Матричное представление морфизма

[OlgaD]

dgwuqtj в сообщении #1712651 писал(а):

Ну так рассмотрите простой пример $A = B = \mathbb R$ в категории конечномерных векторных пространств над $\mathbb R$. Тогда $p_A = (1\, 0)$, $p_B = (0\, 1)$, $s_A = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr)$, $s_B = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\bigr)$. В частности, $s_A p_A + s_B p_B = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr) (1\, 0) + \bigl(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\bigr) (0\, 1) = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) + \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr) = \mathrm{id}_{A \oplus B}$.

Хороший пример. Только не совсем понятны обозначения. Почему, например, проекция $p_A=(1\,0)$ - вектор-строка? Вы пользуетесь отождествлением $(a,0)=a?$ Почему тогда включение $s_A$ - уже вектор-столбец?

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1712666 писал(а):

Почему, например, проекция $p_A=(1\,0)$ - вектор-строка? Вы пользуетесь отождествлением $(a,0)=a?$ Почему тогда включение $s_A$ - уже вектор-столбец?

Ничего не отождествляется. Отображение $p_A$ действует из $\mathbb R^2$ в $\mathbb R$, такие линейные операторы задаются матрицами $1 \times 2$. Ну а $s_A \colon \mathbb R \to \mathbb R^2$, соответственно, матрица $2 \times 1$.

[OlgaD]

Поняла, подзабыла. Мне сейчас очень интересно как в явном виде записать два морфизма $(f,g):A_1\oplus A_2\to B$ (где $f:A_1\to B$ и $g:A_2\to B$) и $\bigl(\begin{smallmatrix} f \\ g \end{smallmatrix}\bigr):A\to B_1\oplus B_2$ (где $f:A\to B_1$ и $A\to B_2$). Именно эти морфизмы используются дальше для описания короткой точной последовательности в регулярной категории.
Кажется, у меня получается так: для морфизма $(f,g):A_1\oplus A_2\to B$ получаем $(f,g)=f\circ p_1^A+g\circ p_2^A,$ а для морфизма $\bigl(\begin{smallmatrix} f \\ g \end{smallmatrix}\bigr):A\to B_1\oplus B_2$ получаем $ \bigl(\begin{smallmatrix} f \\ g \end{smallmatrix}\bigr)=s_1^B\circ f+s_2^B\circ g.$

Точнее, мне хочется понять следующее описание: Под точной последовательностью в регулярной категории понимается диаграмма $P\overset{u}{\underset{v}{\rightrightarrows}}A\stackrel{f}{\rightarrow}B$ где $(u,v)$ - ядерная пара морфизма $f$ и $f$ является коуравнителем $(u,v).$ Утверждается, что если категория $\mathscr{C}$ абелева, то эта точная последовательность эквивалентна короткой точной последовательности вида

$$0\rightarrow P\stackrel{\bigl(\begin{smallmatrix} u \\ v \end{smallmatrix}\bigr)}{\longrightarrow}A\oplus A\stackrel{(f,-f)}{\longrightarrow}B\rightarrow 0$$

в обычном смысле. Пока не могу понять, что за морфизм $(f,-f).$

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1712674 писал(а):

Мне сейчас очень интересно как в явном виде записать два морфизма $(f,g):A_1\oplus A_2\to B$ (где $f:A_1\to B$ и $g:A_2\to B$) и $\bigl(\begin{smallmatrix} f \\ g \end{smallmatrix}\bigr):A\to B_1\oplus B_2$ (где $f:A\to B_1$ и $A\to B_2$).

Либо через универсальное свойство (копроизведения и произведения соответственно, $(f, g) \circ s_1 = f$, $(f, g) \circ s_2 = g$, $p_1 \bigl(\begin{smallmatrix} f \\ g \end{smallmatrix}\bigr) = f$, $p_2 \bigl(\begin{smallmatrix} f \\ g \end{smallmatrix}\bigr) = g$), либо $(f, g) = f \circ p_1 + g \circ p_2$, $\bigl(\begin{smallmatrix} f \\ g \end{smallmatrix}\bigr) =s_1 \circ f + s_2 \circ g $.

Эти загадочные формулы с суммами вообще-то легко выводятся из универсального свойства: $(f, g) = (f, 0) + (0, g)$ по аддитивности (можно проверить, что правая часть удовлетворяет универсальному свойству левой части), $(f, 0) = f \circ (1, 0)$ по естественности (опять же, можно проверить, что правая часть удовлетворяет универсальному свойству левой части), $(0, g) = g \circ (0, 1)$ аналогично по естественности, ну и $(1, 0) = p_1$, $(0, 1) = p_2$. Все эти "можно проверить" по-хорошему должны быть или очевидны, или проверяться вами в качестве упражнения.

