Гармонический осциллятор и принцип наименьшего действия

[realeugene]

В общем, следует признать, что с негладкими лагранжианами нужна огромная осторожность. Решение может существовать или не существовать в зависимости от настроения богов.

[Утундрий]

Простите, а что мешает сгладить излом?

[drzewo]

Изломы сглаживать не надо, их надо любить, они упрощают решение задачи. В задачах типа той, что мы обсуждаем, очень хорошо пишутся условия на изломах, они выводятся из вариационного принципа.

[realeugene]

drzewo
А можете продемонстрировать как правильно следует любить $L(x, \dot x) = \dot x ^2 - |x|$?

[amon]

realeugene в сообщении #1653968 писал(а):

drzewo
А можете продемонстрировать как правильно следует любить $L(x, \dot x) = \dot x ^2 - |x|$?

Специально для Вас. Потенциал можно представить как
$U=\begin{cases} -x, & \text{если $x<0$;} \\ x, & \text{если $x\ge 0$.} \end{cases}.$
Функция Лагранжа имеет разный вид справа и слева от нуля. Действие записывается как
$S[x]=\int\limits_{t_0}^{t}L_1d\tau+\int\limits_{t}^{t_1}L_2d\tau,$
где $x(t)=0.$ В этой точке сама траектория непрерывна, а скорость - как повезет. $L=\frac{\dot{x}^2}{2} - U(x).$
Вариационная задача получается "со свободным временем" - мы заранее не знаем $t.$ В этом случае (см В.И. Смирнов, насколько я помню, т.3 часть то ли 1, то ли 2) возникает условие
$L_1-\dot x\frac{\partial L_1}{\partial \dot x}=L_2-\dot x\frac{\partial L_2}{\partial \dot x}\ \text{при}\ x=0$
или $E_1=E_2$ (энергия сохраняется). Из последнего в точке $x=0$ следует, что скорость в точке $x=0$ не меняется (повезло), и траектория получается непрерывной вместе с первой производной. При $x(0)=0,\,\dot x(0)=0$ точка живет там вечно в силу сохранения энергии.

[peregoudov]

Сразу извиняюсь, что не хватило терпения внимательно прочитать всю тему, но хочется еще раз обратить внимание на то, что уже писали amon и Red_Herring: во-первых, в вариационном принципе фиксируются пары $(x,t)$ в начальный и конечный моменты времени, а не координата и скорость в начальный момент, а, во-вторых, истинная мировая линия соответствует наименьшему действию только до первой фокальной точки. В примере с геодезическими на сфере это противоположный полюс, но это вырожденный случай, в общем случае будет касание мировой линии и каустики, образованной пучком всевозможных мировых линий, испущенных из начальной точки.

[realeugene]

amon в сообщении #1654149 писал(а):

Специально для Вас.

Премного благодарен.

amon в сообщении #1654149 писал(а):

Действие записывается как
$S[x]=\int\limits_{t_0}^{t}L_1d\tau+\int\limits_{t}^{t_1}L_2d\tau,$
где $x(t)=0.$ В этой точке сама траектория непрерывна, а скорость - как повезет.

Траектория не обязана проходить через излом только один раз. Более того, мы рассматриваем траекторию, которая идёт по излому. То есть тело, остающееся неподвижно в самом низу потенциальной энергии.

amon в сообщении #1654149 писал(а):

и траектория получается непрерывной вместе с первой производной.

Если тело просто проскакивает излом - то всё проще, можно сшивать.

amon в сообщении #1654149 писал(а):

При $x(0)=0,\,\dot x(0)=0$ точка живет там вечно в силу сохранения энергии.

Но есть нюанс. Для такой траектории с неподвижно сидящим телом в вершине существуют вариации, приводящие к уменьшению действия уже в первом порядке по величине вариации. То есть эта траектория - не минимум. И не максимум. А не пойми что.

[Red_Herring]

drzewo в сообщении #1653960 писал(а):

Изломы сглаживать не надо, их надо любить, они упрощают решение задачи. В задачах типа той, что мы обсуждаем, очень хорошо пишутся условия на изломах, они выводятся из вариационного принципа.

Сглаживание позволяет часто обосновать хорошую постановку задачи, рассмотрев предел при параметре сглаживания, стремящемся к $0$, а иногда и понять какие условия на изломе появиться должны в пределе. Но усложняет (а иногда и очень сильно) решение в явном виде.

