Самое короткое "не доказательство" теоремы Ферма

[mihaild]

Sergey#Vex в сообщении #1693734 писал(а):

А если без проскальзывания прокатить по плоскости получиться бесконечная фазовая плоскость по модулю м с комплексными числами и всеми законами векторного сложения

А ротор градуирует себя вдоль спина.

Sergey#Vex в сообщении #1693734 писал(а):

тут неудобно формулы писать

Рядом с формой ответа есть ссылка на краткую инструкцию, как писать формулы. Для целей данной темы - более чем достаточно.

[Booker48]

Sergey#Vex в сообщении #1693699 писал(а):

https://drive.google.com/file/d/1vh9fkA ... drive_link

Если вы об этой ссылке, то у меня не открывается, нет доступа. Но непонятно, что картинка даст.

-- 09.07.2025, 19:10 --

mihaild в сообщении #1693736 писал(а):

Рядом с формой ответа есть ссылка на краткую инструкцию, как писать формулы.

ТС вполне себе набрал формулы с векторами в стартовом сообщении.

[Sergey#Vex]

Доказательство аддитивности и мультипликативности фазовой развёртки
1. Определение фазовой развёртки
Для модуля $m \in \mathbb{N}$ и числа $n \in \mathbb{N}$ определим:
$\Phi(n) = \left(n \bmod m,\ \left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor\right) = (x_n, y_n) $

2. Доказательство аддитивности
Операция сложения в фазовой развёртке:
$\Phi(a) \oplus \Phi(b) = \left((x_a + x_b) \bmod m,\ y_a + y_b + \left\lfloor\frac{x_a + x_b}{m}\right\rfloor\right)$

Теорема:$\Phi(a + b) = \Phi(a) \oplus \Phi(b)$
Доказательство:
$a &= y_a m + x_a, \quad 0 \leq x_a < m $
$b &= y_b m + x_b, \quad 0 \leq x_b < m $
$a + b &= (y_a + y_b)m + (x_a + x_b)$

Рассмотрим два случая:
Если $x_a + x_b < m$:
$\Phi(a + b) &= (x_a + x_b, y_a + y_b) \\$
$\Phi(a) \oplus \Phi(b) &= (x_a + x_b, y_a + y_b + 0) = (x_a + x_b, y_a + y_b)$

Если $x_a + x_b \geq m$:

$a + b &= (y_a + y_b + 1)m + (x_a + x_b - m) \\$
$\Phi(a + b) &= (x_a + x_b - m, y_a + y_b + 1) \\$
$\Phi(a) \oplus \Phi(b) &= (x_a + x_b \bmod m, y_a + y_b + 1)= (x_a + x_b - m, y_a + y_b + 1) \\$

В обоих случаях $\Phi(a + b) = \Phi(a) \oplus \Phi(b)$.

3. Доказательство мультипликативности
Операция умножения в фазовой развёртке:
$\Phi(a) \otimes \Phi(b) = \left(x_a x_b \bmod m,\ y_a x_b + y_b x_a + \left\lfloor\frac{x_a x_b}{m}\right\rfloor\right)$
Теорема: $\Phi(ab) = \Phi(a) \otimes \Phi(b)$
Доказательство:
$ab &= (y_a m + x_a)(y_b m + x_b) \\$
$&= y_a y_b m^2 + (y_a x_b + y_b x_a)m + x_a x_b$

Фазовая развёртка произведения:
$\Phi(ab) &= \left(x_a x_b \bmod m,\ \left\lfloor\frac{ab}{m}\right\rfloor\right) \\$
$&= \left(x_a x_b \bmod m,\ y_a y_b m + y_a x_b + y_b x_a + \left\lfloor\frac{x_a x_b}{m}\right\rfloor\right)$

Сравниваем с:
$\Phi(a) \otimes \Phi(b) = \left(x_a x_b \bmod m,\ y_a x_b + y_b x_a + \left\lfloor\frac{x_a x_b}{m}\right\rfloor\right)$

Таким образом, $\Phi(ab) = \Phi(a) \otimes \Phi(b)$. \qed

Оба свойства выполняются.

[mihaild]

Sergey#Vex в сообщении #1693753 писал(а):

$\Phi(a + b) = \Phi(a) \oplus \Phi(b)$

Можно было сразу так и определить $\oplus$. Пока что это просто неудобный способ записывать натуральные числа.

Sergey#Vex в сообщении #1693714 писал(а):

$\vec{a^3 + b^3} = \vec{s^3} + \vec{-3ab \cdot s}.$

Как определяется $\vec{x} \cdot y$ (умножение "вектора" на скаляр)? Опять просто наследуем умножение из натуральных чисел (т.е. $\overrightarrow{x \cdot y}$)?

Что такое "горизонтальная" и "вертикальная" компоненты?

Sergey#Vex в сообщении #1693714 писал(а):

$\vec{c^3} = \vec{s^3} + \vec{-3ab \cdot s}.$

Давайте я даже распишу в ваших обозначениях: $(0, a^2 - ab + b^2) = (0, (a+b)^2) - (0, 3ab)$. И в чём проблема?

[Sergey#Vex]

Мои обозначения дело вкуса. Что такое горизонталь - это n mod m, вертикаль это$\left\lfloor n/m\right\rfloor$. вроде бы очевидно, что когда вектора мне надо выбрать направления. Цилиндр же. "Пока что это просто неудобный способ записывать натуральные числа." почему? А комплексные числа, видимо тоже, неудобный способ записать число).

[Booker48]

Booker48 в сообщении #1693725 писал(а):

Не понял. Ну, горизонтальные компоненты у обоих слагаемых равны 0. И что из этого следует?

mihaild в сообщении #1693765 писал(а):

Давайте я даже распишу в ваших обозначениях: $(0, a^2 - ab + b^2) = (0, (a+b)^2) - (0, 3ab)$. И в чём проблема?

[mihaild]

Sergey#Vex в сообщении #1693714 писал(а):

-$\vec{-3ab \cdot s} $ортогонален к направлению$ \vec{s^3}$(имеет только вертикальную компоненту).

Что такое в данном случае "ортогонален"? (как определяется скалярное произведение?)

Sergey#Vex в сообщении #1693714 писал(а):

Невозможно получить $\vec{c^3}$ как сумму коллинеарного и ортогонального векторов

Если вы тут явно напишете коллинеарного и ортогонального чему ("С одной стороны чего? С другой стороны чего?" - Алиса), то, возможно, сами поймете, где ошибка.

Sergey#Vex в сообщении #1693770 писал(а):

"Пока что это просто неудобный способ записывать натуральные числа." почему?

Потому что есть биекция между натуральными числами и вашими "векторами", сохраняющая операции. И если убрать все стрелочки, то равенства сохранятся, а операции станут стандартными.

Sergey#Vex в сообщении #1693770 писал(а):

А комплексные числа, видимо тоже, неудобный способ записать число

Не бывает просто "чисел". Алгебраическая структура вещественных и комплексных чисел сильно отличается.
Как записывать комплексное число $a + bi$ - вот так, или как $(a, b)$, или даже как $\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a\end{pmatrix}$ - не очень важно; в большинстве случаев удобнее всего первый способ, поэтому обычно им и пользуются.
Другие способы записи вводить можно, но стоит это делать когда это дает какие-то преимущества кроме запутывания читателя.

[Sergey#Vex]

Операции сохраняются если убрать стрелочки..... такой операции в векторном сложении нет.

[Батороев]

(Оффтоп)

Не могу согласиться с заголовком темы, в частности, со словом "самое". Ближе к концу страницы по ссылке приведено мое "не доказательство":
topic12163-30.html