Абстрактное и конкретное множество

[mihaild]

Vasily2024 в сообщении #1639284 писал(а):

множество считается заданным, если перечислены все его элементы, или указано свойство, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству (это из учебника)

Это не то чтобы обязательно плохой учебник, но это не учебник по теории множеств (по крайней мере эта фраза она максимум про интуитивные пояснения, а не про что-то строгое).

Vasily2024 в сообщении #1639284 писал(а):

в теории групп принято считать, что сумма целых чисел a+b = c неопределяемое отношение

[citation needed]

Vasily2024 в сообщении #1639310 писал(а):

Постников. Лекции по геометрии

Приведите, пожалуйста, точную цитату (можно картинкой). И укажите конкретный том и страницу.

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1639310 писал(а):

Постников. Лекции по геометрии. 1979

У меня есть ощущение, что часть советских (возможно, и мировых) математиков тех времен не приняла в глубине души современную алгебру (кстати, по-английски она так и называется - abstract algebra), и, когда им было необходимо использовать ее понятия, они окружали их оговорками и заклинаниями. Как будто в реальный мир чисел и точек приходится вызывать сущности из потустороннего мира групп, колец и векторных пространств.

У Постникова я вижу эти оговорки в нескольких местах, но определения группы я у него вообще не нашел. Если это вызывает у вас когнитивный диссонанс, просто возьмите другой учебник.

-- Чт май 16, 2024 11:47:48 --

В "Теории Галуа" Постников пишет:

Постников писал(а):

Полем мы называем непустое множество $P$ комплексных чисел

Постников писал(а):

В современной алгебре принято абстрактное определение поля как множества с двумя алгебраическими операциями, удовлетворяющими определенным аксиомам (см. Курс, стр. $276$). В отличие от таких "абстрактных" полей, поля в нашем смысле называются числовыми.

[vpb]

tolstopuz в сообщении #1639314 писал(а):

В "Теории Галуа" Постников пишет:

Правильно пишет, именно так и надо писать в данной ситуации. Ведь эта книжка --- не монография для специалистов, а относительно популярное изложение для широких математических масс, например студентов младших курсов, и даже продвинутых старшеклассников. Не в том дело, что он плохо "занутрил" общее понятие поля, а в том, что напомнить его тем читателям, на кого книга рассчитана, уместно и даже необходимо. Если бы он по другому поступил, это бы как раз было методическим промахом.

-- 16.05.2024, 16:06 --

Вообще же, про абстрактные группы ответ уже дан: "абстрактная группа" --- это такое словосочетание, неформальное выражение, синонимичное выражению "группа с точностью до изоморфизма". Это такой сленг в теории групп.

Но, слова "абстрактный" и "конкретный" могут иметь и другой смысл, общий. В английском этот общий смысл выражается артиклями "a/an" и "the", соответственно.

[tolstopuz]

vpb в сообщении #1639336 писал(а):

Вообще же, про абстрактные группы ответ уже дан: "абстрактная группа" --- это такое словосочетание, неформальное выражение, синонимичное выражению "группа с точностью до изоморфизма". Это такой сленг в теории групп.

Все-таки нет. Иначе бы не имели смысла замечания Постникова об изоморфизмах (например, Лекции по геометрии, т. $1$, стр. $272$):

Постников писал(а):

Как абстрактная группа эта группа изоморфна группе $\operatorname{Aff}(n;\mathbb{K}).$

То есть рассматриваются две различные абстрактные группы и изоморфизм между ними.

Я понимаю терминологию Постникова примерно так (это просто переформулировка и небольшое обобщение двух приведенных выше цитат):
Абстрактная алгебраическая структура (группа, кольцо, поле, векторное пространство) - это множество объектов произвольной природы с алгебраическими операциями, удовлетворяющих определенным аксиомам.
Неабстрактная алгебраическая структура - множество знакомых нам с XIX века объектов (чисел, числовых матриц, числовых функций, точек евклидова пространства $R^n$ и так далее), обладающих определенными свойствами. Это частный случай соответствующей абстрактной структуры.

Постников в соответствующих местах ссылается на "Курс высшей алгебры" Куроша, но Курош не употребляет термин "абстрактное", он сначала рассказывает о числовых полях, а общий случай называет "произвольным полем". То есть термины "абстрактное поле" и "абстрактная группа" Постников принес еще из каких-то своих личных воспоминаний. Кстати, "абстрактное множество" не встречается даже у него.

[vpb]

tolstopuz в сообщении #1639342 писал(а):

Все-таки нет.

