Точное количество простых чисел в интервале

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1681096 писал(а):

Да, есть ещё работа Дэвида Платта, которая подтверждает результат BFJK: https://arxiv.org/pdf/1203.5712

Обе статьи посвящены одному методу, но эта статья более доходчивая. Там, как раз в разделе 3, приводится формула Перрона. Об этой формуле на русском можно прочитать здесь https://mi-ras.ru/noc/lectures/02changa.pdf Это довольно простая книжечка по аналитической теории чисел, с которой я начинал.

Связь формулы Перрона с рассматриваемой задачей вытекает из ряда, абсолютно сходящегося при $Re(s) > 1$:
$\log \zeta(s) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s \log n},$ где $\Lambda$ — функция Мангольдта.

Далее говорить бесполезно, пока Вы не прочитаете эту книжечку.

[Yadryara]

Спасибо. А Вы точно уверены что мне нужно все 58 страниц осилить? Может нужно смотреть только те страницы которые имеют отношение к статье Платта?

И трудно усвоить инфу, когда нет ни одного численного примера. Необязательно доказательство, интересно посмотреть как формулы работают численно, на простейших примерах.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1687324 писал(а):

Спасибо. А Вы точно уверены что мне нужно все 58 страниц осилить? Может нужно смотреть только те страницы которые имеют отношение к статье Платта?

Раздел 6 можно не читать. Остальное желательно.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1687296 писал(а):

Зачем?

Бесконечность указывается когда суммирование по индексу/номеру, тут же внизу просто указан сам нетривиальный ноль, не его индекс или номер или величина (для комплексных числе трудно указать отношение меньше/больше, понимаете, ро просто нельзя сравнить с бесконечностью или любым конечным числом и казать достигли верхнего предела или нет). Сейчас Вы смешали в одном месте сами объекты (нетривиальные нули) и их количество (бесконечное), это нехорошо. Если хотите бесконечность сверху, то снизу надо индекс/номер нетривиального нуля, а в теле не просто ноль, а тоже с индексом, как-то так: $\sum\limits_{i=1}^\infty \operatorname{li}(x^{\rho_i})$ - видите, не ро, а ро-итое, вот тогда i пробегает с 1 до бесконечности (и в этом случае тоже можно просто написать внизу $i \in \mathbb{N}$, а сверху оставить пустым). А кода просто сам нетривиальный ноль, то он не до бесконечности берётся, это их штук берётся бесконечное количество, т.е. все, и это никак указывать не надо, это и так уже указано снизу (один символ ро - значит сумма по всем ро). Ну как-то так. Впрочем математики поправят если слишком уж занудствую (что возможно).

[svv]

Yadryara в сообщении #1687296 писал(а):

svv, а Вы в кортежные темы заглядывали?

Нет, это для меня всегда был другой мир.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1687394 писал(а):

в теле не просто ноль, а тоже с индексом, как-то так: $\sum\limits_{i=1}^\infty \operatorname{li}(x^{\rho_i})$

Согласен. Что думаете про работу Платта? Как бы попробовать хоть что-то посчитать, хоть какой-то способ улучшения сходимости суммы по этим самым дзета-нулям применить?

Мне очень трудно читать и ничего не считать.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1687443 писал(а):

Мне очень трудно читать и ничего не считать.

Посмотрите здесь https://mahalex.net/teaching/algebra/Buchstab.pdf стр 349. С этого начиналось уточнение $\pi(x)$.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1687307 писал(а):

Об этой формуле на русском можно прочитать здесь https://mi-ras.ru/noc/lectures/02changa.pdf Это довольно простая книжечка по аналитической теории чисел

Надеюсь, Вы начали читать эту книжечку. Обратите внимание на теорему 6 - это преобразование Меллина для ряда Дирихле. Это Ваша формула

Yadryara в сообщении #1687035 писал(а):

$$\frac{1}{s}\ln \zeta(s)=\int\limits_0^\infty \frac{J(x)}{x^{s+1}}dx.(1)$$

В теореме 6 нижний предел равен 1. Ряд Дирихле в этом случае имеет вид

vicvolf в сообщении #1687307 писал(а):

$\ln \zeta(s) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s \ln n},$ где $\Lambda$ — функция Мангольдта.

$J(x)$ восстанавливается из формулы (1) с помощью обратного преобразования Меллина, которая и является формулой Перрона (теорема 7):

$$J(x)=\frac {1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}{\frac{\ln \zeta(s)x^s}{s}ds},(2)$$

что соответствует формуле (3.1) статьи https://arxiv.org/pdf/1203.5712

[Yadryara]

Начать-то я начал.

Но то ли обозначения непонятные, то ли ещё что. Вы видели как мы с Дмитрием подробно объясняли Evgeniy101 ? Прям на численных примерах, возвращаясь, уточняя и задавая контрольные вопросы. И так и эдак, и в итоге на самом простом паттерне. И в конце концов он понял.