Определение группы.

[Bixel]

Vasily2024 в сообщении #1640816 писал(а):

Тогда можно говорить про две алгебраические системы $(A, +)$ - группа, в которой алгоритм для нахождения суммы элементов не определен.
И про алгебраическую систему $(B, +)$ - группа, в которой алгоритм для нахождения суммы элементов задан.
Это две алгебраические системы разного типа?

Я думаю вам надо посмотреть на конкретные примеры групп. Я не читал всю тему, но думаю вы знаете определение группы. В определений группы, у нас имеется одна операция, удовлетворяющая определенным законам(или правилам или свойствам). Эту операцию можно обозначить как вам угодно. Поскольку эта операция произвольна, давайте выберем значок, который не часто используется. Ну к примеру $\square$.

Пара $(G, \square)$ называется группой если:
1. $\forall g, h \in G, \ g \square h \in G$.
2. ...
3. ...
4. ...

Примеры:

Пара $(S_n, \circ)$ является группой потому что:
1. В этой группе $\circ$ - это композиция. Для двух произвольных биекций $\sigma_1, \sigma_2 \in S_n$, их композиция тоже биекция поэтому $\sigma_1 \circ \sigma_2 \in S_n$.
2. ...
3. ...
4. ...

Пара $(\mathbb Z_n^*, \otimes)$ является группой потому что:
1. В этой группе $a \otimes b = (ab) \bmod n$. Для двух $a, b \in \mathbb Z_n^*$, мы можем найти $x, y, z, w \in \mathbb Z$ такие, что $ax + ny = 1 = bw + nz.$ Тогда $1 = (ax + ny)(bw + nz) = abX + nY$ где $X, Y \in \mathbb Z$ и поэтому $a \otimes b \in \mathbb Z_n^*$.
2. ...
3. ...
4. ...


Часто авторам некогда писать $\square$ и поэтому они вместо произволного значка $\square$ используют $+$ что может означать $\circ$ или $\otimes$ или обычную операцию сложения.

Пожалуйста, простите грамматические ошибки поскольку я не часто пишу на русском.

-- 31.05.2024, 07:45 --

Другими словами,

Шаблон: $(G, \square)$.

Конкретные примеры групп: $(S_n, \circ), (\mathbb Z_n^*, \otimes)$.

Или,

Шаблон: Имя Фамилия.

Конкретные примеры: Вася Пупкин, Фекла Заболотная.

[Vasily2024]

tolstopuz в сообщении #1640817 писал(а):

В определении алгебраической системы есть что-то про алгоритм?

Для описания алгоритма можно использовать язык отношений.

[Mikhail_K]

Vasily2024 в сообщении #1640816 писал(а):

Определение гомоморфизма однотипных алгебраических систем из книги «Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика. – 2021.»

Это неплохая книга.

Кажется, я примерно понял, что Вы имеете в виду. Поэтому скажу ещё раз: в любой (аддитивной) группе способ суммирования определён, иначе это не группа. Он может быть нам известен, может быть неизвестен; у нас может быть для него конкретная формула или алгоритм, а может не быть. Но способ суммирования в любом случае однозначно задан и определён, иначе это не группа. Более того, это различие вообще не является существенным. Если в одной группе способ суммирования нам известен (выражен формулой или алгоритмом), а в другой неизвестен - то эти две группы не становятся от этого "разнотипными алгебраическими системами". Нет никаких причин говорить про "нестрогие гомоморфизмы" между ними.

[dgwuqtj]

Vasily2024 в сообщении #1640825 писал(а):

Для описания алгоритма можно использовать язык отношений.

Для сложения вещественных чисел алгоритма уже нет. Просто потому что обычно алгоритмически задаваемыми отображениями называют вычислимые (и всюду определённые) при каких-то кодировках области определения и области значений отрезком натурального ряда. А поле вещественных чисел несчётное. И это всё уже намного сложнее понятия группы, не говоря уже про всякие обобщения вычислимых отображений на несчётный случай.

[Vasily2024]

Mikhail_K в сообщении #1640838 писал(а):

Кажется, я примерно понял, что Вы имеете в виду. Поэтому скажу ещё раз: в любой (аддитивной) группе способ суммирования определён, иначе это не группа. Он может быть нам известен, может быть неизвестен; у нас может быть для него конкретная формула или алгоритм, а может не быть. Но способ суммирования в любом случае однозначно задан и определён, иначе это не группа. Более того, это различие вообще не является существенным. Если в одной группе способ суммирования нам известен (выражен формулой или алгоритмом), а в другой неизвестен - то эти две группы не становятся от этого "разнотипными алгебраическими системами".

Хорошо. Но c прикладной точки зрения - это очень разные группы. Хотелось бы это подчеркнуть. Я понял, что лучше говорить, что способ суммирования в одной группе задан (выражен формулой или алгоритмом), а в другой не известен.

[Geen]

Vasily2024 в сообщении #1640928 писал(а):

Но c прикладной точки зрения

Что такое "прикладная точка зрения"? А то с "теоретической" тоже необходимо проверять свойства операции, чтобы доказать что это группа.

[svv]

Mikhail_K в сообщении #1640838 писал(а):

Если в одной группе способ суммирования нам известен (выражен формулой или алгоритмом), а в другой неизвестен - то эти две группы не становятся от этого "разнотипными алгебраическими системами".

+100.

