Самое короткое "не доказательство" теоремы Ферма

[Sergey#Vex]

Фазовая развёртка по модулю — геометрический подход к анализу чисел
https://drive.google.com/file/d/1vh9fkAc7qzQPLUXsicxN_RxVOgsh_VIt/view?usp=drive_link
Суть метода
Фазовая развёртка отображает натуральные числа на двумерную решётку:

Фаза (x): n mod m (остаток от деления на модуль)

Уровень (y): целая часть от деления n/m

Геометрически это можно представить как намотку числовой прямой на цилиндр с шагом m. Числа 0, m, 2m и так далее выстраиваются по одной вертикали.

Ключевые свойства
Простые числа при m=6 лежат только в фазах 1 и 5, так как числа с фазами 0, 2, 3 и 4 делятся на 2 или 3.
Кратные числа образуют прямые линии. Например, кратные 2 при m=6 имеют последовательность фаз 2, 4, 0, 2 и так далее.
"Дырки" в решётке соответствуют простым числам — они занимают позиции, не занятые кратными паттернами.
Доказательство невозможности равенства$ a^3 + b^3 = c^3 $ через фазовую развёртку

Теорема: Не существует натуральных чисел ( a, b, c geq 1 ), удовлетворяющих уравнению:
$ a^3 + b^3 = c^3 $

1. Векторное представление в фазовой развёртке
Выберем модуль развёртки $m = a + b$ . Каждое число n представляется как вектор:
$ \vec{n} = (n \mod m, \lfloor n/m \rfloor)$

Для суммы $s = a + b$ :
$ \vec{s} = (0, 1) $
$\vec{s^3} = (0, \lfloor s^3/m \rfloor) = (0, s^2)$

2. Разложение суммы кубов
Используем неполное биномиальное разложение:
$ a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)= s^3 - 3abm $


В векторной форме:
$ \vec{a^3 + b^3} = \vec{s^3} - (0, 3ab) = (0, s^2 - 3ab)$

3. Условие равенства $a^3 + b^3 = c^3$
Если равенство существует, то:
$ \vec{c^3} = (c^3 \mod m, \lfloor c^3/m \rfloor) = (0, s^2 - 3ab) $

Из условия $c^3 \equiv 0 \mod m$ следует:
$ m \mid c^3 $
$(a + b) \mid c^3 $

4. Анализ уровней
Сравним координаты:
$\lfloor c^3/m \rfloor = s^2 - 3ab$
$ \lfloor s^3/m \rfloor = s^2$

Разность уровней:
$ \Delta y = 3ab \neq 0 \quad \forall a, b \geq 1$

5. Конфликт в разложении
Представим $ c$ как:
$ c = k \cdot d $
где $ d = \gcd(c, m) $. Тогда:
$ c^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Требуется одновременное выполнение:
$1. a + b = k^3$
$2. a^2 - ab + b^2 = p^3$

Но для $a, b \geq 1$ :
$ a^2 - ab + b^2 < (a + b)^2$
$ p^3 < k^6 $
$ p < k^2$

При этом:
$ c = k \cdot p < k \cdot k^2 = k^3 = a + b $

Но из $c^3 = a^3 + b^3 $ следует $c > \max(a, b)$ , что приводит к противоречию при $ a, b \geq 2$ .


6. Геометрическая интерпретация
В фазовой развёртке по $m = a + b$ :
- Вектор $\vec{a^3 + b^3}$ имеет ненулевую вертикальную компоненту $-3ab $
- Вектор $\vec{c^3}$должен совпадать с $\vec{a^3 + b^3}$, но:
$ \exists \text{ паразитный вектор } 3ab(a + b)$
делающий равенство невозможным.

Вывод:
$\boxed{\nexists a, b, c \in \mathbb{N} : a^3 + b^3 = c^3}$
Это согласуется с доказательством Эйлера для случая $n = 3 $ Великой теоремы Ферма. Паразитный член $ 3ab(a + b) $в разложении всегда нарушает коллинеарность векторов. Фазовая развёртка по модулю — геометрический подход к анализу чисел.

Аналогично через неполное разложение Бинома Ньютона ВТФ Не доказывается для любого n>2.
Причина: даже на векторной плоскости, любой вектор само пересекается в каждой точке то есть взяв n-1 векторов на длину n - мы получим пересечение не только в точке n, но также в любой точке вектора. Для такой конструкции не просто найти Инвариант. Как минимуму нам надо иметь конструкцию n-ой мерности. Поэтому все доказательства по определению невозможны пока не найден Инвариант для $ a^n + b^n = c^n , n>2$.

[mihaild]

Sergey#Vex в сообщении #1693699 писал(а):

Для суммы $s = a + b$ :
$ \vec{s} = (0, 1) $
$\vec{s^3} = (0, \lfloor s^3/m \rfloor) = (0, s^2)$

Не вижу в правой части зависимости от $a$ и $b$.

И что такое $m$?

