Закон исключённого третьего

[Skipper]

epros в сообщении #1661872 писал(а):

Утверждения про натуральные числа можно доказывать в аксиоматике Пеано первого или второго порядка, а можно - в любой из аксиоматик теории множеств - просто ZF или ZFC, или добавив в неё гипотезу континуума, существование недостижимых кардиналов или что угодно ещё. Результаты будут разными

Разными? Ого, значит какая то теория неверна, если из ваших аксиоматик, например, окажется в одной что гипотеза верна, а в другой- неверна.

Чему тогда верить? Это значит что есть какие то неочевидные аксиомы, такие как например аксиомы выбора, или ещё какие будут придуманы в будущем.
Можно признать, что утверждение "истинно", "ложно", или "непостижимое",

но вот такого чтобы и "истинно" в одной аксиоматике, "ложно" в другой- это уже за гранью. Если это гипотеза Римана, чему верить? Значит одну из аксиоматик, придётся выбросить?

-- Пн ноя 18, 2024 13:18:03 --

epros в сообщении #1661872 писал(а):

любая истина должна быть доказана, поэтому и закон исключённого третьего, а вместе с ним и двузначность логики не принимается

Вот это уже намного ближе к пониманию, спасибо!

[mihaild]

Skipper в сообщении #1661878 писал(а):

но вот такого чтобы и "истинно" в одной аксиоматике, "ложно" в другой- это уже за гранью

Такую ситуацию точно в интересной области обнаружил Лобачевский, а возможно - и до него.

Skipper в сообщении #1661878 писал(а):

Значит одну из аксиоматик, придётся выбросить?

Достаточно выбросить идею о каких-то "фундаментальных" натуральных числах.

(Оффтоп)

epros в сообщении #1661872 писал(а):

Насколько я понимаю, доказательство ВТФ многие не приемлют именно по причине того, что оно выполнено в излишне сильной с их точки зрения аксиоматике. На этом форуме для таких людей даже специальный раздел выделен.

На практике этот раздел в первую очередь для людей, которые вообще не очень хорошо знают, что такое аксиоматика.

[Skipper]

EminentVictorians в сообщении #1661875 писал(а):

epros в сообщении #1661872 писал(а):

Ну, можете посмотреть на этот вопрос с точки зрения конструктивного анализа. Там ведь, как бы, основная идея в том, что любая истина должна быть доказана, поэтому и закон исключённого третьего, а вместе с ним и двузначность логики не принимается.

Зато там простейшие функции типа

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0, x < 0 \\ 1, x \geqslant 0 \\ \end{array} \right. $$

оказываются невычислимыми.

А что тут "невычислимое" есть?

-- Пн ноя 18, 2024 13:22:34 --

Цитата:

Такую ситуацию точно в интересной области обнаружил Лобачевский, а возможно - и до него.
Достаточно выбросить идею о каких-то "фундаментальных" натуральных числах.

Вы про пространство Лобачевского? Но какое это сравнение с натуральными числами?
Натуральные числа- основа всего, они не могут быть "искривлёнными" или ещё какими, как пространство Лобачевского.

-- Пн ноя 18, 2024 13:23:17 --

Цитата:

Насколько я понимаю, доказательство ВТФ многие не приемлют именно по причине того, что оно выполнено в излишне сильной с их точки зрения аксиоматике. На этом форуме для таких людей даже специальный раздел выделен.

А где этот раздел?

-- Пн ноя 18, 2024 13:25:53 --

Цитата:

Утверждения про натуральные числа можно доказывать в аксиоматике Пеано первого или второго порядка, а можно - в любой из аксиоматик теории множеств - просто ZF или ZFC, или добавив в неё гипотезу континуума, существование недостижимых кардиналов или что угодно ещё.

Континуума- спорная, так же как и "аксиома выбора".

Включить все интуитивно очевидные - аксиоматику Пеано первого или второго порядка, и ZF (может ещё аксиомы счётного выбора добавить) - в одну общую модель, и в ней доказывать?
Вот эта модель и будет общепризнанной, и аксиоматика такая, что никто не будет говорить, "я не верю этой аксиоме, доказательство не принимаю".

[epros]

Skipper в сообщении #1661878 писал(а):

Чему тогда верить? Это значит что есть какие то неочевидные аксиомы, такие как например аксиомы выбора, или ещё какие будут придуманы в будущем.
Можно признать, что утверждение "истинно", "ложно", или "непостижимое",

но вот такого чтобы и "истинно" в одной аксиоматике, "ложно" в другой- это уже за гранью. Если это гипотеза Римана, чему верить?

