Запутался в комбинаторной задаче

[mihaild]

tolstopuz в сообщении #1725281 писал(а):

Для двух перемычек - легко.

Да, точно, не сообразил, что одна помеченная будет. Тогда надо 19 вариантов просить. Это немного жестоко, но если уж человек не хочет рассматривать вариант с $n = 2$.

[ukatan]

Хм, да уж.
Я оказался не прав, моя формула $S=(n!)^2 не работает.
Хотя два человека с "вышкой" говорили, что мои выводы верны.
Прошу прощения у сообщества за мои слова, высказывания и нападки.

Сейчас пытаюсь придумать другую формулу/формулы для случаев когда контактов в клемнике равно количеству перемычек и когда перемычек меньше, чем контактов.

[Someone]

ukatan в сообщении #1725325 писал(а):

Сейчас пытаюсь придумать другую формулу/формулы для случаев когда контактов в клемнике равно количеству перемычек и когда перемычек меньше, чем контактов.

Не надо придумывать, а потом с пеной у рта отстаивать придуманное. Надо выводить хорошо известными в элементарной комбинаторике методами. Тогда и отстаивать не придётся.

[ukatan]

Получается, что не получается закатать все случаи в одну формулу.

Всего получается есть три случая:

1. Одна перемычка.
Это сочетания сочетания.

2. Больше одной перемычки, но меньше чем количество клемм.
Это сочетания размещения.

3. Количество перемычек равно количеству клемм.
Это сочетания перестановки.

Я прав?

[wrest]

ukatan в сообщении #1725343 писал(а):

Получается, что не получается

Опять запутались в школьной задаче для 6-го класса?
А что вы имеете в виду под

ukatan в сообщении #1725343 писал(а):

сочетания сочетания.

ukatan в сообщении #1725343 писал(а):

сочетания размещения.

ukatan в сообщении #1725343 писал(а):

сочетания перестановки.

Можете сюда дать [ваши] определения всех трёх?

По поводу текущей задачи.

Если я правильно понял, то текущее запутывание у вас произошло в следующей задаче.
Пусть у нас есть два набора контактов: левый и правый. Контакты в каждом наборе пронумерованы. Слева имеется $l$ контактов (множество $L$), справа имеется $p$ контактов (множество $P$). Сколько есть способов установить $k$ перемычек ($k\le \min(l,p)$) таких, что к одному контакту подключается не более одной перемычки и перемычка соединяет левый и правый контакты.

Или, если коротко: сколько имеется различных биекций между подмножествами мощности $k$ множеств $L$ и $P$.
Эту задачу вы решаете?

Или это слишком уж общий случай и вам надо сперва разобраться с $l=p=3$ и $k=1,2,3$?

[ukatan]

wrest в сообщении #1725359 писал(а):

А что вы имеете в виду под

ukatan в сообщении #1725343 писал(а):

сочетания сочетания.

ukatan в сообщении #1725343 писал(а):

сочетания размещения.

ukatan в сообщении #1725343 писал(а):

сочетания перестановки.

Можете сюда дать [ваши] определения всех трёх?

l - количество клемм в левом клемнике, r - количество клемм в правом клемнике, $l=r
m - количество перемычек, $1\leqslant m \leqslant r
Для каждого случая у меня получилась отдельная формула:

1. $m=1
Число всех возможных комбинаций = $C_l^1 \cdot C_r^1

2. $1< m < r
Число всех возможных комбинаций = $C_l^m \cdot A_r^m

3. $m=r
Число всех возможных комбинаций = $C_l^m \cdot P_r

wrest в сообщении #1725359 писал(а):

Эту задачу вы решаете?

Изначально, я решал задачу $l=r=3$ и $m=3$, а потом уже перешёл на поиск решения для $1\leqslant m \leqslant r и вроде бы нашёл его (см. выше)
Вообще, эти формулы нужны для более больших значений l,r,m, но если они будут работать на маленьких значениях, то и на больших, я думаю, тоже.
Особенно для 2-го случая.

[mihaild]

ukatan в сообщении #1725379 писал(а):

Для каждого случая у меня получилась отдельная формула

А чем вас вторая не устраивает в первом и третьем случаях?

[wrest]

ukatan в сообщении #1725379 писал(а):

Вообще, эти формулы нужны для более больших значений l,r,m, но если они будут работать на маленьких значениях, то и на больших, я думаю, тоже.

Формулы должны работать на любых допустимых значениях.

[ukatan]

mihaild в сообщении #1725380 писал(а):

А чем вас вторая не устраивает в первом и третьем случаях?

Я над этим даже не задумывался. Начал с простого, $m=1 , потом $m=r, и последним был как раз второй случай $1< m < r. И попробовать применить его к первому и третьему, даже в голову не пришло.

wrest в сообщении #1725386 писал(а):

Формулы должны работать на любых допустимых значениях.

Ну тогда я спокоен.

А что скажете про первую задачу?

ukatan в сообщении #1695305 писал(а):

Задача №1 версия 2
Есть клеммная колодка


И пять перемычек


Сколько существует способов установить все перемычки?

Формула правильная?
$S=\frac{n!}{(2!)^{(n/2)}}=\frac {10\cdot9}{2!} \cdot \frac {8\cdot7}{2!} \cdot \frac {6\cdot5}{2!} \cdot \frac {4\cdot3}{2!} \cdot \frac {2\cdot1}{2!} = \frac{10!}{2!\cdot2!\cdot2!\cdot2!\cdot2!}$

[mihaild]

ukatan в сообщении #1725412 писал(а):

Формула правильная?

Подставьте $n=4$.
Вообще, спрашивать лучше не про формулу, а про то, как Вы её получили - это будет гораздо более полезный сигнал. Может быть у Вас правильная идея, но где-то мелкая ошибка, приводящая к неправильной формуле, а может быть наоборот, случайно получили правильную формулу неправильным рассуждениям (в простых задачах это бывает).

[ukatan]

mihaild в сообщении #1725414 писал(а):

Вообще, спрашивать лучше не про формулу, а про то, как Вы её получили - это будет гораздо более полезный сигнал.

Взял первую перемычку и по формуле сочетаний $C_n^2=\frac {n!}{2!(n-2)!}=\frac {10!}{2!(8)!}=\frac {10\cdot9\cdot8!}{2!\cdot8!}=\frac{10\cdot9}{2!}=45 $ получил ответ, что есть 45 вариантов установить первую перемычку. Потом уменьшил n на 2 и расчитал для второй. Потом перемножил результаты. В итоге получилась формула:
$S=C_1_0^2 \cdot C_8^2 \cdot C_6^2 \cdot C_4^2 \cdot C_2^2=\frac {10!}{2!(10-2)!} \cdot \frac {8!}{2!(8-2)!} \cdot \frac {6!}{2!(6-2)!} \cdot \frac {4!}{2!(4-2)!} \cdot \frac {2!}{2!(2-2)!} = $$\frac{10!}{2!\cdot2!\cdot2!\cdot2!\cdot2!} = \frac {10!}{2!^5}=113400$ вариантов установить все перемычки.

mihaild в сообщении #1725414 писал(а):

Подставьте $n=4$.

$S=C_4^2 \cdot C_2^2= \frac {4!}{2!(4-2)!} \cdot \frac {2!}{2!(2-2)!}=\frac{4!}{2!\cdot2!}=\frac {4!}{2!^2}=6
Получился правильный ответ