[Sergey#Vex]

$s= a+b$ - при чем тут зависимость? это обычное равенство мы выбираем единичный вектор, для удобства обозначений.
$m $- модуль фазовой развёртки. На какое количество "столбиков" делится вся числовая прямая.))

[mihaild]

А, оно там выше записано в середине строки.

Sergey#Vex в сообщении #1693699 писал(а):

$1. a + b = k^3$

Не доказано, но пока неважно.

Sergey#Vex в сообщении #1693699 писал(а):

$c > \max(a, b)$ , что приводит к противоречию при $ a, b \geq 2$

Каким образом? $c$ больше максимума, но меньше суммы. Это очевидно и без всяких разговоров о модулях с авторской терминологией. Где противоречие?

[Sergey#Vex]

Не надо вырывать кусочки текса из доказательства.
При этом:
$ c = k \cdot p < k \cdot k^2 = k^3 = a + b $

Но из $c^3 = a^3 + b^3 $ следует $c > \max(a, b)$ , что приводит к противоречию при $ a, b \geq 2$ .
Вот полный блок. а про$ $ a + b = k^3$$- тут все просто у нас есть разложении Бинома Ньютона- тесть сумма a + b должна равняться какому разложению простых, и чтобы в итоге получился куб нам надо взять строго $ $ a + b = k^3$$, если будит в a + b какой то простой не в кубе у нас не будит вся правая часть бинома в кубе.

[mihaild]

Sergey#Vex в сообщении #1693703 писал(а):

Не надо вырывать кусочки текса из доказательства

Доказательство должно идти по шагам. И каждый шаг должен четко из своих посылок выводить следствия. Где противоречие-то?

Sergey#Vex в сообщении #1693703 писал(а):

у нас есть разложении Бинома Ньютона

Разложение чего?

Sergey#Vex в сообщении #1693703 писал(а):

если будит в a + b какой то простой не в кубе у нас не будит вся правая часть бинома в кубе

Не доказано (и толком не сформулировано).

[Sergey#Vex]

Лучше изменить на чисто векторное доказательство, без векторов действительно невозможно доказать $a+b=k^3$ как правильно заметил пользователь mihaild поэтому "не доказательство" удлиняется
Короткое доказательство через вектор-паразит

Теорема:
Не существует натуральных чисел $a, b, c \geq 1, для которых a^3 + b^3 = c^3.$



1. Векторное представление
Рассмотрим числа в фазовой развёртке по модулю$m = a + b$:
- Каждое число $n $ → вектор$\vec{n} = (n \mod m, \lfloor n/m \rfloor)$

Для суммы кубов:

$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = s^3 - 3ab \cdot s,$

где $s = a + b.$

2. Вектор-паразит
Разложим векторно:

$\vec{a^3 + b^3} = \vec{s^3} + \vec{-3ab \cdot s}.$


Ключевые свойства:
1.$ \vec{s^3}$ направлен строго по вертикали (т.к. $s^3 \equiv 0 \mod m$),
2. $\vec{-3ab \cdot s} $имеет:
- Горизонтальную компоненту: 0 (т.к. $s \equiv 0 \mod m$),
- Вертикальную компоненту: $-3ab$ (ненулевую при $a, b \geq 1$).

3. Неколлинеарность
Для выполнения $a^3 + b^3 = c^3$ необходимо:

$\vec{c^3} = \vec{s^3} + \vec{-3ab \cdot s}.$

Но:
- $\vec{c^3}$ должен быть коллинеарен$ \vec{s^3}$ (т.к. оба кратны $m$),
-$\vec{-3ab \cdot s} $ортогонален к направлению$ \vec{s^3}$(имеет только вертикальную компоненту).

Итог:
Невозможно получить $\vec{c^3}$ как сумму коллинеарного и ортогонального векторов.

---

Почему это достаточное доказательство?
1.Геометрически:
- Паразитный вектор $3ab \cdot s $"сбивает" направление, добавляя строго вертикальное смещение.
- Нет механизма компенсации этого смещения в целых числах.



Вывод:
$\boxed{\text{Вектор-паразит } -3ab \cdot s \text{ делает равенство } a^3 + b^3 = c^3 \text{ невозможным.}} $
Это строго доказывает случай $n=3$ теоремы Ферма без сложных вычислений.

[Someone]

Sergey#Vex в сообщении #1693714 писал(а):

Почему это достаточное доказательство?

Ни почему не достаточное. Это что-то совершенно невнятное.

[Booker48]

Sergey#Vex в сообщении #1693714 писал(а):

Ключевые свойства:
1.$ \vec{s^3}$ направлен строго по вертикали (т.к. $s^3 \equiv 0 \mod m$),
2. $\vec{-3ab \cdot s} $имеет:
- Горизонтальную компоненту: 0 (т.к. $s \equiv 0 \mod m$),
- Вертикальную компоненту: $-3ab$ (ненулевую при $a, b \geq 1$).

