Матричное представление морфизма

[OlgaD]

dgwuqtj в сообщении #1712651 писал(а):

Ну так рассмотрите простой пример $A = B = \mathbb R$ в категории конечномерных векторных пространств над $\mathbb R$. Тогда $p_A = (1\, 0)$, $p_B = (0\, 1)$, $s_A = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr)$, $s_B = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\bigr)$. В частности, $s_A p_A + s_B p_B = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr) (1\, 0) + \bigl(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\bigr) (0\, 1) = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) + \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr) = \mathrm{id}_{A \oplus B}$.

Хороший пример. Только не совсем понятны обозначения. Почему, например, проекция $p_A=(1\,0)$ - вектор-строка? Вы пользуетесь отождествлением $(a,0)=a?$ Почему тогда включение $s_A$ - уже вектор-столбец?

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1712666 писал(а):

Почему, например, проекция $p_A=(1\,0)$ - вектор-строка? Вы пользуетесь отождествлением $(a,0)=a?$ Почему тогда включение $s_A$ - уже вектор-столбец?

Ничего не отождествляется. Отображение $p_A$ действует из $\mathbb R^2$ в $\mathbb R$, такие линейные операторы задаются матрицами $1 \times 2$. Ну а $s_A \colon \mathbb R \to \mathbb R^2$, соответственно, матрица $2 \times 1$.

[OlgaD]

Поняла, подзабыла. Мне сейчас очень интересно как в явном виде записать два морфизма $(f,g):A_1\oplus A_2\to B$ (где $f:A_1\to B$ и $g:A_2\to B$) и $\bigl(\begin{smallmatrix} f \\ g \end{smallmatrix}\bigr):A\to B_1\oplus B_2$ (где $f:A\to B_1$ и $A\to B_2$). Именно эти морфизмы используются дальше для описания короткой точной последовательности в регулярной категории.
Кажется, у меня получается так: для морфизма $(f,g):A_1\oplus A_2\to B$ получаем $(f,g)=f\circ p_1^A+g\circ p_2^A,$ а для морфизма $\bigl(\begin{smallmatrix} f \\ g \end{smallmatrix}\bigr):A\to B_1\oplus B_2$ получаем $ \bigl(\begin{smallmatrix} f \\ g \end{smallmatrix}\bigr)=s_1^B\circ f+s_2^B\circ g.$

Точнее, мне хочется понять следующее описание: Под точной последовательностью в регулярной категории понимается диаграмма $P\overset{u}{\underset{v}{\rightrightarrows}}A\stackrel{f}{\rightarrow}B$ где $(u,v)$ - ядерная пара морфизма $f$ и $f$ является коуравнителем $(u,v).$ Утверждается, что если категория $\mathscr{C}$ абелева, то эта точная последовательность эквивалентна короткой точной последовательности вида

$$0\rightarrow P\stackrel{\bigl(\begin{smallmatrix} u \\ v \end{smallmatrix}\bigr)}{\longrightarrow}A\oplus A\stackrel{(f,-f)}{\longrightarrow}B\rightarrow 0$$

в обычном смысле. Пока не могу понять, что за морфизм $(f,-f).$

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1712674 писал(а):

Мне сейчас очень интересно как в явном виде записать два морфизма $(f,g):A_1\oplus A_2\to B$ (где $f:A_1\to B$ и $g:A_2\to B$) и $\bigl(\begin{smallmatrix} f \\ g \end{smallmatrix}\bigr):A\to B_1\oplus B_2$ (где $f:A\to B_1$ и $A\to B_2$).

Либо через универсальное свойство (копроизведения и произведения соответственно, $(f, g) \circ s_1 = f$, $(f, g) \circ s_2 = g$, $p_1 \bigl(\begin{smallmatrix} f \\ g \end{smallmatrix}\bigr) = f$, $p_2 \bigl(\begin{smallmatrix} f \\ g \end{smallmatrix}\bigr) = g$), либо $(f, g) = s_1 \circ f + s_2 \circ g$, $\bigl(\begin{smallmatrix} f \\ g \end{smallmatrix}\bigr) = f p_1 + g p_2$.

Эти загадочные формулы с суммами вообще-то легко выводятся из универсального свойства: $(f, g) = (f, 0) + (0, g)$ по аддитивности (можно проверить, что правая часть удовлетворяет универсальному свойству левой части), $(f, 0) = (1, 0) \circ f$ по естественности (опять же, можно проверить, что правая часть удовлетворяет универсальному свойству левой части), $(0, g) = (0, 1) \circ g$ аналогично по естественности, ну и $(1, 0) = s_1$, $(0, 1) = s_2$. Все эти "можно проверить" по-хорошему должны быть или очевидны, или проверяться вами в качестве упражнения.

[OlgaD]

У меня почему-то формулы наоборот получились. Где-то я намудрила.