Зачем Вам вообще во что-то "верить"?

Примеров арифметических утверждений, доказуемых, опровержимых или неразрешимых в зависимости от аксиоматики, сколько угодно. Взять ту же набившую оскомину теорему Гудстейна. В арифметике Пеано первого порядка она неразрешима, а в арифметике Пеано второго порядка - доказуема. Значит ли это, что её следует принять за "абсолютную истину"? Да ничего подобного. Неразрешимость её в арифметике Пеано первого порядка была доказана построением модели, в которой выполнены все аксиомы Пеано, но тем не менее есть пример числа, которое теорему Гудстейна нарушает.

Кто сказал, что такие числа (их называют "нестандартными") не имеют права на существование? Это зависит от того, как мы определим понятие "натурального числа".

Skipper в сообщении #1661878 писал(а):

Значит одну из аксиоматик, придётся выбросить?

Можете выбросить (или временно отложить в сторону) все аксиоматики, кроме той, которая Вам нужна для решения конкретной задачи.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1661876 писал(а):

Невычислима эта функция и в классическом анализе, здесь конструктивный анализ ничего нового не предложил. Тут просто вопрос терминологии: С точки зрения конструктивного анализа то, что невычислимо, не может считаться определённой "функцией".

Согласен, но это все же наводит на определенные не очень хорошие мысли касательно того, стоит ли класть понятие вычислимости в основу анализа.

Skipper в сообщении #1661880 писал(а):

А что тут "невычислимое" есть?

Функция $f$. Ну, более фундаментально, это все идет от того, что проблема сравнения двух вычислимых чисел алгоритмически неразрешима.

[Skipper]

epros в сообщении #1661883 писал(а):

теорему Гудстейна. В арифметике Пеано первого порядка она неразрешима, а в арифметике Пеано второго порядка - доказуема. Значит ли это, что её следует принять за "абсолютную истину"? Да ничего подобного.

Вы привели пример, утверждения, где, в одной аксиоматике неразрешимо, а в другой - доказуемо.
А есть примеры, по которым утверждение в одной аксиоматике истинно, а в другой - ложно?

-- Пн ноя 18, 2024 13:44:02 --

epros в сообщении #1661883 писал(а):

есть пример числа, которое теорему Гудстейна нарушает.
Кто сказал, что такие числа (их называют "нестандартными") не имеют права на существование?

А что такое "нестандартное натуральное число" ?

[EminentVictorians]

Skipper в сообщении #1661885 писал(а):

А есть примеры, по которым утверждение в одной аксиоматике истинно, а в другой - ложно?

Вам выше mihaild очень прозрачно намекнул. Звучит это утверждение так: "На плоскости, через точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну".

[Skipper]

epros в сообщении #1661883 писал(а):

Это зависит от того, как мы определим понятие "натурального числа".

Вот тут я в ступоре. Как ещё можно определить натуральные числа, кроме общепризнанного способа?
Это же не геометрия Лобаческого.
Типа нестандартное натуральное, это такое, которое имеет не +1 от предыдущего, а +2 от предыдущего?

-- Пн ноя 18, 2024 13:52:31 --

EminentVictorians в сообщении #1661886 писал(а):

выше mihaild очень прозрачно намекнул. Звучит это утверждение так: "На плоскости, через точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну".

Типы пространств там разные. И это понятно. А вот как могут быть "типы натуральных чисел" разными, не понятно.

[epros]

Skipper в сообщении #1661880 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1661875 писал(а):

Зато там простейшие функции типа

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0, x < 0 \\ 1, x \geqslant 0 \\ \end{array} \right. $$

оказываются невычислимыми.

А что тут "невычислимое" есть?

Это был пример функции, определённой на действительных числах. Есть простые примеры действительных чисел, для которых значение этой функции вычислить не получается.

Skipper в сообщении #1661880 писал(а):

Включить все интуитивно очевидные - аксиоматику Пеано первого или второго порядка, и ZF (может ещё аксиомы счётного выбора добавить) - в одну общую модель, и в ней доказывать?
Вот эта модель и будет общепризнанной, и аксиоматика такая, что никто не будет говорить, "я не верю этой аксиоме, доказательство не принимаю".

