Силовые линии поля начинаются на отрицательных зарядах

[EUgeneUS]

Вопрос навеян темой про магнитные полюса.
Но рассматривать будем электрическое поле.

Пусть есть некое односвязанное тело. Поверхность которого каким-то образом заряжена. Есть только поверхностная плотность зарядов (заряды только на поверхности, при этом ни точечных, ни линейно распределенных зарядов нет).

Несложно простроить пример, когда силовые линии электрического поля будут в некоторых областях начинаться в точках с отрицательной плотностью заряда.

Например, сфера. Одна полусфера заряжена равномерно положительно и с большой плотностью заряда, другая полусфера заряжена равномерно отрицательно и с малой плотностью заряда. Тогда на полусфере с малой отрицательной плотностью заряда силовые линии будут начинаться, а не заканчиваться.

Теперь наложим условие, что суммарный заряд тела равен нулю.

Вопросы:
1. В этом случае могут ли быть участки поверхности, где силовые линии начинаются на отрицательных зарядах или заканчиваются на положительных?
Гипотеза, что не могут. Но как подойти к доказательству или построению контрпримера - не могу сообразить
2. Зависит ли ответ на вопрос 1 от топологии тела (выпуклое или вогнутое, род поверхности)?

[drzewo]

а нельзя ли все тоже самое только в виде уравнения (эллиптического, если я правильно понимаю) с гранусловиями?

-- 02.08.2024, 21:34 --

ну и вопросы, естественно, тоже нельзя ли написать в иде формул?

[Утундрий]

(Оффтоп)

— Доктор, у меня в глазах темнеет, когда я делаю "вот так"!
— Пациент, а Вы не делайте "вот так".

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1648200 писал(а):

Вопросы:
1. В этом случае могут ли быть участки поверхности, где силовые линии начинаются на отрицательных зарядах или заканчиваются на положительных?
Гипотеза, что не могут. Но как подойти к доказательству или построению контрпримера - не могу сообразить
2. Зависит ли ответ на вопрос 1 от топологии тела (выпуклое или вогнутое, род поверхности)?

Вопрос - что значит начинаться и заканчиваться. С точки зрения рабочих и крестьян можно такое рассуждение попробовать. "Не заканчивающиеся" силовые линии - линии, уходящие на бесконечность. Значит через сферу достаточно большого радиуса с какого-то момента будет проходить "постоянное" число таких линий. Значит по Гауссу потенциал на бесконечности должен убывать не быстрее чем $\frac{q^*}{r},$ где $q^*$ - некая константа (на самом деле - заряд тела). Поскольку полный заряд - ноль, то мультипольные разложения потенциала начинаются с дипольного или выше. Значит на бесконечности потенциал убывает быстрее и почти все силовые линии с точностью до множества меры ноль замкнуты.

[amon]

drzewo в сообщении #1648202 писал(а):

а нельзя ли все тоже самое только в виде уравнения (эллиптического, если я правильно понимаю) с гранусловиями?

У меня как-то так получается. Есть уравнение $\Delta\varphi=4\pi\rho.$ Величина $\rho$ отлична от нуля в некоторой гладкой ограниченной односвязной области, и вообще, хорошая функция без вредных привычек. Ищем решение с условием $\varphi\to 0$ при $\mathbf{r}\to\infty.$ Нашли. Проведем кривые для которых $\frac{d\mathbf{r}}{ds}=\frac{\nabla\varphi}{|\nabla\varphi|}$ ($s$ - естественный параметр). Доказать, что все или почти все такие кривые замкнуты если $\int\rho(r)dV=0.$

[svv]

amon в сообщении #1648227 писал(а):

Вопрос - что значит начинаться и заканчиваться.

Предположу, что по правилам игры мы не рассматриваем поле внутри тела, только снаружи. Тогда подойдёт такой контрпример. Возьмём U-образную штуку, как на левой картинке.

Посмотрим на неё сверху (правая картинка). Пусть поверхностная плотность заряда в пределах этой штуки не меняется в направлении, перпендикулярном экрану. Красные линии — области положительной плотности заряда, синие — отрицательной. Толстые — большая плотность, тонкие — маленькая плотность. Я нарисовал несколько силовых линий в области, где краевыми эффектами можно пренебречь. Они "начинаются" на отрицательных зарядах и "заканчиваются" на положительных.

