Рачет давления на стенку для вязкого потока

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1706178 писал(а):

Вообще говоря, нет. Сила, действующая на единичную площадку стенки для несжимаемой вязкой жидкости будет
$F_i=-\sigma_{ik}n_k,$
а
$\sigma_{ik}=-\delta_{ik}P+\nu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_k}+\frac{\partial v_k}{\partial x_i}\right).$
Здесь $\nu$ - вязкость, и $n$ - внутренняя нормаль к поверхности.

Ну и?

$$ F_in_i = -p + 2\nu \frac{\partial v_i}{\partial x_j}n_in_j $$

На стенке последнее слагаемое ноль. Это даже понятно. Пусть ось $z$ перпендикулярна стенке. Тогда из нуля дивергенции следует, что $\partial v_z/\partial z = - \partial v_x/\partial x - \partial v_y/\partial y $. Но последнее ноль в силу того, что $v_i=0$ на всей стенке. Правда, это только для плоской стенки, для кривой в общем случае будет уже не так? Впрочем, не ноль, пожалуй, будет только вторая производная. Что-то не соображу на вскидку...

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1706309 писал(а):

На стенке последнее слагаемое ноль.

Кто бы спорил, конечно ноль. Тут дело в том, что уважаемый sergey zhukov обронил фразу что для расчета прочности прямой трубы на разрыв от вязкого потока достаточно учесть только нормальное напряжение на стенке (в условиях стационарного потока). Теперь он согласился с тем, что наивные соображения, что при малой вязкости касательными напряжениями можно пренебречь, оказываются неверными. Они одного порядка.

[realeugene]

amon в сообщении #1706317 писал(а):

Они одного порядка.

И близко не так. $\Delta P = - \frac {4\tau}D\Delta x$, где $\tau$ - вызванное вязкостью касательное напряжение на стенке с размерностью давления. То есть одно касательное напряжение срабатывается из статического давления потока на длине трубы, равном четверти её диаметра. А нормальное напряжение на стенку при этом равно давлению.

В любом случае, шланг может сорвать с крана и при отсутствии потока.

[svv]

Alex-Yu в сообщении #1706309 писал(а):

На стенке последнее слагаемое ноль. Это даже понятно. Пусть ось $z$ перпендикулярна стенке. Тогда из нуля дивергенции следует, что $\partial v_z/\partial z = - \partial v_x/\partial x - \partial v_y/\partial y $. Но последнее ноль в силу того, что $v_i=0$ на всей стенке. Правда, это только для плоской стенки, для кривой в общем случае будет уже не так? Впрочем, не ноль, пожалуй, будет только вторая производная. Что-то не соображу на вскидку...

Я проверил, что это будет так и для кривой стенки.

Возьмём точку на стенке, введём в её окрестности такие координаты $(x^1, x^2, x^3)$, чтобы в точках стенки векторы локального базиса $\mathbf e_1, \mathbf e_2$ были касательны к стенке, а $\mathbf e_3$ перпендикулярен ей. Тогда на стенке $x^3=\operatorname{const}$.

Ковариантная производная скорости
$v^i{}_{:j}=v^i{}_{,j}+\Gamma^i_{kj} v^k$
На стенке все $v^i=0$. Это можно дифференцировать вдоль стенки, так что частные производные $v^i{}_{,1}=v^i{}_{,2}=0$. Тогда и компоненты ковариантной производной $v^1{}_{:1}=v^2{}_{:2}=0$. Для несжимаемой жидкости $\operatorname{div}\mathbf v=v^i{}_{:i}=0$, значит, $v^3{}_{:3}=0$.

Вклад вязкости в нормальную компоненту силы, действующей на стенку, пропорционален
$\frac 1 2 (v_{i:j}+v_{j:i}) n^i n^j = v_{i:j}n^i n^j = v^i{}_{:j} n_i n^j$
Среди компонент $\mathbf n$ ненулевая только ковариантная $n_3$ и контравариантная $n^3$, так что это выражение равно
$v^3{}_{:3} n_3 n^3=0$.

[sergey zhukov]

amon
Я имел в виду, что для расчета прочности трубы есть случаи, когда можно учитыват только нормальное напряжение на стенку трубы, а касательным пренебечь. В самой стенке трубы при этом продольные напряжения на разрыв, конечно, могут быть значительными, просто они не от касательных напряжений на стенке возникают, а тоже от нормальных.

Прямая труба с открытым концом - это как раз не такой случай.

[realeugene]

svv в сообщении #1706362 писал(а):

Я проверил, что это будет так и для кривой стенки.

Зачем? Любая гладкая стенка - плоская на малых масштабах.

sergey zhukov в сообщении #1706367 писал(а):

Я имел в виду, что для расчета прочности трубы есть случаи, когда можно учитыват только нормальное напряжение на стенку трубы, а касательным пренебечь.

Можно пренебречь всегда. Длина любой трубы гораздо больше четверти её диаметра.

[sergey zhukov]

realeugene
Ну, тут, конечно, смотря что понимать под "пренебречь".

