Закон исключённого третьего

[Skipper]

mihaild в сообщении #1661901 писал(а):

я утверждаю, что модель такой моей хитрой аксиоматики - тоже натуральные числа

То есть $c$ - это у вас "натуральное число" ?
Ну это очевидно, что не так.

Ваше $c$ - это бесконечное натуральное что ли? Это же противоречит определению натуральных.

Напоминает случай споров многих альтернативщиков, о том, что якобы почему это каждое натуральное число конечное, а мощность множества натуральных - бесконечное.

mihaild в сообщении #1661901 писал(а):

И Вы никаким списком аксиом "запретить" нестандартные натуральные числа не сможете.

Просто если из ваших аксиом, будут следовать подобные "натуральные" то это будет противоречить здравому смыслу, и "доказательства" следующие из таких аксиом, восприматься как истинные, не могут.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1661884 писал(а):

epros в сообщении #1661876 писал(а):

Невычислима эта функция и в классическом анализе, здесь конструктивный анализ ничего нового не предложил. Тут просто вопрос терминологии: С точки зрения конструктивного анализа то, что невычислимо, не может считаться определённой "функцией".

Согласен, но это все же наводит на определенные не очень хорошие мысли касательно того, стоит ли класть понятие вычислимости в основу анализа.

ИМХО, в основу анализа стоит положить идею, что истинность должна подтверждаться доказательством. Поскольку доказательство - это некая формализованная исполнимая процедура, внезапно и оказывается, что алгоритмическая вычислимость - в основе конструктивного анализа.

Skipper в сообщении #1661885 писал(а):

Вы привели пример, утверждения, где, в одной аксиоматике неразрешимо, а в другой - доказуемо.
А есть примеры, по которым утверждение в одной аксиоматике истинно, а в другой - ложно?

Теорема Гудстейна "ложна" (в смысле - опровержима) в той аксиоматике, которая определяет ту нестандартную модель арифметики Пеано первого порядка (PA), которую построили авторы, доказавшие неразрешимость теоремы Гудстейна в PA.

Skipper в сообщении #1661885 писал(а):

А что такое "нестандартное натуральное число" ?

По определению это число, которое больше любого стандартного. А вот какие числа считать стандартными - это в значительной степени вопрос вкуса. По крайней мере, 1, 2 и 3 все обычно считают стандартными.

[EminentVictorians]

Skipper
Для модели mihaild аксиомы Пеано выполняются? Выполняются. Значит это натуральные числа. (Это при условии, если мы принимаем такое определение: натуральные числа - это что-угодно, для чего выполняются аксиомы Пеано).

Я использую другое определение натуральных чисел. Для меня натуральные числа - это тупо множество. А средства, которые я считаю приемлемыми для рассуждений - это, грубо говоря, ZFC. Поэтому у меня, например, никаких разных натуральных чисел нету, т.к. я могу доказать теорему (в ZFC), что все модели арифметики Пеано изоморфны между собой. Конечно, мне на этом месте начинают говорить, что у самой ZFC есть нестандартные модели, но я, во-первых, не уверен, что мой набор средств - это в точности ZFC (но это еще ладно), а во-вторых, я считаю, что я поймал бога за бороду и работаю в понятной и обозримой стандартной модели, а на все остальные модели ZFC мне пофигу. Но это тонкий лед.

(Оффтоп)

А если совсем честно, мне на все эти приколы матлогики более-менее по барабану, потому что я в принципе перестал относиться к "установлению истинности" утверждений как основной цели математики.

[dgwuqtj]

epros в сообщении #1661872 писал(а):

Насколько я понимаю, доказательство ВТФ многие не приемлют именно по причине того, что оно выполнено в излишне сильной с их точки зрения аксиоматике.

Я думаю, что даже если напишут доказательство исключительно в рамках примитивно рекурсивной арифметики страниц на 30 000, ферматистов это не устроит. Им же нужно доказательство, понятное на школьном уровне, а не в простой аксиоматике. Путь даже и с использованием простенькой теории множеств с аксиомой выбора.

[Skipper]

epros в сообщении #1661905 писал(а):

Теорема Гудстейна "ложна" (в смысле - опровержима) в той аксиоматике, которая определяет ту нестандартную модель арифметики Пеано первого порядка (PA), которую построили авторы, доказавшие неразрешимость теоремы Гудстейна в PA.

Арифметика Пеано первого порядка - стандартная?
Почему некая "модель" основанная на ней, "нестандартная"?

