смещенная дельта функция в сферических координатах

[Ende]

reterty
Пожалуйста, цитируйте только ту часть сообщения, на которую отвечаете. Чтобы процитировать нужный фрагмент сообщения, выделите его мышкой и нажмите кнопку "Вставка" под этим сообщением.

[Alex Krylov]

Цитата:

У вас она еще не в точке особенная, а на кривой или поверхности

Ну то есть речь идет о переходе от изначального интеграла по объему к интегралу по поверхности, на которой сосредоточена дельта-функция.

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1631305 писал(а):

Учтем, что $dV=r^2 \sin \theta dr d\theta d\varphi$.Тогда интегрирование по $\varphi$ немедленно дает единицу. Интегрирование по $r$ дает $A \cos \theta$. И, наконец, интегрирование по $\theta$ дает просто $A$, т.е. $I=A$. Прошу проверить правильность вычислений.

Интегрирование по $\varphi$ дает единицу, интегрировавние по $\theta$ снова дает единицу, остается:

$$\int\limits_{}^{} r \delta(r-r_0) d r$$

и чему он равен?

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1631345 писал(а):

Интегрирование по $\varphi$ дает единицу, интегрировавние по $\theta$ снова дает единицу, остается:

$$\int\limits_{}^{} r \delta(r-r_0) d r$$

и чему он равен?

Так нельзя вольно обращаться с порядком интегрирования в кратном интеграле в данном случае. Вначале фиксруем $\theta$ и интегрируем по $r$ и лишь в конце интегрируем по полярному углу. такая последовательность - есть следствие того что $\delta(r-r_0)$ зависит от полярного угла.

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1631347 писал(а):

Так нельзя вольно обращаться с порядком интегрирования в кратном интеграле в данном случае. Вначале фиксруем $\theta$ и интегрируем по $r$ и лишь в конце интегрируем по полярному углу.

Координаты в сферической системе координат - назависимые. В каком порядке хочу в таком и интегрирую.

reterty в сообщении #1631347 писал(а):

такая последовательность - есть следствие того что $\delta(r-r_0)$ зависит от полярного угла.

Чего?

Я просто в растеренности, как еще объяснить-то...

Может так: интеграл с дельта-функцией, это вовсе и не интеграл, а функционал, который переводит функцию в её значение в точке. И совершенно без разницы, как мы определим эту точку, через радиус вектор, декартовы, сферические или еще какие координаты.

[пианист]

EUgeneUS в сообщении #1631350 писал(а):

Чего?

Ну, у ТС же $r_0 = A \cos \theta$ ;)
Для простоты ;)

[EUgeneUS]

пианист в сообщении #1631352 писал(а):

Для простоты ;)

Да уж. "Простота хуже воровства".

Хотя, казалось бы чего тут сложного?

1. Рассматривая интеграл некой функции $f(\mathbf{r})$ по объему, с необходимостью приходим к тому, что данная функция должна быть определена на всей области интегрирования (возможно, за исключением множества меры ноль). Иначе интеграл превращается в тыкву.
2. Так же отсюда следует, что все координаты независимы.
3. Рассматривая интеграл с дельта-функцией, понимаем, что это функционал, который переводит функцию в её значение в заданной точке ($\mathbf{r_0}$). Отсюда следует, что:

$$\int\limits_{\Omega}^{} f(\mathbf{r}) \delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) d V = \int\limits_{\Omega}^{} f(x_1, x_2, x_3) \delta (x_1 - x_{1_0}) \delta (x_2 - x_{2_0}) \delta (x_3 - x_{3_0}) d x_1 d x_2 d x_3 $$

где $x_1, x_2, x_3$ - координаты $\mathbf{r}$ в любой системе координат.

4. Отсюда,

$$\int\limits_{\Omega}^{} f(r) \delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) d V = \int\limits_{\Omega}^{} f(r) \delta (r - r_0) \delta (\varphi - \varphi_0) \delta (\theta - \theta_0) d r d \varphi d \theta = f(r_0) $$

5. И вот тут только можно вспомнить, что "критичная" точка может располагаться не в любой точке области интегрирования, а только на поверхности тыквы $r_0 = A \cos \theta_0$. Ну и ладно, запишем $I = f(r_0) = f(A \cos (\theta_0))$.

6. Собственно, всё.

UPD:
С учетом $dV = |J| dx_1 dx_2 dx_2 $ из (3) можем чисто формально записать:

$$\delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) = \frac{1}{|J|} \delta (x_1 - x_{1_0}) \delta (x_2 - x_{2_0}) \delta (x_3 - x_{3_0})$$

[Red_Herring]

Поскольку задача плохо описана и допускает различные толкования, то обсуждение бессмысленно .

[reterty]

Red_Herring в сообщении #1631379 писал(а):

Поскольку задача плохо описана и допускает различные толкования, то обсуждение бессмысленно .