[мат-ламер]

Рассмотрим сферу с равномерно распределённым (допустим, положительным) зарядом на ней. В центре этой сферы расположим точечный положительный заряд. Тут есть ещё одно требование:

EUgeneUS в сообщении #1648200 писал(а):

Теперь наложим условие, что суммарный заряд тела равен нулю.

Чтобы его удовлетворить, окружим нашу конструкцию ещё одной сферой с отрицательным зарядом таким, что суммарный заряд всей системы будет нулевым.

EUgeneUS в сообщении #1648200 писал(а):

1. В этом случае могут ли быть участки поверхности, где силовые линии начинаются на отрицательных зарядах или заканчиваются на положительных?

Рассмотрим силовые линии, подходящие к внутренней сфере изнутри.

-- Сб авг 03, 2024 09:38:00 --

EUgeneUS в сообщении #1648200 писал(а):

Пусть есть некое односвязанное тело.

Нашу конструкцию можно превратить в односвязное тело, соединив её части деталями, выполненными из диэлектрика и незаряженными. Это требование несущественно.

-- Сб авг 03, 2024 09:50:12 --

мат-ламер в сообщении #1648243 писал(а):

Нашу конструкцию можно превратить в односвязное тело, соединив её части деталями, выполненными из диэлектрика и незаряженными. Это требование несущественно.

Например, просто залить конструкцию равномерно диэлектриком. Получим односвязный шар из диэлектрика.

[мат-ламер]

EUgeneUS в сообщении #1648200 писал(а):

Поверхность которого каким-то образом заряжена. Есть только поверхностная плотность зарядов (заряды только на поверхности, при этом ни точечных, ни линейно распределенных зарядов нет).

После того, как у нас есть шар, мы можем сделать внутри него вырез так, чтобы, с одной стороны, он оставался односвязным телом. А с другой стороны, все наши заряды располагались на его поверхности.

-- Сб авг 03, 2024 10:48:42 --

мат-ламер в сообщении #1648245 писал(а):

После того, как у нас есть шар, мы можем сделать внутри него вырез так, чтобы, с одной стороны, он оставался односвязным телом. А с другой стороны, все наши заряды располагались на его поверхности.

Допустим, у нас есть яблоко в виде шара. К нему подползает червяк и начинает выгрызать внутренности. Действуя неаккуратно, червяк может лишить яблоко свойство односвязности. Например, просто прогрызть туннель от одного полюса к другому. Но, действуя аккуратно, червяк вполне может сохранить яблоку свойство быть гомеоморфным шару.

[drzewo]

amon в сообщении #1648234 писал(а):

У меня как-то так получается. Есть уравнение $\Delta\varphi=4\pi\rho.$ Величина $\rho$ отлична от нуля в некоторой гладкой ограниченной односвязной области, и вообще, хорошая функция без вредных привычек. Ищем решение с условием $\varphi\to 0$ при $\mathbf{r}\to\infty.$ Нашли. Проведем кривые для которых $\frac{d\mathbf{r}}{ds}=\frac{\nabla\varphi}{|\nabla\varphi|}$ ($s$ - естественный параметр). Доказать, что все или почти все такие кривые замкнуты если $\int\rho(r)dV=0.$

Такого, вообще говоря, быть не может.

Пусть функция $\rho$ и соотвествующее решение $\varphi$ инвариантны относительно поворотов плоскости $\mathbb{R}^2=\{z=(x,y)\}$ т.е. зависят только от $x^2+y^2$.
Тогда векторное поле $v=\nabla \varphi,\quad\mathrm{div}\,v=4\pi\rho$ и его поток $g^t$
тоже инвариантны относительно поворотов.
Будем считать, что $\rho>0$ в круге $D=\{x^2+y^2<1\}$ и $\rho\le 0$ в оставшейся части плоскости $\mathbb{R}^2\backslash D$ .

Лемма. Круг $D$ не содержит периодических решений системы $\dot z=v(z)$.

А это противоречит тому, что поток инвариантен относительно поворотов и тому что почти все решения периодические.

Докажем лемму.

