Закон исключённого третьего

[Skipper]

Закон исключённого третьего утверждает, что для любого утверждения $A$
истинно высказывание " А или отрицание $A$ ", или, точнее,
о том, что либо $A$ истинно, либо $A$ ложно.

Но могут существовать утверждения (и это доказано Гёделем), такие что
ни "истинность $A$" ни "отрицание $A$" недоказуемы.

Причём иногда сам факт этой недоказуемости обоих утверждений, иногда можно доказать.
Пусть например, $A$ = "число пар простых чисел-близнецов лишь конечно",
значит "отрицание $A$" = "число пар простых чисел-близнецов бесконечно".
И доказали сам факт недоказуемости обоих этих утверждений.

Получается, никогда никто (в будущем) не узнает конечно ли количество таких пар
простых чисел-близнецов (пример, $11$ и $13$, $101$ и $103$, и т.д.).

Первый может сказать, "ну если это недоказуемо, я посчитаю что $A$ - истинно, включу
как новую аксиому, и буду строить дальнейшие суждения, теоремы и т.д.",

Второй может сказать, "ну если это недоказуемо, я посчитаю что отрицание $A$ - истинно,
включу как новую аксиому, и буду строить дальнейшие суждения, теоремы и т.д.",

А третий может утверждать так- если нельзя доказать ни $A$ ни отрицание $A$,
то не работает "Закон исключённого третьего",
то есть,
не для любого утверждения (!) $A$ мы можем утверждать, что
истинно высказывание " А или отрицание $A$".
$А$ может быть не истинно ни одно из них,

$A$ - не истинно и не ложно,
отрицание $A$ - не истинно и не ложно,
а возможен третий вариант- высказывание $A$ - непостижимое к установлению
истинности, и обозначить неким значком "знак_непостижимости"$A$.

Например,
1) ?$A$ - непостижимое (причём абсолютно, тут никто в будущем, никакая высшая цивилизация и даже Бог это никогда не узнают, т.к. нельзя за конечное время проверить все числа),

2) $\neg A$ - утверждение A ложно,

3) $A$ - утверждение A истинно.

Выходит 3 варианта, и Закон исключённого третьего может не работать,
а вместе с ним многие доказательства от противного , которые используют этот закон, и которые зависят от некоторого недоказуемого утверждения.

Правильно?

[Skipper]

Значит, и закон исключенного третьего не может быть аксиомой,

[iifat]

Skipper в сообщении #1661676 писал(а):

я посчитаю что $A$ - истинно, включу как новую аксиому

... И получите противоречивую систему аксиом. По крайней мере, насколько я помню, у Гёделя доказывается именно что если есть вывод $A$, то есть и вывод $\overline A$ и наоборот.

-- 17.11.2024, 14:57 --

Skipper в сообщении #1661681 писал(а):

закон исключенного третьего не может быть аксиомой

Может, разумеется. Кто ж ему запретит.

[Skipper]

Цитата:

И получите противоречивую систему аксиом

Это почему же?

Цитата:

у Гёделя доказывается именно что если есть вывод $A$, то

Так $A$ не может быть доказано, значит и не может быть "выведено". А значит, может быть только взято
как аксиома, если нам "нравится" её истинность, (или наоборот, ложность).
Третий вариант - математик не принимает ни истинность ни ложность, раз уж принципиально нет доказательства. (обоих случаев- истинности утверждения и ложности).

Т.е. утверждение может иметь 3 значения: $A =$ $\left\lbrace true, false, undefinable \right\rbrace$?

[dgwuqtj]

Skipper в сообщении #1661676 писал(а):

А третий может утверждать так- если нельзя доказать ни $A$ ни отрицание $A$,
то не работает "Закон исключённого третьего",

Давайте не путать истинность с доказуемостью. Доказуемость (выводимость) - это просто возможность написать логический вывод. Такой вывод (из перечислимой системы аксиом) может даже искать компьютер. А истинность не требует выбирать аксиомы, она использует модель, типа множества натуральных чисел, и в классической математике подчиняется закону исключённого третьего.

Можно, конечно, вообще забыть про модели (особенно если не верить в существование $\mathbb N$ и тем более класса всех множеств) или работать с неклассической логикой, там всякое бывает.

[Skipper]

dgwuqtj в сообщении #1661687 писал(а):

А истинность не требует выбирать аксиомы, она использует модель, типа множества натуральных чисел, и в классической математике подчиняется закону исключённого третьего.