Да, Вы абсолютно правы. Я несколько раз сегодня перепроверил физику (а физика довольно интересная как и сама постановка задачи; потом расскажу более детально после обсуждения математики). И постановка задачи следующая:
имеем интеграл

$$ \int_V f(r) \delta (r-g(\theta))\,dV,$$

где $\delta (r-g(\theta))$-ОДНОМЕРНАЯ!!! дельта-функция, причем $r$-модуль радиус-вектора а $g(\theta)$-известная функция от полярного угла. Вопрос: правильно ли я делаю, если вначале я провожу элементарное интегрирование по азимутальному углу $\varphi$, затем интегрирую с дельта функцией по радиальной координате считая $\theta =\operatorname{const} $, и то что получилось пытаюсь уже проинтегрировать по полярному углу $\theta$?
P.S. В первой (неправильной) редакции дельта функция была трехмерной (функцией векторного аргумента) из-за того что я облажался при корректном конвертировании символа Кронеккера в его непрерывный аналог-дельта функцию.

[Geen]

reterty в сообщении #1631388 писал(а):

Я несколько раз сегодня перепроверил физику

Так что же Вы интегрируете?
Вам же писали

Null в сообщении #1631307 писал(а):

Ваши записи некорректны, особая точка дельта функции не может зависеть от переменных интегрирования, это уже другая функция получается. У вас она еще не в точке особенная, а на кривой или поверхности.

[EUgeneUS]

Geen

В новой постановке, вроде бы всё в порядке. Особенность на поверхности $r = g(\theta)$.

reterty
А можно всё таки про физику задачи.
Этот интеграл похож на поверхностный интеграл первого рода по поверхности $r=g(\theta)$, но им не является.
Разница вот в чем, в поверхностном интеграле первого рода подынтегральная функция умножается на $d \sigma$ - на площадь элементарной площадки, а в Вашем интеграле - на $r^2 d \Omega$, где $d \Omega$ - телесный угол, под которым видна элементарная площадка $d \sigma$ из центра координат. По физике задачи так и должно быть?

[Geen]

EUgeneUS в сообщении #1631397 писал(а):

В новой постановке, вроде бы всё в порядке.

Просто нет полной уверенности в этом - никакая поверхность упомянута не была (а если ещё и $g(\theta)$ неоднозначна...).

[EUgeneUS]

Geen в сообщении #1631398 писал(а):

а если ещё и $g(\theta)$ неоднозначна...

С неоднозначностью $g(\theta)$ более менее понятно: или брать ближайшее к началу координат значение, или суммировать по всем значениям $r$ для данного $\theta$. Это от физики задачи зависит.

А вот если $g(\theta)$ может принимать отрицательные значения, там другой капкан есть. В примере ТС: $r=g(\theta) = A \cos \theta$ поверхность - это сфера. Если суммировать по $0 \le \theta \ge \pi$, то по этой сфере посчитается два раза.

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1631397 писал(а):

reterty
А можно всё таки про физику задачи.
Этот интеграл похож на поверхностный интеграл первого рода по поверхности $r=g(\theta)$, но им не является.
Разница вот в чем, в поверхностном интеграле первого рода подынтегральная функция умножается на $d \sigma$ - на площадь элементарной площадки, а в Вашем интеграле - на $r^2 d \Omega$, где $d \Omega$ - телесный угол, под которым видна элементарная площадка $d \sigma$ из центра координат. По физике задачи так и должно быть?

Эта задача относится к теории квантовых оптических переходов в полупроводниках. В классической постановке задачи электронные переходы, связанные с поглощением фотонов, являются "прямыми". Другими словами, считается что импульс электрона при поглощении кванта не меняется, так как импульс фотона пренебрежимо мал. Это, однако, не так для электронных состояний сосредоточенных вблизи экстремумов зон расположенных в центре зоны Бриллюэна. Такие электроны являются "медленными" и их импульс сравним с импульсом фотона. Поэтому для расчета прикраевого оптического поглощения следует учитывать конечное значение импульса фотона и считать такие переходы "непрямыми". Для квантово-механического расчета вероятности перехода в единицу времени следует интегрировать (суммировать) по всем дозволенным состояниям обратного трехмерного пространства для которых одновременно выполняются законы сохранения энергии и импульса. Рассматривая эти законы с учетом конечного импульса фотона, получаем что модуль начального импульса электрона $k_0$ способного к переходу должен быть функцией не только энергии фотона но и угла $\theta$ между импульсами электрона и фотона. Отсюда в обьемный интеграл "влазит" дельта функция $\delta (k-k_0)$, где теперь уже волновое число $k_0$ не является константой а становится функцией от полярного угла.

[мат-ламер]

reterty . У вас ответ, это конкретное число? Или функция, которая зависит от параметра? Если да, то от какого? Может от угла $\theta$ ? Или этот угол - переменная интегрирования? Если предполагается зависимость ответа от этого угла, то может мыслить лучше не в терминах интегрирования, а считать, что дельта-функция просто "вырезает" значение функции в некоей точке, на которую она действует?