Не понял. Ну, горизонтальные компоненты у обоих слагаемых равны 0. И что из этого следует?
Кстати, сложение для этих "векторов" требует определения.
Допустим, как "векторно" сложить 3 и 5 по модулю 7?

[Sergey#Vex]

все просто $3+5 $это в координатах $(3,0)+(5,0)= (8 mod 7=1,\left\lfloor8/7=1\right\rfloor)$ и того (1,1)
если берем модуль четко $ m=a+b$, но $a^n+b^n$ получается фазовый сдвиг, и нет возможности поделить $a^n+b^n$ на вектора длиной с ,$c^(n-1)$ раз. это следует из разложения неполного бинома Ньютона.

[wrest]

Sergey#Vex в сообщении #1693714 писал(а):

Рассмотрим числа в фазовой развёртке по модулю$m = a + b$:
- Каждое число $n $ → вектор$\vec{n} = (n \mod m, \lfloor n/m \rfloor)$

Ну можно было и по-человеческии написать, $n=km+r, r<m$ и тогда

Sergey#Vex в сообщении #1693699 писал(а):

Для суммы $s = a + b$ :
$ \vec{s} = (0, 1) $
$\vec{s^3} = (0, \lfloor s^3/m \rfloor) = (0, s^2)$

получаем:
$s=1\cdot s +0$
$s^3=s^2 \cdot s +0$
ну и т.п. зачем векторы ещё тут?

[Booker48]

Sergey#Vex в сообщении #1693729 писал(а):

но $a^n+b^n$ получается фазовый сдвиг, и нет возможности поделить $a^n+b^n$ на вектора длиной с ,$c^(n-1)$ раз. это следует из разложения неполного бинома Ньютона.

Как это следует из "разложения неполного бинома Ньютона"?
Эти "рассуждения" можно ведь приложить и к пифагоровым тройкам? Там тоже фазовые сдвиги и можно декларировать что угодно.)))
И да, при чём здесь "вектора", если никакие операции из векторной алгебры здесь неприменимы?

[Sergey#Vex]

Booker48 в сообщении #1693731 писал(а):

Sergey#Vex в сообщении #1693729 писал(а):

но $a^n+b^n$ получается фазовый сдвиг, и нет возможности поделить $a^n+b^n$ на вектора длиной с ,$c^(n-1)$ раз. это следует из разложения неполного бинома Ньютона.

Как это следует из "разложения неполного бинома Ньютона"?
Эти "рассуждения" можно ведь приложить и к пифагоровым тройкам? Там тоже фазовые сдвиги и можно декларировать что угодно.)))
И да, при чём здесь "вектора", если никакие операции из векторной алгебры здесь неприменимы?

там ссылка на рисунок открывается? А вектора почему- я просто задал любое число как вектор $\vec{n} = (n \mod m, \lfloor n/m \rfloor)$ . Конечно отдельно надо было доказывать справедливость сложения умножения, но это элементарная задачка не хотел удлинять "не доказательство" , ай я не показал главное. - геометрический аналог развертки это цилиндр с намотанной на неё числовой прямой с частотой m. Я его так и сочинил когда вырезал полосу бумаги в клеточку длиной 6 клеточки сдвинул на одну клетку и склеил- получилось бесконечная спираль. Я так гипотезу простых близнецов исследовал а там формула у них 6к+1 и 6к-1.

[mihaild]

Sergey#Vex в сообщении #1693732 писал(а):

Конечно отдельно надо было доказывать справедливость сложения умножения

Сформулируйте и докажите. И, кстати, напишите, как вы умножаете ваши "вектора" на скаляры

Sergey#Vex в сообщении #1693714 писал(а):

$\vec{a^3 + b^3} = \vec{s^3} + \vec{-3ab \cdot s}.$

А лучше - не морочьте голову и перепишите правда всё

wrest в сообщении #1693730 писал(а):

по-человеческии написать, $n=km+r, r<m$

[Sergey#Vex]

А если без проскальзывания прокатить по плоскости получиться бесконечная фазовая плоскость по модулю м с комплексными числами и всеми законами векторного сложения. На ней точки числовой прямой стали прямыми произведение это пересечения прямых. Сложение перенос вектора на фазу.

-- 09.07.2025, 22:56 --

mihaild в сообщении #1693733 писал(а):

Sergey#Vex в сообщении #1693732 писал(а):

Конечно отдельно надо было доказывать справедливость сложения умножения

Сформулируйте и докажите. И, кстати, напишите, как вы умножаете ваши "вектора" на скаляры

Sergey#Vex в сообщении #1693714 писал(а):

$\vec{a^3 + b^3} = \vec{s^3} + \vec{-3ab \cdot s}.$

А лучше - не морочьте голову и перепишите правда всё

wrest в сообщении #1693730 писал(а):

по-человеческии написать, $n=km+r, r<m$

тут неудобно формулы писать. Есть статьи на гитхабе.. тут ссылки можно кидать? Если по-другому эту формулу не напишешь .