Vasily2024, представьте ситуацию. Преподаватель математики объясняет теорему из теории групп. В аудитории 20 студентов. Поскольку теорема трудная, на первом этапе её целесообразно разобрать на простом примере группы. Поэтому каждому студенту выдан листок с примером группы, у всех группы разные. (Подсмотреть, какие группы у соседей — можно ) Когда преподаватель говорит: «Пусть $G$ — группа с операцией $*$», каждый студент понимает под этим свою группу со своей групповой операцией. Студенты слушают преподавателя и убеждаются в правильности каждого шага. Удивительным образом, всё, что говорит преподаватель о группе $G$, в равной степени относится к каждому примеру группы у любого конкретного студента.

В такой ситуации мне совсем не хочется говорить, что группа $G$ — абстрактная. Для кого абстрактная, для преподавателя? А для студента Иванова конкретная. Лучше, по-моему, сказать, что $G$ — произвольная группа. Если очень хочется, можете сказать «любая конкретная группа», не забывая, что группа всегда конкретна.

Ну и от этой ситуации принципиально ничем не отличается изложение теории групп специалистом в книге.

[Vasily2024]

Пусть $R$ – группа действительных чисел, для которых определен способ суммирования. А в группе $G$ – способ суммирования неизвестен. В настоящее время алгебраисты считают, что это различие не является существенным.
Но для приложения теории групп - различие громадное. В первом случае способ суммирования определен, а во втором случае нет. Отсутствие у таких групп специального названия привело к тому, что получили

Mikhail_K в сообщении #1640692 писал(а):

дискуссию среди математиков, наверное, XVIII века (или около того), должна ли функция обязательно задаваться формулой. Сегодня хорошо известно - нет, не должна.

Чтобы избежать таких дискуссий необходимо просто считать, что операция может быть задана конкретно (алгоритм суммирования задан) или абстрактно (способ суммирования неизвестен).

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1640936 писал(а):

Пусть $R$ – группа действительных чисел, для которых определен способ суммирования. А в группе $G$ – способ суммирования неизвестен.

Приведите пример такой группы $G$. Пока это пустой разговор.

[Vasily2024]

Группа $G$ - непустое множество $G$ с определённой на нём операцией сложения, для которой выполняются аксиомы группы. Причем алгоритм суммирования не задан.

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1640940 писал(а):

Группа $G$ - непустое множество $G$ с определённой на нём операцией сложения, для которой выполняются аксиомы группы. Причем алгоритм суммирования не задан.

Опять у вас получается самурай с мечом, который без меча. Операция определена (как?), а алгоритм (что это вообще такое?) не задан.

И пока это никакой не пример. Не сказано, какое именно множество, не сказано, как именно определена операция (и как именно не задан алгоритм, шутка). Давайте тогда по шажочкам. Расскажите для начала, конечное множество или бесконечное. Если конечное, то сколько в нем элементов, если бесконечное, то какая кардинальность.

[Vasily2024]

tolstopuz в сообщении #1640942 писал(а):

Не сказано, какое именно множество, не сказано, как именно определена операция (и как именно не задан алгоритм, шутка). Давайте тогда по шажочкам. Расскажите для начала, конечное множество или бесконечное. Если конечное, то сколько в нем элементов, если бесконечное, то какая кардинальность.

Такую группу иногда называют конкретной.

Должна ли группа задаваться конкретным множество и операцией - нет не должна.

Mikhail_K в сообщении #1640692 писал(а):

Мне это всё напоминает дискуссию среди математиков, наверное, XVIII века (или около того), должна ли функция обязательно задаваться формулой. Сегодня хорошо известно - нет, не должна.

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1640949 писал(а):

Должна ли группа задаваться конкретным множество и операцией - нет не должна.

Ответ неверный. Перечитайте учебник и возвращайтесь на пересдачу.

Vasily2024 в сообщении #1640949 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1640692 писал(а):

Мне это всё напоминает дискуссию среди математиков, наверное, XVIII века (или около того), должна ли функция обязательно задаваться формулой. Сегодня хорошо известно - нет, не должна.

Даже если функция не задается формулой, она однозначно определена. Например, обратная функция к $we^w$ не задается формулой, но вполне себе определена. Вы же придумали настолько несуразную и противоречивую конструкцию, что не можете привести ни одного примера.

[Vasily2024]

tolstopuz в сообщении #1640954 писал(а):

Даже если функция не задается формулой, она однозначно определена. Например, обратная функция к $we^w$ не задается формулой, но вполне себе определена. Вы же придумали настолько несуразную и противоречивую конструкцию, что не можете привести ни одного примера.

Пример. Пусть функция $f(x)$ определена, но алгоритм нахождения значений функции $f$ не задан.

К сожалению, для многих классических алгебраистов слово алгоритм является ругательным.

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1640960 писал(а):

Пример. Пусть функция $f(x)$ определена, но алгоритм нахождения значений функции $f$ не задан.

Это опять не пример.

Вот пример целого числа: «количество простых чисел Ферма, или $0$, если их бесконечно много». Алгоритм нахождения этого числа неизвестен, но оно имеет одно вполне определенное значение. Какое - мы не знаем. В примере нет никаких переменных, только известные ранее понятия, определения которых можно найти в литературе.
А у вас не пример, там какая-то непонятная буква $f$, смысл которой вы не пояснили.

Vasily2024 в сообщении #1640960 писал(а):

К сожалению, для многих классических алгебраистов слово алгоритм является ругательным.

Не знаю как насчет классических алгебраистов, но я программист. И не понимаю, что такое алгоритм, который принимает на вход два элемента множества произвольной природы.