Ошибка transcendent'а

[transcendent]

Ende
Выделено из темы «Пример арифметического доказательства Великой теоремы Ферма»

slava_asf в сообщении #1694379 писал(а):

Для $c^3 = a^3 + b^3$ пусть $c = (a + b) - d$
$d^3 - 3(a + b)d^2 + 3(a + b)^2d - 3ab(a + b) = 0$
Уважаемые форумчане. Где ошибка?

Не знаю-где ошибка. Сами проверите. Но, если ошибки нет, то можно было бы поздравить с получением доказательства ВТФ $n=3$?
1. В процитированном уравнении $d $делится на 3.
2. Пункт 1 подразумевает, что $d^{3}$ делится на $3^{3}=27$.
3. Пункт 2 подразумевает, что $a+b$ и что-то-или $a$, или $b$- в произведении $ab$ делится на $3$.
4. Пункт 3 подразумевает, что, если $a+b$ и что-то-или $a$, или $b$- делятся на $3$, то на $3$ делится, и $a$, и $ b$.
5. Пункт 4 означает, что ВТФ, $n=3$, доказана, поскольку $a$, $b$, $c$ имеют общий множитель $3$, в то время, как в исходной гипотезе они (обычно) подразумеваются, как взаимно простые числа.
Q.E.D.
Так что, не знаю-где у Вас ошибка. А у меня где ошибка?

[venco]

Ошибка в п.4.
$a+b$ может делиться и на 9.

[transcendent]

venco в сообщении #1694514 писал(а):

Ошибка в п.4.
$a+b$ может делиться и на 9.

У меня что-то не получается. При том, что я взял на заметку, что Вы имеете в виду, что $a$ и $b$ тоже взаимнопростые.
Во-первых, $d$-всегда чётное.
Пусть $a$ и $b$ -одинаковой чётности, т.е., оба нечётные (и взаимно простые).
Тогда, $a+b$ делится на $18$, поскольку эта сумма есть чётное число, делящееся на $9$.
Значит, $d $ тоже делится на $18$ (и на $6$ тоже)? Поскольку, для $c$ мы тоже должны иметь делитель $18$.
[Делитель $6$ мы имеем явно, поскольку $c$-чётное число, делящееся на $3$. Но, формула $c=(a+b)-d$ заставляет нас ещё домножать на тройку, $3$, чтобы "уравновесить" делители у всех слагаемых.] Последнее означало бы, что $c^{3}$ делится на $18^{3}$, но выражение $c^{3}=(a+b)\cdot(a^{2}-a\cdot b+b^{2})$ оставляет нам возможность делить только на $18$.
Это, в свою очередь, заставляет предположить, что $a+b$ делится не только на $9$, но и на $18^{3}$, что повлечёт необходимость пересмотра делителей и для других рассмотренных чисел.
Бесконечный спуск? Да. Нонсенс, следовательно, $a+b$ не может делиться на $9$.
Q.E.D.
Случай $a$ и $b$ -числа разной чётности не рассматривал, поздно уже. Может, завтра, а может, Вы сами рассмотрите?
Есть ошибки выше?

[mihaild]

transcendent в сообщении #1694531 писал(а):

Значит, $d $ тоже делится на $18$

Почему?

[transcendent]

mihaild в сообщении #1694548 писал(а):

transcendent в сообщении #1694531 писал(а):

Значит, $d $ тоже делится на $18$

Почему?

Потому что, сначала можно найти по известному тождеству $c^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$, что и $c $ делится на $18$, а потом, выразив $d$ из уравнения автора этого уравнения таким образом: $d=(a+b)-c$. В правой части оба слагаемых делятся на $18$, следовательно, и $d$ делится на $18$.

Но, всё-а именно доказать, что $(a+b)$ не делится на что-либо- можно сделать проще через уравнение $c^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ -без оценок $ d$ и вне зависимости от чётности-нечётности $a$ и $b$.
В этом уравнении, допущение, что $(a+b)$ делится на какое-то целое $x$ означало бы , что $c^{3}$ делится на это $x$.
Последнее означает, что $c$ делится на $x$, а $c^{3} $делится на $x^{3}$.
Следовательно, $(a+b)$ тоже делится на $x^{3}$.
Круг пройден и можно начинать новый. Это бесконечный спуск.
Следовательно, $(a+b)$ не делится на $9$.
Q.E.D.
Почему-то, не совсем и рад, если ошибок нет.

[slava_asf]

transcendent в сообщении #1694561 писал(а):

В этом уравнении, допущение, что $(a+b)$ делится на какое-то целое $x$ означало бы , что $c^{3}$ делится на это $x$.
Последнее означает, что $c$ делится на $x$, а $c^{3} $делится на $x^{3}$.