Действительно, пусть замкнутая интегральная кривая $\gamma\subset D$ поля $v$ не имеет самопересечений и ограничивает область $Q\subset D,\quad \partial Q=\gamma.$
Область $Q$ инвариантна относительно фазового потока $g^t$,
следовательно функция

$$f(t)=\int_{g^t(Q)}dx\wedge dy$$

не возрастает. С другой стороны

$$\dot f(t)=\int_{g^t(Q)}\mathrm{div}\,v(g^t(x,y))dx\wedge dy>0$$

[Mihr]

EUgeneUS в сообщении #1648200 писал(а):

Пусть есть некое односвязанное тело. Поверхность которого каким-то образом заряжена. Есть только поверхностная плотность зарядов (заряды только на поверхности, при этом ни точечных, ни линейно распределенных зарядов нет).

Несложно простроить пример, когда силовые линии электрического поля будут в некоторых областях начинаться в точках с отрицательной плотностью заряда.

Например, сфера. Одна полусфера заряжена равномерно положительно и с большой плотностью заряда, другая полусфера заряжена равномерно отрицательно и с малой плотностью заряда. Тогда на полусфере с малой отрицательной плотностью заряда силовые линии будут начинаться, а не заканчиваться.

Теперь наложим условие, что суммарный заряд тела равен нулю.

Что-то я совершенно не могу понять постановку задачи. Она мне кажется противоречивой.
Если заряды только на поверхности, две полусферы заряжены равномерно, но с разной плотностью, а суммарный заряд равен нулю, то полусфера, заряженная отрицательно, должна иметь больший радиус, чем та, что заряжена положительно. Но тогда из них сферу никак не составить. Это во-первых. Во-вторых, такое распределение заряда противоречит тому, что внутри сферы поля нет. Просто на поверхности сферы нормальная компонента вектора напряжённости испытывает скачок. Но не до нуля! Так что говорить, что поле начинается на поверхности сферы - бессмысленно.
EUgeneUS, Вы можете как-то попонятнее изложить Ваш пример?

[Theoristos]

EUgeneUS в сообщении #1648200 писал(а):

Есть только поверхностная плотность зарядов (заряды только на поверхности, при этом ни точечных, ни линейно распределенных зарядов нет)

EUgeneUS в сообщении #1648200 писал(а):

В этом случае могут ли быть участки поверхности, где силовые линии начинаются на отрицательных зарядах или заканчиваются на положительных?

Оксюморон здесь вижу я

[EUgeneUS]

svv в сообщении #1648235 писал(а):

Предположу, что по правилам игры мы не рассматриваем поле внутри тела, только снаружи.

Да, это так. Сорри, что сразу не прописал явно.

svv в сообщении #1648235 писал(а):

... Они "начинаются" на отрицательных зарядах и "заканчиваются" на положительных.

Да, это контрпример к первому вопросу.
Но тут тело невыпуклое. Поэтому второй вопрос актуален.

-- 04.08.2024, 06:31 --

amon в сообщении #1648234 писал(а):

Доказать, что все или почти все такие кривые замкнуты если $\int\rho(r)dV=0.$

Этого недостаточно. Нужно ещё доказать, что эти линии пересекают поверхность тела в точках с поверхностной плотностью заряда соответствующего знака:
а) в точке, где силовая линия выходит из поверхности - поверхностная плотность положительна.
б) в точке, где силовая линия входит в поверхность - поверхностная плотность отрицательна.

-- 04.08.2024, 06:33 --

мат-ламер в сообщении #1648243 писал(а):

Рассмотрим сферу с равномерно распределённым (допустим, положительным) зарядом на ней. В центре этой сферы расположим точечный положительный заряд.

Сразу - нет. Заряды только на поверхности тела, никаких точечных зарядов нет.

-- 04.08.2024, 06:35 --

мат-ламер в сообщении #1648245 писал(а):

Допустим, у нас есть яблоко в виде шара. К нему подползает червяк и начинает выгрызать внутренности. Действуя неаккуратно, червяк может лишить яблоко свойство односвязности. Например, просто прогрызть туннель от одного полюса к другому. Но, действуя аккуратно, червяк вполне может сохранить яблоку свойство быть гомеоморфным шару.