Что-то недопонял, что значит "истинность не требует выбирать аксиомы а использует модель"?
Возьмём, общепринятую модель арифметики, или систему аксиом, на которой она строится.
Вышеописанный вопрос (о бесконечном или конечном количестве простых чисел-близнецов), допустим,
недоказуем, в этой модели (или в общепризнанной системе аксиом). И сам факт недоказуемости
был доказан.

На каком основании, тогда мы можем что-то утверждать об истинности (этого утверждения A) ?
Получается оно может быть ни истинным ни ложным, а неопределяемым..

[dgwuqtj]

Skipper в сообщении #1661690 писал(а):

Возьмём, общепринятую модель арифметики, или систему аксиом, на которой она строится.
Вышеописанный вопрос (о бесконечном или конечном количестве простых чисел-близнецов), допустим,
недоказуем, в этой модели (или в общепризнанной системе аксиом). И сам факт недоказуемости
был доказан.

Так модель или аксиомы? Если мы возьмём модель $\mathbb N$, то нас выводимость не волнует (аксиомы не фиксированы, выводить не из чего). Но любая замкнутая арифметическая формула будет истинной или ложной, её истинность определяется индукцией по построению, просто неконструктивно. Скажем, $\forall x\, \varphi(x)$ истинна тогда и только тогда, когда истинны все $\varphi(0), \varphi(1), \varphi(2), \ldots$.

Если же взять аксиомы Пеано, то из недоказуемости из них про истинность бесконечности количества простых-близнецов ничего сказать нельзя. Оно просто будет невыводимым и неопровергаемым, ну и что? Вдруг в более сильной аксиоматике, тоже общепринятой, можно доказать или опровергнуть...

-- 17.11.2024, 10:36 --

Skipper в сообщении #1661684 писал(а):

Т.е. утверждение может иметь 3 значения: $A =$ $\left\lbrace true, false, undefinable \right\rbrace$?

В классической модели только $\{\text{true}, \text{false}\}$, в классическом естественном выводе (или какой вам больше нравится) — $\{\text{provable}, \text{refutable}, \text{undefined}\}$.

[Евгений Машеров]

Skipper в сообщении #1661676 писал(а):

Причём иногда сам факт этой недоказуемости обоих утверждений, иногда можно доказать.
Пусть например, $A$ = "число пар простых чисел-близнецов лишь конечно",
значит "отрицание $A$" = "число пар простых чисел-близнецов бесконечно".
И доказали сам факт недоказуемости обоих этих утверждений.

А можно про это подробнее?

[Skipper]

Цитата:

в классическом естественном выводе (или какой вам больше нравится) — $\{\text{provable}, \text{refutable}, \text{undefined}\}$.

Вот я про это. Если вывели (доказали), то получается,
$ provable \to true$
если доказали обратное, то
$ refutable \to false $ .

Насколько я помню, наш преподаватель по мат.анализу, утверждал про истинность и ложность, только
после доказательства утверждения, или доказательства его отрицания.

Если доказан факт недоказуемости, то остаётся 3-й вариант, именно
$undefinable$ .

Цитата:

Оно просто будет невыводимым и неопровергаемым, ну и что? Вдруг в более сильной аксиоматике, тоже общепринятой, можно доказать или опровергнуть..

Так это аналогично, что сам факт "$A$ истинно", или наоборот, мы примем как аксиому,
потому что вот там нам "больше нравится"..

Цитата:

Если мы возьмём модель $\mathbb N$, то нас выводимость не волнует (аксиомы не фиксированы, выводить не из чего).

Вряд ли мы таким образом, с помощью "модели", без вывода из аксиом, можем что-то установить
конечно или бесконечное количество пар простых чисел близнецов.
Там используется аналитическая теория чисел, для сложных утверждений, и это в основном область
комплексного анализа, с его мощным аппаратом, некими аксиомами, и обязательными доказательствами,
для установления истинности.

-- Вс ноя 17, 2024 10:02:32 --

Цитата:

А можно про это подробнее?

А что непонятного? Согласно теореме Гедёля, существуют недоказуемые утверждения $A$ ,
равно как и отрицания этих утверждений. Иногда сам факт этой недоказуемости может быть доказан.

Так, например, доказали что континуум-гипотеза недоказуема.
Я под таким утверждением привёл пример $A$ = "число пар простых чисел-близнецов лишь конечно".
Может оказаться что это недоказуемо, также и отрицание недоказуемо,
и тогда про $A$ можно сказать, что оно неопределяемо, (другими словами, непостижимо и т.п. утверждения),
и может быть ни истинным, ни ложным.