[OlgaD]

У меня почему-то формулы наоборот получились. Где-то я намудрила.

[OlgaD]

Но разве морфизм $(f,g)$ не должен быть определен так, чтобы $(f,g)\circ s_1=f,(f,g)\circ s_2=g?$ Такие загадки я очень люблю.

[dgwuqtj]

А напишите, откуда и куда действуют $(f \, g)$ и $s_1$.

[OlgaD]

$(f,g):A_1\oplus A_2\to B,s_1:A_1\to A_1\oplus A_2,f:A_1\to B.$
Разве мы не проверяем формулу $(f,g)=f\circ p_1+g\circ p_2$ так:

$$(f,g)\circ s_1=(f\circ p_1+g\circ p_2)\circ s_1=f\circ p_1\circ s_1+g\circ p_2\circ s_1=f\circ 1_{A_1}+g\circ 0_{A_2}=f$$

и аналогично для $(f,g)\circ s_2=g?$

[dgwuqtj]

Я тут понял, что всё перепутал, так что исправил предпоследнее сообщение. Конечно, вы правы. А ещё там нулевой морфизм действует между разными объектами, так что у него индекс неподходящий.

[OlgaD]

Ничего. Но я до сих пор не поняла, что за морфизм $(f,-f)$ имеется в виду.

OlgaD в сообщении #1712674 писал(а):

Точнее, мне хочется понять следующее описание: Под точной последовательностью в регулярной категории понимается диаграмма $P\overset{u}{\underset{v}{\rightrightarrows}}A\stackrel{f}{\rightarrow}B$ где $(u,v)$ - ядерная пара морфизма $f$ и $f$ является коуравнителем $(u,v).$ Утверждается, что если категория $\mathscr{C}$ абелева, то эта точная последовательность эквивалентна короткой точной последовательности вида

$$0\rightarrow P\stackrel{\bigl(\begin{smallmatrix} u \\ v \end{smallmatrix}\bigr)}{\longrightarrow}A\oplus A\stackrel{(f,-f)}{\longrightarrow}B\rightarrow 0$$

в обычном смысле.

Морфизм $\bigl(\begin{smallmatrix} u \\ v \end{smallmatrix}\bigr)=s_1\circ u+s_2\circ v.$ А вот второй морфизм немного сбивает с толку. Морфизм $(-f)$ - это морфизм, который должен существовать в силу структуры абелевой группы на каждом $\hom$-множестве. Если я не путаю, то он определяется из условия $f+(-f)=0,$ где 0 - нулевой морфизм. Хотя я совсем в этом не уверена. Но кажется $-f$ будет иметь те же область и кообласть, что и $f.$

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1712749 писал(а):

Если я не путаю, то он определяется из условия $f+(-f)=0,$ где 0 - нулевой морфизм. Хотя я совсем в этом не уверена. Но кажется $-f$ будет иметь те же область и кообласть, что и $f.$

Всё так и есть.

[OlgaD]

Да, но я не могу выписать явную формулу, чтобы с ней работать. Это что-то типа $(f,-f)=f\circ p_1+(-f)\circ p_2.$ Хотелось бы это безобразие изобразить на диаграмме, потому что это нагляднее.

И вообще, у меня такое чувство, что мы имеем дело с расщепимой короткой точной последовательностью.

[dgwuqtj]

Нет, она не расщепимая. Расщепимость эквивалентна тому, что эпиморфизм $f$ имеет сечение. Например, в категории абелевых групп возьмите $A = \mathbb Z$, $B = \mathbb Z / 2 \mathbb Z$, $f(n) = n \bmod 2$, тогда $P = \{ (n, m) \in \mathbb Z^2 \mid n \equiv m \pmod 2 \}$.

[OlgaD]

Я поняла. Но дело в том, что выше при описании короткой точной последовательности в абелевой категории (в этой же книге) доказывается, что последовательность вида $0\to A\to A\oplus B\to B\to 0,$ где $A\oplus B$ - бипроизведение, является расщепимой. А в интересующей меня последовательности

$$0\rightarrow P\stackrel{\bigl(\begin{smallmatrix} u \\ v \end{smallmatrix}\bigr)}{\longrightarrow}A\oplus A\stackrel{(f,-f)}{\longrightarrow}B\rightarrow 0$$

$A\oplus A$ как раз является бипроизведением. Интересно, а как быть с нерасщепимыми последовательностями? Я могу ошибаться, но разве проекции в бипроизведении не имеют сечений - инъекций того же бипроизведения?

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1712782 писал(а):

Я могу ошибаться, но разве проекции в бипроизведении не имеют сечений - инъекций того же бипроизведения?

Имеют. Только в вашей диаграмме не проекция, а другой морфизм $(f, - f)$.