Задача с корзинами.

[anahronizm]

Корзинщик начинает плести корзины в комнате, в которой четыре лампы. При входе в комнату он одновременно включает все четыре лампы. Но лампы работают плохо - из четырёх ламп одна выключается на минуту каждые 7 минут, другая на минуту каждые 10 минут, третья на минуту каждые 11 минут и четвёртая на минуту каждые 13 минут. Иногда наступает момент, когда все лампы одновременно не светят ровно одну минуту. Известно, что за минуту корзинщик плетёт 10 см корзины (в высоту), но даже при свете трех ламп он работать не может и после каждого перерыва начинает новую корзину. Он находился в комнате 10 000 и 10 минут, а потом пошёл отдыхать.

Вопрос:

1. Какой высоты были самые большие корзины?

2. Сколько их было?

3. Сколько было корзин высотой 30 сантиметров?

Вынужден сразу дать пояснения:
- выражение "Работал он 10 000 и 10 минут" означает, что его смена длилась 10010 минут вместе с перерывами, которые считаются частью рабочего времени.
- выражение "одна выключается на минуту каждые 7 минут" означает, что лампа работает 6 минут, потом перестает светить минуту, потом снова работает 6 минут и т.д.
Т.е. вырубается через 6 минут. Не один случайный раз в 7 минут, а именно через 6 минут каждый раз.
- выражение "Иногда наступает момент, когда все лампы одновременно не светят ровно одну минуту" требуется только для того, чтобы было понимание синхронности включения и выключения ламп.

Эта частная задача, но решение можно представить и в общем виде, когда количество ламп любое, а периоды их работы – произвольные (целые, положительные, взаимно простые) числа.
Интересны любые подходы и теоретические обоснования.
Одно из возможных решений это перебор каждого числа в данной последовательности чисел, но это очень долго.

-- 29.11.2025, 20:07 --

Народ, вот что мне не понятно - почему-то никто не может решить эту задачку. Ну простая же ! Вот корзинщик, вот корзины. Лампы ещё.
В чём проблема то ?
Это не загадка Римана и не треугольник Пифагора, где мозги крепкие нужны.
Короче, не разочаруйте, а то разочаруюсь.

[mihaild]

Вот после добавления расхотелось давать подсказки, пока Вы не приведете самостоятельных попыток.
Если ничего не получается, то попробуйте начать со случая двух ламп.

[anahronizm]

mihaild в сообщении #1711086 писал(а):

расхотелось давать подсказки

Эх, уважаемый Михаил, Вы бы только знали, как много было тех, кто не смог решить эту задачу (пока никто не смог !).
Я уж привык, что "большие умы" делают серьёзные "лица", а сами исчезают под любым предлогом.
Эту задачку я придумал чуть более года назад, а до их пор никто (из тех, к кому я обращался, конечно) так и не смогли найти решения. Видимо, всем некогда.
Да, решение в общем виде я нашёл. Оно "корявенькое", но таки вполне себе решение.
Но хотелось бы услышать знатоков математики, как такую задачку решать ПРАВИЛЬНО, традиционными методами.
А чтобы задачка показалась ещё интереснее, можно добавить такой вопрос:
- В начале какой минуты своей работы корзинщик начнёт плести 28-ю корзину высотой 20 сантиметров.

-- 30.11.2025, 10:39 --

Но, уж коли правила сайта требуют, чтобы я предоставил своё решение, пусть оно будет таким:
Беру большой листочек бумаги и начинаю проверять каждое число от 1 до 10010.
И если оно не делится на 7,10,11,13, то ставлю возле него галочку. Потом считаю галочки и смотрю, какие рядом.
Секрет такой: каждая галочка - это высота 10 сантиметров !!!
А если галочки стоят рядом, то корзинка растёт.

[ozheredov]

anahronizm
Если он после перерыва начинает делать новую корзину, то каждая корзина делается в интервале четырехкратного пересечения интервалов светимостей ламп, не? И если встречаются корзины разной высоты, то Вы утверждаете, что эти пересечения имеют разную длину, верно?

-- 30.11.2025, 10:41 --

anahronizm в сообщении #1711111 писал(а):

Беру большой листочек бумаги и начинаю проверять каждое число от 1 до 10010.
И если оно не делится на 7,10,11,13, то ставлю возле него галочку. Потом считаю галочки и смотрю, какие рядом.
Секрет такой: каждая галочка - это высота 10 сантиметров !!!

Это численное решение. А вот допустим аналитическое решение есть?

[anahronizm]

ozheredov
Будут присутствовать корзины разной высоты до 60 см.
Почему 60 см - максимальная высота возможных корзин, надеюсь понятно.
Однако интересный факт: чем меньше размер корзин, тем их больше.
И конечно, будут корзины всех высот.
Какие идеи будут ?

-- 30.11.2025, 10:47 --

ozheredov в сообщении #1711115 писал(а):

anahronizm
Если он после перерыва начинает делать новую корзину, то каждая корзина делается в интервале четырехкратного пересечения интервалов светимостей ламп, не? И если встречаются корзины разной высоты, то Вы утверждаете, что эти пересечения имеют разную длину, верно?

-- 30.11.2025, 10:41 --

anahronizm в сообщении #1711111 писал(а):

Беру большой листочек бумаги и начинаю проверять каждое число от 1 до 10010.
И если оно не делится на 7,10,11,13, то ставлю возле него галочку. Потом считаю галочки и смотрю, какие рядом.
Секрет такой: каждая галочка - это высота 10 сантиметров !!!

Это численное решение. А вот допустим аналитическое решение есть?

Оно есть.