Закон исключённого третьего утверждает, что для любого утверждения $A$
либо $A$ истинно, либо $A$ ложно. Выходит, не всегда так, и есть третий вариант- неопределяемость.

[dgwuqtj]

Skipper в сообщении #1661701 писал(а):

Там используется аналитическая теория чисел, для сложных утверждений, и это в основном область
комплексного анализа, с его мощным аппаратом, некими аксиомами, и обязательными доказательствами,
для установления истинности.

Ну так это явно не аксиомы Пеано. Есть распространённое мнение, что все такие методы (почти вся современная математика) формализуема в $\mathrm{ZFC}$. Но на практике почти ничего в виде формального вывода не записано, доказательства в книгах и статьях все неформальные. И они явно опираются на понятия о классе всех множеств, о $\mathbb N$, могут смешивать теорию с метатеорией, использовать компьютерные вычисления, и т.д. Так что исключительно с помощью "неких аксиом" вы тоже особо ничего не докажете, это долго и неудобно.

Skipper в сообщении #1661701 писал(а):

Так это аналогично, что сам факт "$A$ истинно", или наоборот, мы примем как аксиому,
потому что вот там нам "больше нравится"..

Вот если мы формалисты, которые воспринимают математику только как формальные манипуляции со строчками (формулами), то так можно делать. Но большинство всё-таки работает с моделью, а аксиомы выбирает из соображений удобства, и часто дополняют их неформальными аргументами. Из распространённых формальных систем есть $\mathrm{PA}$, арифметики второго порядка, $\mathrm{ZFC}$, теории множеств с большими кардиналами, $\mathrm{ZFC} + \mathrm{CH}$, теории типов...

[Евгений Машеров]

Ну, то есть утверждение, что "гипотеза близнецов" недоказуема, является лишь Ващим личным мнением?

[dgwuqtj]

Skipper в сообщении #1661701 писал(а):

Закон исключённого третьего утверждает, что для любого утверждения $A$
либо $A$ истинно, либо $A$ ложно.

Кстати, закон же как раз является частью логического вывода, это аксиома $A \vee \neg A$ для каждой формулы $A$. Когда его неформально читают как "любое утверждение истинно или ложно", имеют в виду модель (иначе нельзя говорить про истинность), но как аксиома он всегда выводим.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1661676 писал(а):

Причём иногда сам факт этой недоказуемости обоих утверждений, иногда можно доказать

Его никогда нельзя доказать в исходной теории (если она достаточно хорошая). И его всегда (если он вообще верен) можно доказать хоть в какой-то теории.

Skipper в сообщении #1661676 писал(а):

А третий может утверждать так- если нельзя доказать ни $A$ ни отрицание $A$,
то не работает "Закон исключённого третьего",

И получить двойку на экзамене. Потому что путает истинность и доказуемость.

iifat в сообщении #1661683 писал(а):

По крайней мере, насколько я помню, у Гёделя доказывается именно что если есть вывод $A$, то есть и вывод $\overline A$ и наоборот

Это в исходной теории. Разумеется, если $A$ в исходной теории недоказуемо и неопровержимо, то по теореме о полноте можно добавить к исходной теории хоть $A$, хоть $\neg A$, и получить равнонепротиворечивую с исходной тоерию.
В частности, если арифметика Пеано непротиворечива, то теория $PA$ + "арифметика Пеано противоречива" тоже непротиворечива :)

[Skipper]

Евгений Машеров в сообщении #1661730 писал(а):

Ну, то есть утверждение, что "гипотеза близнецов" недоказуема, является лишь Ващим личным мнением?

Где я такое сказал? Я сказал, что существуют такие гипотезы, факт недоказуемости которых может быть доказан. (далее "предположим, что такая гипотеза- это о бесконечности чисел-близнецов" (для наглядности)).
А гипотеза о конечности или беснонечности простых числах-близнецов, может быть и истинной и ложной и недоказуемой.
Потому как удобный пример, "если это так", я её и предложил для наглядности.
Можно использовать другую. Вопрос то не в этом заключается.
А в том, что мы не можем про любое утверждение говорить что оно или истинно или ложно?

Вот в чём вопрос.

-- Вс ноя 17, 2024 20:54:28 --

mihaild в сообщении #1661747 писал(а):

Его никогда нельзя доказать в исходной теории (если она достаточно хорошая).

Не знаю, в интернете неоднократно читал про такие вещи, что даже такие сложные гипотезы как Римана, вполне могут оказаться недоказуемыми.