С одной стороны, в любом срезе прямой открытой трубы нормальные напряжения на внутренней стенке равны $P$, а нормальные напряжания вдоль оси трубы в материале трубы (которые тут возникают исключительно под действием касательных напряжений на стенке трубы) равны $P\frac{S_1}{S_2}$, где $S_1$ - площадь прохода трубы, $S_2$ - площадь среза стенки трубы. Тут вторые напряжения обычно даже больше, чем первые. В этом смысле "нельзя пренебречь", т.е. нельзя считать, что радиальные напряжения в стенке трубы есть, а осевых нет.

С другой стороны, если речь о том, что напряжение на стенке трубы можно почти всегда с высокой точностью считать нормальным, то да. Я думаю, можно какие-то хитрые случаи изобрести, когда это не так, но обычно, видимо, так.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1706374 писал(а):

которые тут возникают исключительно под действием касательных напряжений на стенке трубы

Только в прямой трубе при прямом истечении в воздух. Действительно, в этом случае статическое давление воды как раз пропорционально интегралу касательных напряжений на стенках от конца, и в очень длинной незакреплённой горизонтальной трубе эти напряжения могут стать заметными. Только очень длинных незакреплённых труб не бывает. И обычно если перекрыть поток на конце, эти напряжения в стенке будут больше, как и статическое давление.

[amon]

sergey zhukov в сообщении #1706367 писал(а):

В самой стенке трубы при этом продольные напряжения на разрыв, конечно, могут быть значительными, просто они не от касательных напряжений на стенке возникают, а тоже от нормальных.

Придется честное решение для пузейлевской трубы написать.
Тензор напряжений в вязкой жидкости

$$\sigma_{ik}=-\delta_{ik}P+\mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_k}+\frac{\partial v_k}{\partial x_i}\right).$$

Сила на единицу площади

$$f_i=-\sigma_{ik}n_k.$$

Зависимость скорости вдоль трубы от радиуса

$$v(r)=\frac{\Delta P}{4\mu L}(R^2-r^2)$$

Полная сила

$$F=f S.$$

Здесь $P$ -- давление, $\Delta P$ -- разность давлений на концах трубы, $\mu$ -- вязкость, $S=2\pi R L$ -- площадь поверхности стенок трубы. Подставляем:

$$F=\frac{\Delta P\cdot 2R \mu\cdot 2\pi R L}{4\mu L}=\pi R^2 \Delta P$$

Третья формула не работает для идеальной жидкости.

[realeugene]

amon в сообщении #1706870 писал(а):

$$F=\cdots=\pi R^2 \Delta P$$

Что есть просто закон сохранения импульса для участка трубы с водой внутри.

-- 23.10.2025, 17:40 --

amon в сообщении #1706870 писал(а):

Третья формула не работает для идеальной жидкости.

А без вязкости вода не может течь с постоянной скоростью без ускорения при ненулевой разности давлений на концах трубки тока. Второй закон Ньютона.

[sergey zhukov]

amon
Да кто же с этим спорит. Все верно.

[amon]

(Оффтоп)

sergey zhukov в сообщении #1706927 писал(а):

Да кто же с этим спорит.

А я в Вас и не сомневался. Но обсуждение этой задачки с вполне себе достойными физиками обнаружило ее глубокую контринтуитивность. Уважаемые люди стали рассказывать про реактивную силу и прочие в этой задачке непристойности. Поэтому решил, что надо привести честное гидродинамическое решение.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1706986 писал(а):

обнаружило ее глубокую контринтуитивность.

Да нет тут никакой контринтуитивности! Если труба длинная (при этом не закреплена) и вязкость не нулевая, то конечно тангенциальные силы, происходящие из вязкости, важны. При этом перепад давления сравним с самим давлением на входе (это и есть критерий длинности). Если же наоборот труба короткая, перепад давления мал по сравнению с самим давлением (конечно о свободном вытекании на выходе тут не может быть и речи), то на тангенциальные силы можно наплевать. И наконец при нулевой вязкости любая труба короткая (кстати, это означает невозможность свободного вытекания при нулевой вязкости). Поэтому предельный переход от длинной трубы к нулевой вязкости бессмысленен.

И "честное гидродинамическое решение" тут на фиг не нужно. Просто не надо валить в одну кучу разные, физически разные, ситуации.

P.S. Отдельного рассмотрения (и очень простого) требует случай, когда на выходе стоит заглушка. Конечно, при этом тоже возникнут силы, растягивающие трубу. Но вязкость вместе с приведенным решением тут совершенно ни при чем. Какая такая вязкость, если скорость просто ноль...

[realeugene]

Alex-Yu в сообщении #1706997 писал(а):

(кстати, это означает невозможность свободного вытекания при нулевой вязкости)

У идеальной жидкости ненулевая масса: задача свободного вытекания её из бака через отверстие внизу прекрасно ставится и решается без вязкости.

[Alex-Yu]

realeugene в сообщении #1706999 писал(а):

У идеальной жидкости ненулевая масса: задача свободного вытекания её из бака через отверстие внизу прекрасно ставится и решается без вязкости.

Да, конечно. Пропущены слова "без ускорения".