Или только из этой нестандартной модели Теорема Гудстейна "ложна" , или из любой, в основе аксиоматики Пеано первого порядка?

-- Пн ноя 18, 2024 14:56:15 --

epros в сообщении #1661905 писал(а):

По определению это число, которое больше любого стандартного. А вот какие числа считать стандартными - это в значительной степени вопрос вкуса. По крайней мере, 1, 2 и 3 все обычно считают стандартными

Так любое натуральное число по определению- конечно? Значит и все нестандартные - конечны?
Какой тогда смысл разбивать их на стандартные и нестандартные?

Это что то типа того, что вот $1, 2, 3, ... 1000$, то стандартные, а дальше уже $1001, 1002, ...$ - нестандартные? И из-за такого разделения появляется некая дополнительная возможность доказывать ранее недоказуемые теоремы?

[mihaild]

Skipper в сообщении #1661902 писал(а):

То есть $c$ - это у вас "натуральное число" ?
Ну это очевидно, что не так.

Очевидно, что это так. Натуральные числа - это элементы структуры, удовлетворяющей аксиомам Пеано. Ну или приведите любое другое определение натуральных чисел. Которое позволит с ними работать без мордобоя.

Skipper в сообщении #1661908 писал(а):

Арифметика Пеано первого порядка - стандартная?

Вопрос бессмысленен.
"Стандартность" - это не свойство вообще всего.
"Стандартными" бывают модели PA (и некоторых штук, в которые они погружаются, например ZF). И причем не сами по себе, а относительно моделирующей мета-модели.

Вообще, прежде чем рассуждать на эти темы, познакомьтесь всё-таки с четкими определениями моделей, теорий, истинности в модели, доказуемости в теории, и как это всё связано. "Языки и исчисления" Верещагина и Шеня, или любая другая аналогичная книжка.

[Skipper]

mihaild в сообщении #1661910 писал(а):

Ну или приведите любое другое определение натуральных чисел.

Тут на форуме много тем, где толкуют что любое натуральное число - конечное. Особенно новичкам, которые хотят занумеровать действительные числа.

Потому я и спросил, вы не ответили, ваше натуральное число $c$ - конечное, или у вас появились бесконечные натуральные числа?
Другами словами, длина записи вашего числа $c$ - конечное число "цифр" ? Или бесконечное, как у действительных от 0 до 1, после нуля, и точки за нулём, означающей отделение дробной части?

-- Пн ноя 18, 2024 15:22:14 --

Цитата:

То есть $c$ - это у вас "натуральное число" ?

mihaild в сообщении #1661910 писал(а):

Очевидно, что это так.

Это так (т.е. ваше число натуральное) вот по такому описанию -

Цитата:

добавим константу $c$ и аксиомы $c \neq 0$, $c \neq 1$, $c \neq 2$ и т.д.

Поскольку после вашего "и т.д." ничего нет, то правильно ли можно сделать вывод, что ваше натуральное число - бесконечное, и имеет бесконечную длину записи?
Или вы специально после "и т.д." ничего не поясняете..

Если бесконечное, то и длина записи бесконечна, и то какое следующее будет натуральным, относительно этого- (запись)-
3333... {бесконечное число цифр}
?

[epros]

Skipper в сообщении #1661887 писал(а):

epros в сообщении #1661883 писал(а):

Это зависит от того, как мы определим понятие "натурального числа".

Вот тут я в ступоре. Как ещё можно определить натуральные числа, кроме общепризнанного способа?

А какой способ "общепризнанный"? Элементарная арифметика (без сложения и умножения)? Арифметика Пресбургера (со сложением без умножения)? Арифметика Робинсона (со сложением и умножением, но без индукции)? Примитивно рекурсивная арифметика (со всеми примитивно рекурсивными функциями, но с индукцией, ограниченной только примитивно рекурсивными предикатами)? Арифметика Пеано первого порядка (с индукцией по всем формулам первого порядка)? Арифметика Пеано второго порядка (с индукцией по всем предикатам, включая не выражаемые формулами)? Или, как предложил EminentVictorians, взять некую теорию множеств (например, ZFC), определить в ней "натуральные числа" как элементы минимального индуктивного множества, инкремент - как $x \cup \{x\}$, а операции сложения и умножения теми же аксиомами, что и в арифметике Пеано? Или сразу уж брать более сильные варианты теории множеств?

Skipper в сообщении #1661890 писал(а):

Если мы считаем, что это очевидно: после каждого натурального числа N должно идти следующее за ним натуральное число N+1, и оно такое, которого не было до него, т.е. не было из чисел меньших N, то записываем это в аксиомы.