[Null]

Лень писать.
Во-первых заметим что $10010=7\times 10 \times 11\times 13$ и множители взаимно просты. Значит в каждая минута однозначно задается вектором $(t_7,t_{10},t_{11},t_{13})$, где $t_i$ это время сколько горит соответствующая лампочка, для определенности включая текущую минуту. В момент $t_i=i$ лампа не горит.
1. тривиально больше 6 минут лампочка-7 не горит и 4 лампы горят вместе первые 6 минут.
2.6-корзина бывает закончена только на векторах $(6,t_{10},t_{11},t_{13})$, где $t_i\ge 6$
3.3-корзина бывает начата на векторах $(t_7,t_{10},t_{11},t_{13})$ где $t_i\le i-3$ и одно из $t_i=i-3$. Тут нужно написать что в конце все в порядке - в последнюю минуту все лампочки не горят, а значит корзина будет закончена.
Это ПРР поэтому считать и доказывать не буду.

anahronizm в сообщении #1711111 писал(а):

В начале какой минуты своей работы корзинщик начнёт плести 28-ю корзину высотой 20 сантиметров.

Вот тут непонятно как формулу получать.

[anahronizm]

Null в сообщении #1711120 писал(а):

Это ПРР

А что такое ПРР ? Ну интересно же, почему при ПРР считать и доказывать не надо.

[Null]

(Оффтоп)

Помогите решить / разобраться - раздел форума
Считать и доказывать должны Вы, мы только подсказываем.
И этот разговор не относится к задаче.

[anahronizm]

Null в сообщении #1711125 писал(а):

Помогите решить / разобраться - раздел форума
Считать и доказывать должны Вы, мы только подсказываем.
И этот разговор не относится к задаче.

Точно ! Очень удобный способ избежать прямых ответов.
Ну, ладно, ладно, будем считать, что вы что-то знаете (в чём я лично не сомневаюсь).
Но задачка не решена.
Пока явно вырисовывается только одно решение - банальным перебором. Да только это долго и не эффективно.
При этом задача очень интересная и напрямую связана со структурой распределения простых чисел. Поэтому важно не только найти ответ, а подыскать РАЗЛИЧНЫЕ подходы к решению.
Вот я и пытаюсь расшевелить публику.
А так как я троешник и математику знаю плохо, то решение с векторами не понял, увы.
Мне бы формулами, соотношениями.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: раз топикстартер знает решение и предлагает другим попробовать свои силы, то, видимо, сюда.

[Null]

anahronizm в сообщении #1711141 писал(а):

А так как я троешник и математику знаю плохо, то решение с векторами не понял, увы.

Вы знаете Китайскую теорему об остатках? Если нет - разберитесь в её доказательстве.

[anahronizm]

mihaild в сообщении #1711086 писал(а):

попробуйте начать со случая двух ламп.

Да Вы гений !
Я тут посидел с листочками и выяснил странную и пугающую закономерность: в случае двух ламп всех корзин будет по две !! Ну, кроме самых больших. Их нужно считать по другой формуле.
А всех других - по две !! Всегда !! При любых двух лампах. Главное условие - периоды работы ламп взаимно простые.
Колдунство...
Да, это я уже знал. И почему такое происходит тоже выяснил - у меня исписана куча листов со схемами разбиения. Уже год в ящике пылятся.
Вот только нахрена я это делал - не понятно. Мне бы теорию почитать, где это русским по белому написано, а не изобретать слона из мухи.
Короче, мне интересно, какими РАЗЛИЧНЫМИ методами можно решить данную задачу в общем виде. И, конечно, рассмотреть возможные приложения.

[Null]

(нашел ошибку)

Ну тогда посчитаю
2.$3\times 4 \times 6 =72$
3. $4\times 7\times 8\times 10-3\times 6\times 7\times 9=1106$

Да При таких условиях корзина будет больше или равна нужного числа, нужно вычесть еще раз
2.$1\times 4\times 5 \times 7- 0\times 3\times 4 \times 6=140$ обсчитался эффетом $\pm 1$
3. $4\times 7\times 8\times 10-3\times 6\times 7\times 9-(3\times 6\times 7\times 9-2\times 5\times 6\times 8)=1106-654=452$

[anahronizm]

Null в сообщении #1711145 писал(а):

Вы знаете Китайскую теорему об остатках? Если нет - разберитесь в её доказательстве.

Огромное Вам спасибо !! Честно-честно.
Я не знаю, как тут устроена работа сайта, поэтому прям огромное спасибо !
А вот теорему об остатках понимаю плохо. Пытался разобраться в ней, но это уж было давно и пока не было необходимости возвращаться.
Однако, фокус в том, что решить данную задачу можно невзирая на остатки. Вообще пофиг на остатки. Единственное важное условие - периоды работы ламп взаимно простые.
Эту задачу я решил. А вот следующую, когда периоды работы ламп - произвольные, ещё нет. Времени не хватает: работаю механиком в сервисе, гайки кручу.
Может, кто-то представит общее решение, а лучше несколько разных подходов в решении.

-- 30.11.2025, 12:53 --

Null в сообщении #1711149 писал(а):

Ну тогда посчитаю
2.$3\times 4 \times 6 =72$
3. $4\times 7\times 8\times 10-3\times 6\times 7\times 9=1106$

Ответ не верный.
Самых больших корзин (60 см) 140 штук
Корзин, высотой 30 см, 452 штуки.
Теперь интереснее стало ?

[Null]

anahronizm в сообщении #1711154 писал(а):

Теперь интереснее стало ?

Нашел у себя ошибку.

anahronizm в сообщении #1711148 писал(а):

А всех других - по две !! Всегда !! При любых двух лампах. Главное условие - периоды работы ламп взаимно простые.

Доказал это, помогло найти ошибку.