-- Вс ноя 17, 2024 20:55:55 --

mihaild в сообщении #1661747 писал(а):

Его никогда нельзя доказать в исходной теории (если она достаточно хорошая).

С развитием математики, это вполне возможно, в будущем, так это представляется.
Континуум-гипотезу тоже долгое время пытались доказать, пока не доказали факт недоказуемости.

-- Вс ноя 17, 2024 21:06:56 --

mihaild в сообщении #1661747 писал(а):

Потому что путает истинность и доказуемость.

Насколько я помню, наш преподаватель по мат.анализу, утверждал про истинность и ложность, только
после доказательства утверждения, или доказательства его отрицания.

Если сам факт недоказуемости (в общепризнанной теории) был доказан, то
На каком основании, тогда мы можем что-то утверждать об истинности (этого утверждения $A$) ?

Цитата:

но как аксиома он всегда выводим.

Так это не выведение по сути. "Не можем доказать, тогда давайте истинность добавим как новую аксиому, потому что так нам больше нравится" ?

mihaild в сообщении #1661747 писал(а):

И его всегда (если он вообще верен) можно доказать хоть в какой-то теории.

А вот это интересно. Есть общепринятая теория, согласно которой многое сейчас и доказывается. Возможно сейчас, (или позже) она станет настолько полной, что привлечение каких-то новых аксиом, будет очевидно, надуманным, и не имеющим смысла.
Потому что есть аксиомы, которые как бы очевидны согласно здравому смыслу. И вот если в такой теории, докажут факт недоказуемости какого то утверждения что тогда?

А тогда привлечение какой то неочевидной, надуманной аксиомы, будет по смыслу, такое же, как без всяких оснований, включение в аксиому самого утверждения $A$ .
Но какой смысл тогда говорить об истинности этого утверждения ?
Другой включит аксиомой её отрицание, и какой смысл тогда считать её ложной?

Выходит, нет абсолютной очевидной истинности в данном случае,

-- Вс ноя 17, 2024 21:16:52 --

Цитата:

привлечение какой то неочевидной, надуманной аксиомы, будет по смыслу, такое же, как без всяких оснований, включение в аксиому самого утверждения $A$ .

Дополню. Вот к примеру.
Новая аксиома "простых чисел-близнецов бесконечное количества", как пример, согласитесь, совсем надуманное, неочевидное, (как и множество других подобных), в отличие от аксиомы например,

"после каждого натурального числа $n$ существует большее на единицу, натуральное число $(n+1)$".

Так что эти "расширения теорий" или систем аксиом, кажется, безгранично продолжаться не могут.

-- Вс ноя 17, 2024 21:25:34 --

mihaild в сообщении #1661747 писал(а):

И его всегда (если он вообще верен) можно доказать хоть в какой-то теории

А что означает "вообще верен" ?
Помнится, я подобный случай приводил раньше на dxdy, здесь же, полагая, что утверждение "бесконечное количество простых чисел-близнецов" вообще верно , или вообще не верно.
Но мне здесь же стали утверждать, что-то типа, что "вообще" может не иметь смысла, или какой то абсолютной истины. А результат, зависеть только от аксиом которые мы приняли на веру.

Теперь, получается наоборот, я утверждаю, в чём меня здесь раньше убеждали, что может не быть ответа на вопрос "вообще истинно" или нет, а мне пишут обратное, что может быть всегда ответ "вообще верно" утверждение или нет?

[mihaild]

Skipper в сообщении #1661757 писал(а):

Не знаю, в интернете неоднократно читал про такие вещи, что даже такие сложные гипотезы как Римана, вполне могут оказаться недоказуемыми

Может, но как это связано с предыдущим?

Skipper в сообщении #1661757 писал(а):

Континуум-гипотезу тоже долгое время пытались доказать, пока не доказали факт недоказуемости

И доказали не в той теории, в которой хотели доказать саму гипотезу. В ZF доказывается, что ZF, ZF + CH и ZF + $\neg CH$ равнонепротиворечивы.
Если ZF непротиворечива, то в ней ни для одного утверждения нельзя доказать, что это утверждение недоказуемо в ZF.

Skipper в сообщении #1661757 писал(а):

На каком основании, тогда мы можем что-то утверждать об истинности (этого утверждения $A$) ?

В логике нет понятий "основание" и "утверждать".

Skipper в сообщении #1661757 писал(а):

Но какой смысл тогда говорить об истинности этого утверждения ?

Никакого. Поэтому я считаю что нужно запретить говорить об истинности утверждений вообще, и разрешить говорить только об истинности в моделях.