Цитата:

Наука умеет много гитик.

[drzewo]

(Оффтоп)

peregoudov в сообщении #1654163 писал(а):

во-первых, в вариационном принципе фиксируются пары $(x,t)$ в начальный и конечный моменты времени, а не координата и скорость в начальный момент, а, во-вторых, истинная мировая линия соответствует наименьшему действию только до первой фокальной точки. В примере с геодезическими на сфере это противоположный полюс, но это вырожденный случай, в общем случае будет касание мировой линии и каустики, образованной пучком всевозможных мировых линий, испущенных из начальной точки.

дык, мужики вроде бы в курсе...

-- 11.09.2024, 01:38 --

amon Почитайте про принцип Гамильтона в системах с ударом:
https://dropmefiles.com/4Abql стр 13
Ситуация почти таже, что у нас.Роль ударного многообразия в конфигурационном пространстве выполняет многообразие на котором рвется градиент потенциала. Анализ аналогичен, лишь в одном месте знак отличается:)

[realeugene]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1654193 писал(а):

Наука умеет много гитик.

Никогда не понимал эту фразу. Погуглил. Оказывается, просто бессмысленная мнемоника для древнего карточного фокуса.

[amon]

realeugene в сообщении #1654188 писал(а):

Для такой траектории с неподвижно сидящим телом в вершине существуют вариации, приводящие к уменьшению действия уже в первом порядке по величине вариации.

А что Вы в такой нездоровой обстановке варьировать собираетесь? Мы с peregoudov'ым (к стати, - с возвращением!) и прочими знатоками принципа наименьшего действия уже пятую страницу пытаемся объяснить, что действие надо сравнивать на траекториях, проходящих через те же точки за то же время. Траектория, проходящая из нуля в ноль за любое время единственная $x\equiv0.$ Поэтому тут даже варьировать нечего. На остальное отвечу позже - сейчас времени нет.

[realeugene]

amon в сообщении #1654245 писал(а):

Мы с peregoudov'ым (к стати, - с возвращением!) и прочими знатоками принципа наименьшего действия уже пятую страницу пытаемся объяснить, что действие надо сравнивать на траекториях, проходящих через те же точки за то же время. Траектория, проходящая из нуля в ноль за любое время единственная $x\equiv0.$

Рассмотрите фиксированный отрезок времени $t \in [0, 1]$. Вариация - тело улетает в начальный момент времени вправо и возвращается свободно падая в конечный момент времени в нуль. Как дополнительный бонус, на этой вариации всюду выполняется уравнение Эйлера-Лагранжа во всех точках, где оно существует.

[amon]

realeugene в сообщении #1654247 писал(а):

Рассмотрите фиксированный отрезок времени $t \in [0, 1]$.

Еще лучше получится, если ввести еще одну координату. $L=\frac{\dot{x}^2}{2}+ \frac{\dot{y}^2}{2}- |x|.$ Тогда при начальной точке $(0,0)$ и конечной $(0,y_0)$ за время $t$ будет две траектории, удовлетворяющих уравнению Эйлера-Лагранжа и рассказом про любое время тут не отделаешься. Катастрофы в этом нет, поскольку принцип наименьшего действия не утверждает, что траектория обязательно обеспечивает минимум или максимум. Он говорит, что траектория - это точка стационарности $\frac{\delta S}{\delta x(t)}=0.$ Если таких точек несколько, значит возможно несколько траекторий.

-- 11.09.2024, 14:22 --

drzewo в сообщении #1654195 писал(а):

Ситуация почти таже, что у нас.

IMHO, чуда в этом нет. Для упругого удара можно (наверно) считать, что потенциал, скажем, внутри шара $U_0,$ а вне - ноль. Тогда вариационная задача сведется к задаче с разрывным потенциалом с той разницей, что положение границ зависит от времени, что приведет к некоторой модернизации внеинтегрального члена. Аккуратно не смотрел.

[realeugene]

amon в сообщении #1654258 писал(а):

Еще лучше получится, если ввести еще одну координату.

Это избыточно: можно строить график от времени. Существует три разных траектории из начальной точки в конечную, но только две из них являются точками стационарности действия.

[amon]

realeugene в сообщении #1654261 писал(а):

Существует три разных траектории из начальной точки в конечную, но только две из них являются точками стационарности действия.

Для меня это загадочное утверждение. Не поясните, что за траектории?