Это зависит от интуиции, коя зависит от воспитания и ещё фиг знает от чего. Так что не стоит делить аксиомы на "очевидные" и "неочевидные". На самом деле, аксиомы просто определяют содержание тех понятий, которыми мы собираемся оперировать. Если мы считаем, что после каждого натурального числа должно идти следующее за ним натуральное число, причём такое, которого не было до этого, значит мы записываем это в форме аксиомы. Запишем другие аксиомы - будет у нас другое понятие "натурального числа". Вот и всё.

[Skipper]

Если мы считаем, что это очевидно: после каждого натурального числа N должно идти следующее за ним натуральное число N+1, и оно такое, которого не было до него, т.е. не было из чисел меньших N, то записываем это в аксиомы.

А как иначе? Это же очевидно.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1661880 писал(а):

Вы про пространство Лобачевского? Но какое это сравнение с натуральными числами?
Натуральные числа- основа всего, они не могут быть "искривлёнными" или ещё какими, как пространство Лобачевского.

Что за дискриминация? Это геометрия основа всего, а как по пространству распихивать натуральные числа - уже вопрос вкуса.
Хотя нет, это типы основы всего. А геометрии могут быть разными.

Skipper в сообщении #1661887 писал(а):

А вот как могут быть "типы натуральных чисел" разными, не понятно

Ну вот разберитесь. Стандартная конструкция: возьмем аксиомы Пеано, добавим константу $c$ и аксиомы $c \neq 0$, $c \neq 1$, $c \neq 2$ и т.д. По теореме о компактности, у этой новой теории есть модель. Подумайте, как она устроена.

Skipper в сообщении #1661887 писал(а):

Как ещё можно определить натуральные числа, кроме общепризнанного способа?

"Общепризнанный способ" определяет не одну модель, а сразу кучу разных. Так же как первые четыре аксиомы Евклида определяют не одну геометрию, а кучу разных.

Skipper в сообщении #1661880 писал(а):

Континуума- спорная, так же как и "аксиома выбора"

Ну вот вам аксиома выбора спорная, мне она очевидно неверна (потому что очевидно верна аксиома детерменированности), а кому-то аксиома индукции спорная. Стрелку забьем, или как-то еще решать будем?

[Skipper]

mihaild в сообщении #1661893 писал(а):

Ну вот вам аксиома выбора спорная

"Спорная" - это я имел в виду, значит математики о ней спорят. Я лично, не принимал её, и считал излишней, ложной. Принимаю в основном то, что все или почти все принимают.

-- Пн ноя 18, 2024 14:16:10 --

mihaild в сообщении #1661893 писал(а):

возьмем аксиомы Пеано, добавим константу $c$ и аксиомы $c \neq 0$, $c \neq 1$, $c \neq 2$ и т.д.

а что означает "и т.д." ? Может о том, что так и дальше продолжается? Ну тогда эта константа $c$ не равна никакому натуральному числу? Вы же сравниваете по порядку с натуральными.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1661896 писал(а):

"Спорная" - это я имел в виду, значит математики о ней спорят

Не спорят об аксиомах. Разные математики работают в разных областях, с разными аксиоматиками.

Skipper в сообщении #1661896 писал(а):

а что означает "и т.д." ?

Это значит, что добавляем такие строчки для каждого (стандартного) натурального числа.

Skipper в сообщении #1661896 писал(а):

Ну тогда эта константа $c$ не равна никакому натуральному числу?

Никакому стандартному натуральному числу. Но теория-то всё равно не противоречивая. Значит у нее есть модель.

[Skipper]

mihaild в сообщении #1661898 писал(а):

Никакому стандартному натуральному числу

Значит константа $c$ не равна никакому натуральному числу. Теория непротиворечивая, да. Кроме натуральных, есть и другие типы чисел. Какая тут модель ожидается?

-- Пн ноя 18, 2024 14:25:18 --

Кстати, считаю истинным то, что промежуточных мощностей множеств, между счётным и континуальным, не существует. Потому что никому такое множество не удалось построить, и не удасться. А значит и нет смысла говорить что оно "существует". Это как "существует" розовый слон на квадратной планете.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1661900 писал(а):

Значит константа $c$ не равна никакому натуральному числу. Теория непротиворечивая, да. Кроме натуральных, есть и другие типы чисел. Какая тут модель ожидается?

Модель вот такой аксиоматики.
А что такое "натуральные числа"? Вот я утверждаю, что модель такой моей хитрой аксиоматики - тоже натуральные числа. И Вы никаким списком аксиом "запретить" нестандартные натуральные числа не сможете.