Нет, на самом деле всё так, как я писал. Прошу поверить, что я в этих вещах, можно сказать, иксперд. Такого Баскервиля съел, что Вам и не представить.

tolstopuz в сообщении #1639342 писал(а):

То есть рассматриваются две различные абстрактные группы и изоморфизм между ними

Как же там "рассматриваются две различные абстрактные группы", если одна из них, а именно ${\rm Aff}(n,K)$, указана совершенно конкретно ? Смысл фразы Постникова таков: "Эта группа изоморфна ${\rm Aff}(n,K)$". А выражение "как абстрактная группа" добавлено, в сущности, просто для гладкости изложения.

-- 16.05.2024, 19:34 --

vpb в сообщении #1639354 писал(а):

если одна из них,

Да и обе, на самом деле, как я сейчас убедился, посмотрев в книжку.

[tolstopuz]

vpb в сообщении #1639354 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1639342 писал(а):

То есть рассматриваются две различные абстрактные группы и изоморфизм между ними

Как же там "рассматриваются две различные абстрактные группы", если одна из них, а именно ${\rm Aff}(n,K)$, указана совершенно конкретно ? Смысл фразы Постникова таков: "Эта группа изоморфна ${\rm Aff}(n,K)$". А выражение "как абстрактная группа" добавлено, в сущности, просто для гладкости изложения.

То есть ваша точка зрения такая:
1. Постников называет "абстрактной группой" "группу с точностью до изоморфизма" (я правильно понимаю, что в современной терминологии это произвольный представитель класса групп, изоморфных данной?).
2. Но конкретное употребление термина "абстрактная группа" на странице $272$ первого тома у него сделано чисто для гладкости изложения и не соответствует пункту 1, потому что там описывается изоморфизм двух вполне конкретных групп.

А как вы понимаете противопоставление абстрактного и конкретного на странице $309$ второго тома? Я вообще не могу это расшифровать.

-- Чт май 16, 2024 22:36:27 --

(Для современного читателя, конечно же, все это так же бессмысленно, как и различие между последовательностью и вариантой у Фихтенгольца.)

И тем не менее в "Теории Галуа" Постников довольно ясно выразил свое понятие абстрактности, которое подразумевает вполне определенное множество и вполне определенные операции, просто не обязательно числовые:

Постников писал(а):

В современной алгебре принято абстрактное определение поля как множества с двумя алгебраическими операциями, удовлетворяющими определенным аксиомам (см. Курс, стр. $276$). В отличие от таких "абстрактных" полей, поля в нашем смысле называются числовыми.

[Vasily2024]

Таким образом, изоморфизм абстрактной группы и аддитивной группы вещественных чисел не является строгим?

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1639380 писал(а):

Таким образом, изоморфизм абстрактной группы и аддитивной группы вещественных чисел не является строгим?

Каким именно образом? Что означает «строгий изоморфизм» и чем он отличается от нестрогого? В какой литературе описан этот термин?

[vpb]

tolstopuz в сообщении #1639366 писал(а):

А как вы понимаете противопоставление абстрактного и конкретного на странице $309$ второго тома?

Там нет противопоставления, а есть опечатка (черты сверху в одном месте не должно быть). Должно быть "вектор абстрактного пространства $\overline{{\cal V}'}$, отвечающий вектору $\xi$ пространства ${\cal V}'$".

tolstopuz в сообщении #1639366 писал(а):

Я вообще не могу это расшифровать.

И неудивительно. Я данную книжку Постникова никогда не читал, а сейчас прочитал стр. 307--310, и вижу, что изложено довольно путано, недостаточно подробно, с большим количеством пропущеных мыслей.Вообще, с некоторых пор книжки Постникова у меня вызывают некоторый скепсис, в отношении их педагогических достоинств.

(Надо сказать, что Постников человек трагической судьбы, как математик. В ранней молодости он сделал выдающиеся открытия, а потом у него что-то в голове повредилось, какое-то мозговое заболевание, не знаю подробности, и он стал примерно никакой.)

-- 17.05.2024, 09:33 --

tolstopuz в сообщении #1639366 писал(а):

То есть ваша точка зрения такая:
1. Постников называет

Моя точка зрения такая: копаться в подробностях чужих мыслей, буквально слово за словом пытаясь понять, что там оно значит, может быть контрпродуктивно. Может, у товарища в мыслях каша, а мы пытаемся понять то, чего и не было ? Имеет смысл понять самому, как устроена природа в данном месте, а чей-то текст --- это лишь подпорки в таком занятии, а не библия. С другой стороны, когда я сам что-то пишу, что предполагается к опубликованию,я стремлюсь, чтобы никаких пропусков, туманностей, двусмысленностей и прочих непоняток там не было от слова совсем. И если встречаю таковое в чужих статьях, особенно в качестве рецензента --- скверное мнение об аффтаре имею.

