Абстрактное и конкретное множество

[Vasily2024]

Наверное да. Множество целых чисел может быть задано абстрактно или конкретно.
Предлагаю считать, что существуют абстрактно или конкретно заданные множества.

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1638097 писал(а):

Наверное да. Множество целых чисел может быть задано абстрактно или конкретно.

Я не спрашиваю про множество. Я спрашиваю про число. Одно число $5$ или одно число $x$.

-- Вс май 05, 2024 21:52:57 --

А можно сказать, что $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ - абстрактное тождество, так как в нем есть неопределенные понятия, а $(3+4)^2=3^2+2\cdot3\cdot4+4^2$ - конкретное?

[Vasily2024]

А можно сказать, что ... - думаю да.

[mihaild]

Vasily2024 в сообщении #1638090 писал(а):

Например, в аффинной геометрии

(соответствующей теории первого порядка) ...
нет понятия

Vasily2024 в сообщении #1638090 писал(а):

множество векторов

Vasily2024 в сообщении #1638097 писал(а):

Предлагаю считать, что существуют абстрактно или конкретно заданные множества

Предлагаю так не считать до тех пор, пока Вы не дадите определения этим понятиям (желательно в ZF или чем-то подобном). Ну либо можете выписать аксиомы про них.
До тех пор предлагаю считать, что абстрактное множество - это желтые ботинки, а конкретное - сиреневые сапоги.

[Vasily2024]

Все проще, оказывается. Абстрактное множество - множество у которого элементы не заданы. Конкретное - заданы.

[bot]

$A$ и $B$ сидели на трубе. Рассмотрим множество $\{A, B\}$. Это конкретное множество, или требуются подробности - на конкретной ли трубе сидели, когда конкретно сидели и по какому такому конкретному праву?

[Geen]

А меня вот интересует с какого места $\mathbb{Z}$ конкретное?...

[Vasily2024]

Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Существуют два способа задания множества.
1. Перечисление всех элементов.
2. Указание характеристического свойства.

[Anton_Peplov]

Vasily2024 в сообщении #1638482 писал(а):

Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Существуют два способа задания множества.
1. Перечисление всех элементов.
2. Указание характеристического свойства.

Думаю, я понимаю, что Вы пытаетесь сказать. Сравним две формулировки:
1) множество всех простых чисел $P$ бесконечно
2) если множество $A$ равномощно собственному подмножеству, то оно бесконечно.

В первом случае мы говорим о единственном множестве - множестве простых чисел. Мы можем прочитать в справочнике кучу свойств этого множества. Во втором случае мы говорим о каком-то (на самом деле любом) бесконечном множестве. В качестве которого годится и $P$, и $\mathbb N$, и $\mathbb R$, и что угодно.

Однако для понимания этого различия не нужно делить множества на абстрактные и конкретные. Ведь различие не больше, чем между двумя пониманиями слова "человек": "Человек Сократ смертен" и "если $X$ человек, то $X$ - смертен". Или людей Вы тоже будете делить на абстрактных и конкретных?

Повторю то, что здесь уже звучало: в математике нет деления множеств на абстрактные и конкретные. Ну нет его. Даже деление групп на абстрактные и конкретные это не более чем педагогический ход авторов отдельных учебников. И, как видно на Вашем примере, ход неудачный: вместо того чтобы Вам что-то объяснить, они Вас запутали и подтолкнули к непродуктивной самодеятельности.

Если уж хотите глубже разобраться, как устроены множества, то возьмите учебник по теории множеств, а не изобретайте велосипедов с квадратными колесами.

[Vasily2024]

В математике нет деления множеств на абстрактные и конкретные?
Тем не менее: множество считается заданным, если перечислены все его элементы, или указано свойство, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству (это из учебника). Поэтому необходимо отличать множество которое задано от множества, которое не задано.

Даже деление групп на абстрактные и конкретные это не более чем педагогический ход авторов отдельных учебников?
Это еще одно общепринятое заблуждение. Например, в теории групп принято считать, что сумма целых чисел a+b = c неопределяемое отношение. И что делать с тем, что 3 + 2 = 5 ?

[dgwuqtj]

Vasily2024 в сообщении #1639284 писал(а):

Поэтому необходимо отличать множество которое задано от множества, которое не задано.

Так любое множество $A$ можно задать, $A = \{x \mid x \in A\}$. Если хотите какое-то осмысленное деление множеств на "хорошие" и "плохие", то посмотрите в сторону предикативных определений и предикативных теорий множеств. Только там $\mathbb R$ часто "плохое".

[Vasily2024]

Ваше определение заданного множества не соответствует учебнику: множество считается заданным, если перечислены все его элементы, или указано свойство, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству (это из учебника).

[dgwuqtj]

Ну так свойство указано, оно после $\mid$ в фигурных скобках.

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1639284 писал(а):

Даже деление групп на абстрактные и конкретные это не более чем педагогический ход авторов отдельных учебников? Это еще одно общепринятое заблуждение. Например, в теории групп принято считать, что сумма целых чисел a+b = c неопределяемое отношение.

Где вы берете эти "отдельные учебники"? Я открыл Кострикина и посмотрел, никаких "абстрактных" и "конкретных" групп и "неопределяемых отношений".

Кострикин писал(а):

Пусть $X$ - произвольное множество. Бинарной алгебраической операцией (или законом композиции) на $X$ называется произвольное (но фиксированное) отображение

Vasily2024 в сообщении #1639284 писал(а):

И что делать с тем, что 3 + 2 = 5 ?

В тождество $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ входят произвольные числа $a$ и $b$. И что делать с тем, что $(3+4)^2=3^2+2\cdot3\cdot4+4^2$?

[Vasily2024]

Постников. Лекции по геометрии. 1979

-- 16.05.2024, 10:48 --

Постников. Лекции по геометрии. 1979