А как иначе? Это же очевидно.

Это не "очевидно", а просто часть определения понятия "натурального числа". Отсюда возникло понятие о бесконечности: Если для любого числа есть следующее, значит "нет конца". Сомневаюсь, что малышам или совсем древним людям это было "очевидно". Для них наверняка логичнее было бы предположить, что числа на чём-то должны закончиться.

[Skipper]

epros в сообщении #1661913 писал(а):

Если для любого числа есть следующее, значит "нет конца".

Я не спорю, что нет конца. Мощность множества натуральных бесконечно- но видел много тем, где утверждалось, при этом, что каждое конкретное натуральное число- конечное.
А тут привели какие то новые определения-аксиомы, а на вопрос, числа ваши натуральные конечные или нет, никто как будто нарочно, не хочет ответить..

[Mikhail_K]

Skipper в сообщении #1661911 писал(а):

ваше натуральное число $c$ - конечное, или у вас появились бесконечные натуральные числа?

Зависит от определения конечности. Изнутри модели число $c$ кажется таким же, как все (т.е. конечным), извне модели - бесконечно большим.

Skipper в сообщении #1661866 писал(а):

В общепризнанной <аксиоматике>, в той же в которой доказаны нынешние теоремы из теории чисел, натуральных, простых и т.д.

Заметьте, что аксиома выбора тогда к этой общепризнанной аксиоматике точно относится. Есть очень небольшой процент математиков, которые следят за тем, чтобы не использовать в своих рассуждениях аксиому выбора. Подавляющее большинство её свободно используют, даже зачастую этого не замечая и специально не отмечая.

Skipper в сообщении #1661767 писал(а):

А всякие аксиомы выбора - это неинтуитивные, спорные понятия, раз уж споры так долго ведутся.

Не ведётся об аксиоме выбора никаких споров давно. Они велись, когда эта аксиома была сформулирована. С тех пор все заняли относительно неё ту или иную позицию (причём позиция большинства - что её можно свободно использовать и считать самоочевидной). Сторонники разных позиций друг с другом давно не спорят - потому что бесполезно, и потому что такой спор просто не относится к математике. В конце концов, и геометрия Евклида, и геометрия Лобачевского к математике относятся; ровно так же, теория множеств с аксиомой выбора и теория множеств без этой аксиомы - одинаково уважаемые математические теории (хотя первая - мейнстрим, а вторая - экзотика; особенно с точки зрения математиков, которые работают не в области оснований).

Skipper в сообщении #1661880 писал(а):

Натуральные числа- основа всего, они не могут быть "искривлёнными" или ещё какими, как пространство Лобачевского.

Кажется, что Вы не прочитали или не поняли это моё пояснение:

Mikhail_K в сообщении #1661765 писал(а):

Кажется, что это так, но некоторое место для сомнений здесь остаётся. Понятно, что если речь идёт о простых числах, не превышающих миллиона, или не превышающих $10^{100}$, или не превышающих $10^{10^{100}}$, или не превышающих $10^{10^{{\ldots}^{10}}}$ (башня из $10^{10^{100}}$ десяток) - то скорее всего можно говорить об "абсолютной истине". Потому что в теории некое высшее существо могло бы проверить все такие числа одно за другим и установить справедливость интересующего утверждения. Но все числа, до которых мы можем таким способом "дотянуться" - в т.ч. такие вот башни из десяток - стоят лишь в самом начале натурального ряда, а само множество натуральных чисел бесконечно. Грубо говоря, большинство натуральных чисел для нас недосягаемы - и "абсолютная истинность" каких-то фактов о них уже не столь очевидна. Вполне может быть так, что с точки зрения одной модели какое-то число вполне себе конечное (хотя и настолько большое, что мы не можем его записать за всю жизнь с помощью любых наших формул, и не можем оценить время, за которое смогли бы это сделать), а с точки зрения другой модели такого числа просто нет.

Skipper в сообщении #1661911 писал(а):

Тут на форуме много тем, где толкуют что любое натуральное число - конечное.

Разные пояснения предназначены для собеседников разного уровня.
Для тех, кто просто не понимает, что такое натуральные числа, даже на школьном уровне - такие вот пояснения на пальцах, что они "все конечные". Без объяснения, что это, собственно, значит.
Для тех, кто, наоборот, думает, что слишком хорошо понимает - такие вот примеры нестандартных моделей.

