 + i_1 f_{12} p_2 + i_2 f_{22} p_2$. Тут надо проверить, что конструкции $f$ по $f_{ij}$ и наоборот взаимно обратны, это лёгкое упражнение на раскрытие скобок.

Что означает знак суммы в этой формуле? Структура абелевой группы на hom-множествах аддитивной категории? Я не понимаю сам смысл разложения морфизма на такие "компоненты".

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1712625 писал(а):

Структура абелевой группы на hom-множествах аддитивной категории?

Да. Морфизмы с одинаковым началом и концом можно складывать. Вы привыкли это сложение обозначать по-другому?

OlgaD в сообщении #1712625 писал(а):

Я не понимаю сам смысл разложения морфизма на такие "компоненты"

С линейной алгеброй вы знакомы? Знаете, стандартный базис пространства матриц $n \times m$?

[OlgaD]

Нет, я привыкла иметь дело с композициями морфизмов, а вот сложение морфизмов как-то не хочется становиться привычным.
Например, для бипроизведения $A\oplus B$ обозначим $p^A:A\oplus B\to A$ и $p^B:A\oplus B\to B$ - проекции, а через $s^A:A\to A\oplus B$ и $s^B:B\to A\oplus B$ - инъекции. Если честно, тяжеловато воспринимаю формулы, связывающие эти морфизмы (аксиомы бипроизведения):

$$p^A\circ s^A=1_A,\qquad p^B\circ s^B=1_B,\qquad p^A\circ S^B=0,\qquad p^B\circ s^A=0,\qquad s^A\circ p^A+s^B\circ p^B=1_{A\oplus B}.$$

Особенно последнюю формулу, где мы фактически разбили тождественное отображение на две части.

Да, с линейной алгеброй знакома. Думаю в качестве базиса можно взять матрицы, у которых одна единица на каком-то месте, а на остальных местах нули. Пытаетесь сказать, что компоненты морфизма - своеобразный базис?

-- 16.12.2025, 21:41 --

И потом вызвала недопонимание ваша формула, приравнивающая матрицу к сумме морфизмов. Это для меня чересчур.

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1712643 писал(а):

Если честно, тяжеловато воспринимаю формулы, связывающие эти морфизмы (аксиомы бипроизведения):

Ну так рассмотрите простой пример $A = B = \mathbb R$ в категории конечномерных векторных пространств над $\mathbb R$. Тогда $p_A = (1\, 0)$, $p_B = (0\, 1)$, $s_A = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr)$, $s_B = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\bigr)$. В частности, $s_A p_A + s_B p_B = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr) (1\, 0) + \bigl(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\bigr) (0\, 1) = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) + \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr) = \mathrm{id}_{A \oplus B}$.

OlgaD в сообщении #1712643 писал(а):

Пытаетесь сказать, что компоненты морфизма - своеобразный базис?

Скорее, разложение в прямую сумму, базисов там всё-таки нет. Точнее, $\mathrm{Hom}(A_1 \oplus A_2, B_1 \oplus B_2) \cong \bigoplus_{i, j \in \{ 1, 2 \}} \mathrm{Hom}(A_i, B_j)$, где в правой части прямая сумма абелевых групп, в левой прямая сумма в категории, и изоморфизм абелевых групп.

Например, есть категория банаховых пространств над $\mathbb R$ и непрерывных отображений. В ней есть пространство $c_0$ последовательностей, сходящихся к $0$, и пространство $c$ из всех сходящихся последовательностей. Есть разложение в прямую сумму $c \cong c_0 \oplus \mathbb R$. А естественных базисов в $c$ и $c_0$ нет.

Вообще стандартный пример абелевых категорий — это категории правых (или левых) модулей над ассоциативным кольцом с единицей. Если с прямой суммой модулей вам всё понятно, то и матричная запись для гомоморфизмов между прямыми суммами должна быть естественной.