$3^3$ делится на 9, но 3 не делится на 9. Вам же ранее указали на эту ошибку.
Ваше утверждение справедливо, если x - простое число.

-- 17.07.2025, 11:58 --

transcendent в сообщении #1694561 писал(а):

Почему-то, не совсем и рад, если ошибок нет.

Это уже Ваше доказательство, дерзайте!

[transcendent]

slava_asf в сообщении #1694570 писал(а):

$3^3$ делится на 9, но 3 не делится на 9. Вам же ранее указали на эту ошибку.
Ваше утверждение справедливо, если x - простое число.

Проговорите Вашу мысль понятнее. Желательно, символами и цифирь-после.
Я возразил уважаемому эксперту venco в ответ на его указание, что у меня ошибка в п.$4$.
Собственно, с (или из-за) этого моего возражения и пошёл весь сыр-бор -выделили отдельную тему.
В моём комменте от сегодня, в $7.25$ мск, как мне думается, я всё изложил, что имею на данную минуту.
Таким образом, что я понял в Вашем вопросе выше? Вы утверждаете, что $x$, должен быть простым числом? Да?
Но, я утверждаю, что это не имеет значения. Смотрите: $x=y^{3}$.
Подставляйте это. Что-то изменится? Ничего. Ничего не изменится. Всё остаётся так, как и было...
Во всяком случае, я не вижу изменений, при условии, что я понял Ваш вопрос правильно.

slava_asf в сообщении #1694570 писал(а):

Это уже Ваше доказательство, дерзайте!

Я почему написал о некоем сожалении? Потому что, всё оказалось просто. Это неприятно. Опять же, при условии, что нет ошибок.
В принципе, я знаю-что я могу противопоставить "сам себе". Но, пока подожду.
Ну, и не совсем "сам себе"-уравнение-то ВАШЕ. Хотя, оно и очевидное.

[mihaild]

transcendent в сообщении #1694561 писал(а):

Потому что, сначала можно найти по известному тождеству $c^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$, что и $c $ делится на $18$

Каким образом? $c^3$ делится на $18$, гарантий про $c$ нет.

transcendent в сообщении #1694561 писал(а):

$c^{3}$ делится на это $x$.
Последнее означает, что $c$ делится на $x$

Нет такого свойства.

[transcendent]

mihaild в сообщении #1694576 писал(а):

transcendent в сообщении #1694561
писал(а):
$c^{3}$ делится на это $x$.
Последнее означает, что $c$ делится на $x$ Нет такого свойства.

Понял Вас. Дейсвтительно, с чего бы это $2 $ должно делиться на $4$, если $2^{3}$ делится на 4...
Возвращаемся, тогда, снова к Вашему вопросу:

mihaild в сообщении #1694548 писал(а):

transcendent в сообщении #1694531
писал(а):
Значит, $d $ тоже делится на $18$ Почему?

Вспоминаем, что я написал в самом первом моём комментарии:

transcendent в сообщении #1694513 писал(а):

1. В процитированном уравнении $d $делится на 3.
2. Пункт 1 подразумевает, что $d^{3}$ делится на $3^{3}=27$.

Учитывая:

transcendent в сообщении #1694531 писал(а):

Во-первых, $d$-всегда чётное.

, мы знаем, тогда , что $d $ делится тоже на $6$.
Следовательно, $d^{3} $делится на $6\cdot 6\cdot 6=216$.
Пока остановлюсь здесь. Надо ещё полумать.

[slava_asf]

transcendent в сообщении #1694561 писал(а):

Потому что, сначала можно найти по известному тождеству $c^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$,

Если допустить, что $c$ не делится на 3, то $(a+b)$ полный куб.
Пусть $c^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) = ef$
$e^3=(a+b)^3 = a^3+3ab(a+b)+b^3$
$e^3=c^3+3abe$
Делим на $e$
$e^2=f+3ab$
т.к. $a, b, e$ взаимно простые и $e$ не делится на 3, то $(e,f)=1$

[slava_asf]

Если допустить, что $c$ делится на $3^k$, то $(a+b)$ делится на $3^{3k-1}$.
$c^{3}=(a+b)((a+b)^{2}-3ab)$

[transcendent]

transcendent в сообщении #1694590 писал(а):

Пока остановлюсь здесь. Надо ещё полумать.

Подумал. Ниже напишу.

slava_asf в сообщении #1694766 писал(а):

Если допустить, что $c$ не делится на $3$, то $(a+b)$ полный куб.