Добавлю ещё такой момент, который многие Ваши собеседники наверняка подумали, но не стали писать. Мне не очень нравится ваш тон ведения дискуссии. Создаётся впечатление, что Вы пришли сюда спорить и отстаивать своё мнение, а не слушать и разбираться.

[Skipper]

Mikhail_K в сообщении #1661915 писал(а):

не слушать и разбираться

Очень внимательно всех слушаю.
Я хочу понять истину. И не спорю, видно же, что просто спрашиваю.

Mikhail_K в сообщении #1661915 писал(а):

Изнутри модели оно кажется таким же, как все (т.е. конечным), извне модели - бесконечно большим.

Спасибо за уточнение!

Но как то .. и "конечное и бесконечное" одновременно, этого я пока понять не могу.

Что-то подозрительная модель, которая допускает подобное, потому и доказательства из неё (теорема Гудстейна верна), видимо такие что нет смысла верить.

Видимо потому ранее и доказали что теорема Гудстейна неверна.

Что то не так в модели или расширенной системе аксиом арифметики второго уровня.

-- Пн ноя 18, 2024 15:41:12 --

epros в сообщении #1661883 писал(а):

а в арифметике Пеано второго порядка - доказуема. Значит ли это, что её следует принять за "абсолютную истину"? Да ничего подобного.

Вот это видимо так. Нет истины в таком доказательстве.

[svv]

Skipper в сообщении #1661885 писал(а):

А есть примеры, по которым утверждение в одной аксиоматике истинно, а в другой - ложно?

Возможно, Вы ищете что-то такое. Или такое.

[epros]

Skipper в сообщении #1661908 писал(а):

Арифметика Пеано первого порядка - стандартная?
Почему некая "модель" основанная на ней, "нестандартная"?

"Нестандартной" её назвали скорее всего потому что она содержит числа, которых нет в моделях, которые посчитали более стандартными. В частности, если к арифметике Пеано первого порядка добавить аксиому о её непротиворечивости, то в такой аксиоматике теорема Гудстейна уже будет доказуема, т.е. существования таких чисел, которые её нарушают, она не допускает.

Это ведь достаточно "стандартно" - предположить, что арифметика Пеано первого порядка непротиворечива и даже записать это в виде аксиомы?

Skipper в сообщении #1661908 писал(а):

Так любое натуральное число по определению- конечно? Значит и все нестандартные - конечны?
Какой тогда смысл разбивать их на стандартные и нестандартные?

Это масло масляное. Конечность и определяется натуральным числом: Если элементы множества можно пронумеровать числами до некоторого, то оно "конечно".

Если и стоит говорить о "бесконечности" некоторого числа, то только в смысле такого определения "натурального числа", согласно которому оно само "натуральным числом" не является. Например, нестандартные числа можно считать "бесконечными" только в том смысле, что они не являются стандартными (т.е. "в стандартном смысле" не являются натуральными числами). Вот такой парадокс.

[Skipper]

svv в сообщении #1661920 писал(а):

Возможно, Вы ищете что-то такое
. Или такое
.

Да читал я про это.. Там более абстрактные понятия - континуум-гипотеза, геометрия Лобачевского, аксиома выбора.
Но вот проблемы с таким фундаментальным понятием, как натуральные числа, как мне представляется (и я заметил ранее, многим тоже), в плане некой абсолютной истинности, быть не должно.
Если какая то теорема однозначно доказана, утверждение истинно. А если появляются всякие непонятные "нестандартные натуральные числа", и бесконечные и конечные одновременно, и тому подобные непонятные интуитивно вещи, и даже противоречивость в доказательствах ("тут в модели доказано", "тут опровергнуто"), то тут абсолютной истины и нет.

-- Пн ноя 18, 2024 16:00:57 --

epros в сообщении #1661922 писал(а):

Это масло масляное. Конечность и определяется натуральным числом: Если элементы множества можно пронумеровать числами до некоторого, то оно "конечно".

Ну так был же выше пример, что пронумеровали (исключенные) не "до некоторого", а "и т.д."

[epros]

Skipper в сообщении #1661923 писал(а):

epros в сообщении #1661922 писал(а):

Это масло масляное. Конечность и определяется натуральным числом: Если элементы множества можно пронумеровать числами до некоторого, то оно "конечно".

Ну так был же выше пример, что пронумеровали не "до некоторого", а "и т.д."

Я не всё успеваю прочитать. Но нумеровать нужно "до некоторого". Если есть максимальный номер элемента, то множество конечно, если его нет, то бесконечно.