Мыльный пузырь 3(мыльная пленка)

[Padawan]

realeugene в сообщении #1712456 писал(а):

Действительно, если это не так, то отразив эту поверхность получим решение для двух колец, отличное от эйлерового, а таких нет.

Звучит не очень убедительно. По-хорошему надо записать условие трансверсальности на окружности по которой плёнка пересекается с поверхностью раствора.

-- Вс дек 14, 2025 11:29:42 --

Проверил, условие трансверсальности - перпендикулярность поверхностей. Так что возражение снимается. Действительно, половинка цепной линии получается.

[DimaM]

amon в сообщении #1712452 писал(а):

При малых $h$ у него два решения, одно из которых, видимо, неустойчиво.

Насколько я понимаю, устойчивое решение соответствует большему $r$ (эта поверхность имеют минимальную площадь, а для второго площадь максимальна).

[druggist]

Конечно, это катеноид вращения. Но с помощью аппроксимации формы поверхности усеченным конусом можно легко и наглядно показать наличие метастабильности формы поверхности пленки

[realeugene]

druggist в сообщении #1712485 писал(а):

Конечно, это катеноид вращения. Но с помощью аппроксимации формы поверхности усеченным конусом можно легко и наглядно показать наличие метастабильности формы поверхности пленки

Для конуса нарушается условие равновесия сил в месте контакта плёнки с поверхностью воды. Мыльная плёнка не может поднять воду вокруг точки контакта заметно, так что остальные две поверхности в этой точке почти точно горизонтальны, и третьей (как и четвёртой, обе в плёнке) тянущей поверхности не остаётся ничего, кроме как тянуть вверх.

UPD: Хотя по вашему фото это не скажешь... Но там подъём воды наоборот в полосе, узкой по сравнению с диаметром, и две поверхности воды симметрично вертикальны, хоть и закругляются.

UPD2: Критический радиус $r_{crit}=0.5524341245308831$ радиуса кольца.

[amon]

realeugene в сообщении #1712486 писал(а):

UPD2: Критический радиус $r_{crit}=0.5524341245308831$ радиуса кольца.

Поставил наконец считалку. Ваш первый ответ $h=0.662743$ правильный, а $h=0.552$ (не $r$!) соответствует равенству энергий пленки, натянутой на кольцо, и энергии катеноида. При этом колечко можно осторожно поднимать выше, поскольку есть энергетический барьер между пленкой на кольце и катеноидом, так как катеноид - локальный минимум энергии. Ситуация похожа на перегрев жидкости Ван-дер-Ваальса, как тут уже отмечалось.

[realeugene]

amon в сообщении #1712593 писал(а):

$h=0.662743$ правильный, а $h=0.552$ (не $r$!)

realeugene в сообщении #1712456 писал(а):

$t = \sqrt{1 + 1/h^2}$

amon в сообщении #1712452 писал(а):

$1/r=t$

$$r_{crit} = \frac 1 {\sqrt {1 + 1 / h_{crit}^2}}= \frac 1 {\sqrt {1 + 1 / {0.6627434193491816}^2}} = 0.5524341245308831$$

-- 16.12.2025, 15:55 --

amon в сообщении #1712593 писал(а):

Ситуация похожа на перегрев жидкости Ван-дер-Ваальса, как тут уже отмечалось.

Ну да: есть энергетический барьер, отделяющий локальный минимум от глобального, через который вероятность перескока классической системы мала. Если её не подтолкнуть. Или если высоту барьера на уменьшить до нуля.

[amon]

realeugene, виноват. Думал Вы буквы перепутали. Для равенства энергий плоской пленки на диске и энергии катеноида близкая цифра получается.

[realeugene]

amon в сообщении #1712595 писал(а):

Думал Вы буквы перепутали.

Не, не перепутал. Я заметил на фотографии мениск в окрестности точки контакта плёнки с поверхностью воды. Если радиус потери устойчивости достаточно большой - то этот мениск слабо влияет на критический радиус. Какова форма этого мениска - отдельный вопрос.

[Geen]

realeugene в сообщении #1712606 писал(а):

Если радиус потери устойчивости достаточно большой - то этот мениск слабо влияет на критический радиус.

Он меняет форму всей плёнки (насколько сильно - пока не получается подсчитать).

[realeugene]

Geen в сообщении #1712650 писал(а):

Он меняет форму всей плёнки (насколько сильно - пока не получается подсчитать).

При показанных на картинке размерах должно быть мало. Плёнка вертикальна в линейном приближении. Радиус кривизны мениска мал по сравнению с горизонтальным радиусом кривизны плёнки. Поэтому двусторонний мениск почти симметричная добавка к вертикальной плёнке. От высоты кольца мениск не зависит, а значит почти не влияет и на потерю равновесия.

[druggist]

Меня еще интересует касательно этой задачки, как изменится уравнение для поверхности в случае появления добавки давления $\delta P$ внутри катеноида. Это легко сделать, заменив кольцо на трубку с раструбом на конце. Для сферического пузыря все просто, а можно ли также просто учесть наличие разности давлений и соответственно, лапласово давление в данном случае?

[realeugene]

druggist в сообщении #1712686 писал(а):

Меня еще интересует касательно этой задачки, как изменится уравнение для поверхности в случае появления добавки давления $\delta P$ внутри катеноида. Это легко сделать, заменив кольцо на трубку с раструбом на конце. Для сферического пузыря все просто, а можно ли также просто учесть наличие разности давлений и соответственно, лапласово давление в данном случае?

Пока не высосет пузырь вверх это не сложно. Нужно к энергии плёнки, пропорциональной площади поверхности, добавить энергию давления, пропорциональную объёму внутри, и всё вместе проварьировать.
.

[druggist]

realeugene в сообщении #1712688 писал(а):

это не сложно.

Ну, а дифф. уравнение как будет выглядеть?

[realeugene]

druggist в сообщении #1712691 писал(а):

Ну, а дифф. уравнение как будет выглядеть?

Это когда у меня в руках окажется кроме телефона ещё и бумажка.

[Padawan]

druggist в сообщении #1712686 писал(а):

Меня еще интересует касательно этой задачки, как изменится уравнение для поверхности в случае появления добавки давления $\delta P$ внутри катеноида. Это легко сделать, заменив кольцо на трубку с раструбом на конце. Для сферического пузыря все просто, а можно ли также просто учесть наличие разности давлений и соответственно, лапласово давление в данном случае?

Википедия в https://en.wikipedia.org/wiki/Unduloid писал(а):

In 1841 Delaunay proved that the only surfaces of revolution with constant mean curvature were the surfaces obtained by rotating the roulettes of the conics. These are the plane, cylinder, sphere, the catenoid, the unduloid and nodoid.[1]