Односвязность и гомеоморфность шару - это разные свойства. Тор односвязен, но не гомеоморфен шару. АФАИК

-- 04.08.2024, 06:37 --

Mihr в сообщении #1648274 писал(а):

Если заряды только на поверхности, две полусферы заряжены равномерно, но с разной плотностью, а суммарный заряд равен нулю, то полусфера, заряженная отрицательно, должна иметь больший радиус, чем та, что заряжена положительно.

В цитате, которую Вы приводили:
1. Пример относится к телу, где суммарный заряд НЕ равен нулю.
2. Условие, что суммарный заряд равен нулю накладывается ПОЗЖЕ (ниже).

-- 04.08.2024, 06:39 --

Mihr в сообщении #1648274 писал(а):

Во-вторых, такое распределение заряда противоречит тому, что внутри сферы поля нет.

Такого утверждения нет. Поле внутри сферы (в данном примере, а вообще внутри тела), конечно, есть\может быть.
Но мы рассматриваем поле только вне тела.

[Mihr]

EUgeneUS в сообщении #1648348 писал(а):

В цитате, которую Вы приводили:
1. Пример относится к телу, где суммарный заряд НЕ равен нулю.
2. Условие, что суммарный заряд равен нулю накладывается ПОЗЖЕ (ниже).

Пусть позже. Важно то, что это новое условие вступает в конфликт с предыдущим - с различной плотностью заряда полусфер. Значит, отказываемся от этого различия? Как тогда будет формулироваться Ваш вопрос?

EUgeneUS в сообщении #1648348 писал(а):

Поле внутри сферы (в данном примере, а вообще внутри тела), конечно, есть\может быть.
Но мы рассматриваем поле только вне тела.

Если поле есть по обе стороны заряженной поверхности, непонятно, что означает фраза "поле начинается на этой поверхности".

[EUgeneUS]

Mihr в сообщении #1648352 писал(а):

Пусть позже. Важно то, что это новое условие вступает в конфликт с предыдущим - с различной плотностью заряда полусфер. Значит, отказываемся от этого различия? Как тогда будет формулироваться Ваш вопрос?

Не понимаю Ваших затруднений.
1. Приведен пример.
2. После чего накладывается новое условие.
3. Которому этот пример не соответствует.
4. Задается вопрос: "а можно ли построить пример, который будет удовлетворять и этому условию?"

-- 04.08.2024, 14:12 --

Mihr в сообщении #1648352 писал(а):

Если поле есть по обе стороны заряженной поверхности, непонятно, что означает фраза "поле начинается на этой поверхности".

1. Нигде не писал "поле начинается". Это Вы мне что-то лишнее приписываете.
2. Имхо, и с самого начала было ясно, и позже явно написал - нас интересует, рассматривается только поле вне тела.
Соответственно, "силовая линия начинается на поверхности тела" равнозначно тому, что скалярное произведение напряженности поля на нормаль к поверхности положительно (при достаточно гладкой поверхности, конечно).
И наоборот, "силовая линия оканчивается на поверхности тела" равнозначно тому, что скалярное произведение напряженности поля на нормаль к поверхности отрицательно (при достаточно гладкой поверхности, конечно).

[Mihr]

EUgeneUS, если на этот раз я Вас правильно понял, пусть будет такой пример. Есть цилиндр с основаниями $A$ и $C$ радиуса $R$. На этих основаниях выделены небольшие круги $B$ и $D$ радиуса $r$. Круги смещены по отношению друг к другу (расположены не напротив друг друга). Высота цилиндра $h$. Выполнены неравенства $h \ll r \ll R$. Далее, пусть области $B$ и $D$ заряжены равномерно с поверхностной плотностью заряда $+\sigma_1$ и $-\sigma_1$ соответственно, а оставшиеся части оснований заряжены равномерно с поверхностной плотностью заряда $+\sigma_2$ и $-\sigma_2$ соответственно, боковая поверхность цилиндра не заряжена. В объёме цилиндра зарядов также нет. Суммарный заряд цилиндра, таким образом, равен нулю. Если $0<\sigma_1<\sigma_2$, то снаружи от цилиндра на круге $B$ поле будет направлено внутрь цилиндра, на круге $D$ - наружу. Это то, что Вам нужно?