Если$ (a+b)$ делится на $9$- согласно возражению venco, тогда $c^{3}$ делится на $3$ и, соответственно, $c$ делится на $3$. Как мне думается, условие делимости на $9$ для $a+b$ является проблемным. В смысле, если принять его, то можно получить противоречие. Которое говорит о том, что мы не должны его принимать.
Есть уравнение $c+d=a+b$, $(1)$. Выше мной было показано, что $d$ делится на $3$ и, соответственно, на $6$, потому что может быть только чётным для любых случаев. Возводим в квадрат уравнение $(1) $ и выражаем $2\cdot a\cdot b $-слева, через остальные параметры-справа: $2\cdot a\cdot b=(c^{2}+d^{2})+2\cdot c\cdot d-(a^{2}+b^{2})$, $(2)$.
Слева: слагаемое слева не делится на $36$, т.к. нечётные $a$ и $ b$, если оба не делятся на $3$, то не позволяют также иметь деление на любое число, кратное $3$. (Я понял возражение venco именно таким образом: если $ a+b$ делится на $9$, то ни $a$, ни $b$ не делятся на $3$. Правильно ли я понял, или-нет, пусть эксперты судят.)
Справа:
$c^{2}$ делится на $36$, поскольку $c$ делится на $3$, а значит, на $6$, т.к., является чётным.
$d^{2}$ делится на $36$, поскольку $d$ делится на $3$, а значит, на $6$, т.к., является чётным.
$2\cdot c\cdot d$ делится на $36$, т.к. мы нашли, что , и $c$, и $d$ -оба-делятся на $6$.
$(a^{2}+b^{2})$ делится на $36$, поскольку это слагаемое раскладывается на два комплексных множителя, делящихся-каждый-на $18$, что даёт $18^{2}=324$, которое кратно числу $36$.
Отсюда, вывод: $a+b$ не делится на $9$.
Учитывая, что для $n=3 $ слагаемые легко переносятся вправо-влево, с сооответствующим переименованием параметров, когда $a$ и $b$ будут разной чётности, мы могли бы скаазать следом:
ВТФ (3) доказана.
Q.E.D.
Проверьте-главное, что, если есть ошибка, то это была бы ошибка трансцендента, не резидента. Ехал в машите-пришло в голову...Приехав, сразу набросал здесь этот текст.Не знаю-правильно или нет?

slava_asf в сообщении #1694770 писал(а):

Если допустить, что $c$ делится на $3^k$, то $(a+b)$ делится на $3^{3k-1}$.
$c^{3}=(a+b)((a+b)^{2}-3ab)$

Предлагаю это пока отложить до времени, когда будет (или не будет?) обнаружена ошибка в моём тексте выше.
mihaild, пока не обнаружена ошибка в этом моём тексте , я думаю, Ваш вопрос пока не актуален:

mihaild в сообщении #1694548 писал(а):

transcendent в сообщении #1694531
писал(а):
Значит, $d $ тоже делится на $18$ Почему?

Согласны?
Что касается формулировки Леммы в другой моей ветке-я переформулирую её позже, когда будет время. Между "Пусть"("если") и "тогда" я вставлю МТФовские выражения, которые были обсуждены. Чтоб красиво было и по содержанию, и по форме, а в конце - проговорю о порядке, k. И дам Вам знать. Я хотел бы, чтобы Вы посмотрели текст Леммы и только после этого я начал бы редактирование текста доказательства. Его, действительно, можно сократить. Так нормально?

[mihaild]

Товарищи, давайте каждая попытка будет обсуждаться в своей теме. Иначе шансы убедить вас в наличии ошибки уходят из околонулевых в отрицательную область. А еще этого требуют правила форума.

transcendent в сообщении #1694779 писал(а):

Слева: слагаемое слева не делится на $36$, т.к. нечётные $a$ и $ b$, если оба не делятся на $3$,

Вы рассматриваете только случай, когда ни $a$ ни $b$ не делятся на $3$? (это надо проговорить явно)

transcendent в сообщении #1694779 писал(а):

$(a^{2}+b^{2})$ делится на $36$, поскольку это слагаемое раскладывается на два комплексных множителя, делящихся-каждый-на $18$,

Не доказано.

transcendent в сообщении #1694779 писал(а):

Согласны?

Если вы снимаете предыдущую версию - то неактуален, иначе - актуален.

[Shadow]

transcendent в сообщении #1694779 писал(а):

$(a^{2}+b^{2})$ делится на $36$, поскольку это слагаемое раскладывается на два комплексных множителя,

при взаимопростых нечетных $a,b$? Серьезно?

[transcendent]

Shadow в сообщении #1694793 писал(а):

transcendent в сообщении #1694779
писал(а):
$(a^{2}+b^{2})$ делится на $36$, поскольку это слагаемое раскладывается на два комплексных множителя, при взаимопростых нечетных $a,b$? Серьезно?

Правы. Не может. Думаем дальше.