[Vasily2024]

Что означает «строгий изоморфизм» и чем он отличается от нестрогого?
Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика. – 2021.
Если в одной алгебраической системе есть отношения, которых нет в другой системе, то такой изоморфизм является нестрогим.

Например:
В группе действительных чисел (R, +) определенно отношение между тремя числами С =A +B
а в абстрактной группе (A, +) отношение между темя элементами с =a + b не определено.
Значит изоморфизм групп - нестрогий.

[tolstopuz]

vpb в сообщении #1639395 писал(а):

Должно быть "вектор абстрактного пространства $\overline{{\cal V}'}$, отвечающий вектору $\xi$ пространства ${\cal V}'$".

А, понял. Вернемся к странице $307$:

Постников писал(а):

Другой пример мы получим, рассмотрев для произвольного комплексного векторного пространства $\cal{V}$ множество $\overline{{\cal V}}$ всевозможных символов вида $\overline{\textbf{x}}$, где $\textbf{x}\in\cal V$.

То есть пространство $\overline{{\cal V}'}$ абстрактное, потому что состоит из символов. Как я и говорил выше, абстракции для чудовищ, числа для людей.

Точно так же в этой терминологии циклическая группа, заданная образующей $a$ и соотношением $a^3=1$, считается абстрактной, а группа комплексных чисел $\{1,\frac{-1+i\sqrt 3}2, \frac{-1-i\sqrt 3}2\}$ по умножению - числовой. И как абстрактные группы эти две группы изоморфны.

Для современного читателя это все уже бессмысленно.

-- Пт май 17, 2024 11:05:18 --

Vasily2024 в сообщении #1639398 писал(а):

Если в одной алгебраической системе есть отношения, которых нет в другой системе, то такой изоморфизм является нестрогим.

В ваших фантазиях уже появились группы, в которых нет операции. Возьмите какой-нибудь один учебник по алгебре или теории групп и читайте его внимательно.

Vasily2024 в сообщении #1639398 писал(а):

а в абстрактной группе (A, +) отношение между темя элементами с =a + b не определено.

В какой именно абстрактной группе? В каждой конкретной (извините за каламбур) абстрактной группе операция однозначно определена:

Кострикин писал(а):

Пусть $X$ - произвольное множество. Бинарной алгебраической операцией (или законом композиции) на $X$ называется произвольное (но фиксированное) отображение

[Vasily2024]

Алексей Витальевич Овчинников
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Курс лекций. 2008/2009 учебный год:

"1.2. Аффинная геометрия.
Основные неопределяемые понятия: точка, вектор.
Основные неопределяемые отношения между понятиями:
(1) отношение между тремя векторами c = a + b; ...."

Тернарное отношение между векторами в данном случае можно рассматривать как бинарную операцию +.
Следовательно операция + существует, но не определена. Это означает, что правило + не определено.
Известно, что относительно сложения множество векторов V является абелевой группой.
Поэтому операция сложения в группе не задана:
a + b = c, где с существует, но не определено.
И где ошибка?

[svv]

Vasily2024, просветите, пожалуйста, что значит «существует, но не определена» (или «не определено»)?

-- Пт май 17, 2024 15:53:21 --

Особо не вчитывался в дискуссию, но на всякий случай замечу, что в абелевых группах групповую операцию часто называют сложением и обозначают знаком $+$, обратный элемент минусом, нейтральный элемент нулём. Например, вместо $ab^{-1}c=e$ пишут
$a+(-b)+c=0$, или даже $a-b+c=0$

[Vasily2024]

Vasily2024, просветите, пожалуйста, что значит «существует, но не определена» (или «не определено»)?

В каждой группе операция существует, например +, но результат операции не задан. Чему равна сумма a + b - некоторому элементу с. Это означает, что сумма не определена.
Если можно определить сумму элементов группы, например 3 + 2 = 5, то сумма определена.

[svv]

Vasily2024 в сообщении #1639456 писал(а):

В каждой группе операция существует, например +, но результат операции не задан.

А Вы можете привести простой пример группы, в которой результат групповой операции не задан? Притом, что сама группа задана. Хочу посмотреть, как это.

Википедия, статья Группа (математика) писал(а):

Множество $G$ с заданной на нём бинарной операцией $*: {G} \times {G} \rightarrow{G}$ называется группой $({G}, *)$, если выполнены следующие аксиомы: